高考理科数学湖南卷试题与答案word解析版.docx
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高考理科数学湖南卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(湖南卷)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2013湖南,理1)复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ).
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.(2013湖南,理2)某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( ).
A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法
3.(2013湖南,理3)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=
b,则角A等于( ).
A.
B.
C.
D.
4.(2013湖南,理4)若变量x,y满足约束条件
则x+2y的最大值是( ).
A.
B.0C.
D.
5.(2013湖南,理5)函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为( ).
A.3B.2C.1D.0
6.(2013湖南,理6)已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是( ).
A.[
,
]B.[
,
]C.[1,
]D.[1,
]
7.(2013湖南,理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于( ).
A.1B.
C.
D.
8.(2013湖南,理8)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( ).
A.2
B.1
C.
D.
二、填空题:
本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.
(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)
9.(2013湖南,理9)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:
(t为参数)过椭圆C:
(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为__________.
10.(2013湖南,理10)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为__________.
11.(2013湖南,理11)如图,在半径为
的
O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为__________.
(二)必做题(12~16题)
12.(2013湖南,理12)若
x2dx=9,则常数T的值为__________.
13.(2013湖南,理13)执行如图所示的程序框图,如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为__________.
14.(2013湖南,理14)设F1,F2是双曲线C:
(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为__________.
15.(2013湖南,理15)设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(-1)nan-
,n∈N*,则
(1)a3=__________;
(2)S1+S2+…+S100=__________.
16.(2013湖南,理16)设函数f(x)=ax+bx-cx,其中c>a>0,c>b>0.
(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为__________;
(2)若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确的是__________.(写出所有正确结论的序号)
①
x∈(-∞,1),f(x)>0;
②
x∈R,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长;
③若△ABC为钝角三角形,则
x∈(1,2),使f(x)=0.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(2013湖南,理17)(本小题满分12分)已知函数
,g(x)=2
.
(1)若α是第一象限角,且f(α)=
,求g(α)的值;
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.
18.(2013湖南,理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:
kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;
(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.
19.(2013湖南,理19)(本小题满分12分)如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.
(1)证明:
AC⊥B1D;
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
20.(2013湖南,理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.
(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明):
(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.
21.(2013湖南,理21)(本小题满分13分)过抛物线E:
x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(1)若k1>0,k2>0,证明:
·
<2p2;
(2)若点M到直线l的距离的最小值为
,求抛物线E的方程.
22.(2013湖南,理22)(本小题满分13分)已知a>0,函数f(x)=
.
(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;
(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?
若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(湖南卷)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.答案:
B
解析:
z=i+i2=-1+i,对应点为(-1,1),故在第二象限,选B.
2.答案:
D
解析:
看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异,应当分层抽取,故宜采用分层抽样.
3.答案:
D
解析:
由2asinB=
b得2sinAsinB=
sinB,故sinA=
,故A=
或
.又△ABC为锐角三角形,故A=
.
4.答案:
C
解析:
约束条件表示的可行域为如图阴影部分.
令x+2y=d,即
,
由线性规划知识可得最优点为
,所以dmax=
.
5.答案:
B
解析:
设f(x)与g(x)图象的交点坐标为(x,y),
则y=2lnx,y=x2-4x+5,联立得2lnx=x2-4x+5,令h(x)=x2-4x+5-2lnx(x>0),
由h′(x)=2x-4-
=0得x1=
,x2=
(舍).
当h′(x)<0时,即x∈(0,
)时,h(x)单调递减;
当h′(x)>0,即x∈(
,+∞)时,h(x)单调递增.
又∵h
(1)=2>0,h
(2)=1-2ln2<0,h(4)=5-2ln4>0,
∴h(x)与x轴必有两个交点,故答案为B.
6.答案:
A
解析:
由题意,不妨令a=(0,1),b=(1,0),c=(x,y),由|c-a-b|=1得(x-1)2+(y-1)2=1,|c|=
可看做(x,y)到原点的距离,而点(x,y)在以(1,1)为圆心,以1为半径的圆上.如图所示,当点(x,y)在位置P时到原点的距离最近,在位置P′时最远,而PO=
,P′O=
,故选A.
7.答案:
C
解析:
根据三视图中正视图与俯视图等长,故正视图中的长为
cosθ,如图所示.
故正视图的面积为S=
cosθ(0≤θ≤
),
∴1≤S≤
,
而
,故面积不可能等于
.
8.答案:
D
解析:
以A为原点,AB为x轴,AC为y轴建立直角坐标系如图所示.
则A(0,0),B(4,0),C(0,4).
设△ABC的重心为D,则D点坐标为
.
设P点坐标为(m,0),则P点关于y轴的对称点P1为(-m,0),因为直线BC方程为x+y-4=0,所以P点关于BC的对称点P2为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2均在QR所在直线上,
∴
,
即
,
解得,m=
或m=0.
当m=0时,P点与A点重合,故舍去.
∴m=
.
二、填空题:
本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.
(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)
9.答案:
3
解析:
由题意知在直角坐标系下,直线l的方程为y=x-a,椭圆的方程为
,所以其右顶点为(3,0).由题意知0=3-a,解得a=3.
10.答案:
12
解析:
由柯西不等式得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)≥(a+2b+3c)2,
即a2+4b2+9c2≥12,当a=2b=3c=2时等号成立,所以a2+4b2+9c2的最小值为12.
11.答案:
解析:
如图所示,取CD中点E,连结OE,OC.
由圆内相交弦定理知PD·PC=PA·PB,
所以PC=4,CD=5,则CE=
,OC=
.
所以O到CD距离为OE=
.
(二)必做题(12~16题)
12.答案:
3解析:
∵
=x2,∴
x2dx=
x3
=
T3-0=9,∴T=3.
13.答案:
9
解析:
输入a=1,b=2,不满足a>8,故a=3;
a=3不满足a>8,故a=5;
a=5不满足a>8,故a=7;
a=7不满足a>8,故a=9,满足a>8,终止循环.输出a=9.
14.答案:
解析:
不妨设|PF1|>|PF2|,由
可得
∵2a<2c,∴∠PF1F2=30°,
∴cos30°=
,
整理得,c2+3a2-
ac=0,即e2-
e+3=0,∴
.
15.答案:
(1)
(2)
16.答案:
(1){x|0<x≤1}
(2)①②③
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解:
=
sinx-
cosx+
cosx+
sinx
=
sinx,
g(x)=2
=1-cosx.
(1)由f(α)=
得sinα=
.
又α是第一象限角,所以cosα>0.
从而g(α)=1-cosα=1-
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