25小学数学奥数基础教程六年级19.docx
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25小学数学奥数基础教程六年级19
小学数学奥数基础教程(六年级)
本教程共30讲
近似值与估算
在计数、度量和计算过程中,得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。
但在大多数情况下,得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数,这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。
例如,测量身高或体重,得到的就是近似数。
又如,统计全国的人口数,由于地域广人口多,统计的时间长及统计期间人口的出生与死亡,得到的也是近似数。
用位数较少的近似值代替位数较多的数时,要有一定的取舍法则。
要保留的数位右边的所有数叫做尾数,取舍尾数的主要方法有:
(1)四舍五入法。
四舍,就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时,就把尾数舍去;五入,就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时,把尾数舍去后,在它的前一位加1。
例如:
7.3964…,截取到千分位的近似值是7.396,截取到百分位的近似值是7.40。
(2)去尾法。
把尾数全部舍去。
例如:
7.3964…,截取到千分位的近似值是7.396,截取到百分位的近似值是7.39。
(3)收尾法(进一法)。
把尾数舍去后,在它的前一位加上1。
例如:
7.3964…,截取到千分位的近似值是7.397,截取到百分位的近似值是7.40。
表示近似值近似的程度,叫做近似数的精确度。
在上面的三种方法中,最常用的是四舍五入法。
一般地,用四舍五入法截得的近似数,截到哪一位,就说精确到哪一位。
例1有13个自然数,它们的平均值精确到小数点后一位数是26.9。
那么,精确到小数点后两位数是多少?
分析与解:
13个自然数之和必然是整数,因为此和不是13的整数倍,所以平均值是小数。
由题意知,26.85≤平均值<26.95,所以13个数之和必然不小于26.85的13倍,而小于26.95的13倍。
26.85×13=349.05,
26.95×13=350.35。
因为在349.05与350.35之间只有一个整数350,所以13个数之和是350。
350÷13=26.923…
当精确到小数点后两位数时,是26.92。
例1中所用的方法可称为“放缩法”。
对于一个数,如例1中13个数的平均数,如果不知道它的确切数值,那么可以根据题设条件,适当地将它放大或缩小,再进一步确定它的具体数值。
当然,这里的“放大”与“缩小”都要适当,如果放得过大或缩得过小,则可能无法确定正确值,这时“放缩”就失败了。
分析与解:
真正计算出这个算式,再取近似值,几乎是不可能的。
因为题目要求精确到小数点后三位数,所以只要能大概知道小数点后四位数的情况就可以了。
若分子缩小、分母扩大,则分数变小;若分子扩大、分母缩小,则分数变大。
利用这一点,使用放缩法就能估计算式的值的范围。
分子、分母各取两位小数,有
…由0.2037…<原式<0.2549…,无法确定原式小数点后三位的近似值。
缩放的范围太大,应使范围缩小些。
分子、分母各取三位小数,有
仍然无法确定,还应使范围缩小。
分子、分母各取四位小数,有
由0.2395…<原式<0.2398…知,原式小数点后三位肯定是“239”,第四位在5和8之间。
按四舍五入法则,精确到小数点后三位数的近似值是0.240。
由例2进一步看出“放缩”适度的重要性。
取的位数少了,范围太大,无法确定;取的位数多了,例如取十位小数,计算量太大,繁琐且没有必要。
例3求下式的整数部分:
分析与解:
对分母使用放缩法,有
所以199.1<原式<200,原式整数部分是199。
例4求下式的整数部分:
1.22×8.03+1.23×8.02+1.24×8.01。
分析与解:
在1.22×8.03,1.23×8.02与1.24×8.01中,各式的两个因数之和都相等。
当两个数的和一定时,这两个数越接近,这两个数的乘积越大,于是得到
1.22×8.03<1.23×8.02<1.24×8.01。
因为1.22×8.03>1.22×8,所以
原式>1.22×8×3=29.28;
因为1.24×8.01<1.25×8,所以
原式<1.25×8×3=30。
由29.28<原式<30知,原式的整数部分是29。
前面讲过,四舍五入的方法是取近似值最常用的方法。
但在实际问题中,一定要注意灵活运用,特别要注意有些问题不宜使用四舍五入的原则。
例5某人执行爆破任务时,点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑,其奔跑的速度为7米/秒。
已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。
问:
导火线的长度至少多长才能确保安全?
(精确到0.1米)
解:
0.112×(70÷5)
=0.112×10
=1.12≈1.2(米)
答:
导火线至少长1.2米。
此题采用收尾法。
如果你的答案是1.1米,执行任务的人还没跑到安全地带,炸药就被引爆,那可就太危险了。
例6某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时,飞去时速度为900千米/时,飞回时速度为850千米/时。
问:
该飞机最远飞出多少千米就应返回?
(精确到1千米)
解:
设该飞机最远能飞出x千米,依题意有
答:
飞机最远飞出1748千米就应返回。
此题采用去尾法。
如果按照四舍五入的原则,那么得到x≈1749,当飞机真的飞出1749千米再返回时,恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。
练习19
1.有17个自然数,它们的平均值精确到小数点后一位数是21.3,那么精确到小数点后三位数是多少?
2.老师在黑板上写了14个自然数,让小明计算平均数(保留三位小数),小明计算出的答案是16.387。
老师说小数点后第二位错了,其它的数字都对。
正确答案应该是多少?
3.计算下式的精确到小数点后三位数的近似值:
1357902468÷8642097531。
4.求下式的整数部分:
11×22+12×33+13×44+…+17×88。
5.求下式的整数部分:
2.45×4.05+2.46×4.04+2.47×4.03+
2.48×4.02+2.49×4.01。
6.为了修水电站,需要在极短的时间内向河道中投入300米3石料,以截断河流。
如果每台大型运输车一次可运石料17.5米3,那么为保障一次截流成功,至少需多少台运输车?
7.一条单线铁路全长240千米,每隔20千米有一个会车站(当两车相遇时,一车停在会车站内,另一车可通过)。
甲、乙两列火车同时从两端出发,甲车每小时行75千米,乙车每小时行45千米。
为保证快车正点运行,慢车应给快车让路。
为使等候时间尽量短,乙车应在出发后的第几个会车站等候甲车通过?
答案与提示练习19
1.21.294。
提示:
21.25×17=361.25,21.35×17=362.95。
由361.25≤17个数之和<362.95得到,17个数之和是362。
2.16.357。
提示:
16.3×14=228.2,16.4×14=229.6。
由228.2≤14个数之和<229.6得到,14个数之和是229。
3.0.157。
4.1。
提示:
设原分式的分母为A。
A=11×(11×2+12×3+13×4+…+17×8)。
因为A>11×11×(2+3+4+…+8)=11×11×35,所以
因为A<11×17×(2+3+4+…+8)=11×17×35,所以
由上可知,原式的整数部分是1。
5.49。
提示:
与例4类似。
因为5个乘积都小于2.5×4,都大于2.45×4,所以2.45×4×5=49<原式<2.5×4×5=50。
6.18台。
提示:
采用收尾法。
7.第4个。
提示:
如不等候,则两车相撞时乙车行了
用去尾法得到90÷20=4.5≈4。
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