13运筹学64学时总复习.docx

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13运筹学64学时总复习

运筹学总复习2014.1.3

复习内容与要求：

1建模方面：

目标规划、动态规划、整数规划

2计算方面：

线性规划、对偶规划、运输问题、指派问题、割平面算法、最大流、网络计划、对策论、决策论。

【例题1】用单纯形法求解线性规划问题的解。

解：

添加三个松弛变量，把上述规划化成标准型

基变量

b

X1

X2

X3

X4

X5

X3

4

1

0

1

0

0

X4

6

0

1

0

1

0

X5

18

3

2

0

0

1

0

2

5

0

0

0

基变量

b

X1

X2

X3

X4

X5

X3

4

1

0

1

0

0

X2

6

0

1

0

1

0

X5

6

3

0

0

-2

1

-30

2

0

0

-5

0

基变量

b

X1

X2

X3

X4

X5

X3

2

0

0

1

2/3

-1/3

X2

6

0

1

0

1

0

X1

2

1

0

0

-2/3

1/3

-34

0

0

-5

-11/3

-2/3

最优解是（2，6）最优值是34。

【例题2】某公司制造三种产品A、B、C，需要两种资源（劳动力和原材料），现要确定总利润最大的生产计划，列出下述线性规划

求：

（1）线性规划问题的最优解；

（2）求对偶问题的数学模型及其最优解；（3）最优解不变的情况下，求产品A的利润允许变化范围；（4）假定能以10元的价格购进15单位的材料，这样做是否有利，为什么？

（5）当可利用的资源增加到60单位时，求最优解。

（6）当产品B的原材料消耗减少为2个单位时，是否影响当前的最优解，为什么？

（7）增加约束条件2x1+x2+3x3≤20，对原最优解有何影响，对对偶解有何影响？

解答：

（1）线性规划问题的最优解

首先将问题标准化：

cj

3

1

5

0

0

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

0

0

x4

x5

45

30

6

3

3

4

5

【5】

1

0

0

1

9

6

3

1

5

0

0

0

5

x4

x3

15

6

3

3/5

-1

4/5

0

1

1

0

-1

1/5

0

-3

0

0

-1

最优解为X*=（x1,x2,x3,x4,x5）T=（0,0,6,15,0）T，最优目标值z*=30

（2）求对偶问题的数学模型及其最优解；

y1*=0,y2*=1

（3）最优解不变的情况下，求产品A的利润允许变化范围；

最优解不变的情况下，

（4）假定能以10元的价格购进15单位的材料，这样做是否有利，为什么？

有利

单位材料的影子价格是1元，10元钱购进15单位的材料的单位价格为2/3元，低于影子价格。

同时，在保持最优基不变的情况下

购进15吨的原材料，最优基不变。

该材料的影子价格仍为1元。

（5）当可利用的资源增加到60单位时，求最优解。

cj

3

1

5

0

0

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

0

5

x4

x3

-15

12

3

3/5

-1

4/5

0

1

1

0

【-1】

1/5

0

-3

0

0

-1

0

5

x5

x3

15

9

-3

6/5

1

3/5

0

1

-1

1/5

1

0

-3

-2

0

-1

0

最优解为X*=（x1,x2,x3,x4,x5）T=（0,0,9,0,15）T，最优目标值z*=45

（6）当产品B的原材料消耗减少为2个单位时，是否影响当前的最优解，为什么？

x2在最有表是非基变量，该产品的原材料消耗只影响x2的检验数。

（7）增加约束条件2x1+x2+3x3≤20，对原最优解有何影响，对对偶解有何影响？

增加的约束条件，相当于增加了一个约束方程

cj

2

4

1

0

0

0

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

x6

0

5

0

x4

x3

x6

15

6

20

3

3/5

2

-1

4/5

1

0

1

3

1

0

0

-1

1/5

0

0

0

1

0

-3

0

0

-1

0

0

5

0

x4

x3

x6

15

6

2

3

3/5

4/5

-1

4/5

-7/5

0

1

0

1

0

0

-1

1/5

-3/5

0

0

1

0

-3

0

0

-1

0

对原问题的最优解无影响，对对偶问题的最优解也无影响。

【例题3】已知如下线性规划问题：

已知其对偶问题的最优解为Y＊=（4,1）。

试用对偶理论求出原问题的最优解。

解：

对偶问题是：

设原问题最优解为X＊＝（x1，x2，x3，x4）T,

将Y＊带入对偶问题约束条件中，得

（1）

（2）为严格不等式；由互补松弛条件知，

。

因为y1=4≠0，及y2=1≠0，所以原问题的两个约束条件应取等号，故有

解方程组得：

所以原问题的最优解为X＊=（0,0,4,4），最优值z=44。

【例题4】用对偶单纯形法求下面问题

解：

Cj

4

6

0

0

min{（zj-cj）/ai*j}

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

ai*j<0

0

x3

80

1

（2）

1

0

{4,3*}

0

x4

75

3

1

0

1

OBJ=

0

zj

0

0

0

0

zj-cj

4

6

0

0

Cj

4

6

0

0

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

6

x2

40

1/2

1

1/2

0

0

x4

35

（5/2）

0

1/2

1

{2/5*,6}

OBJ=

240

zj

3

6

3

0

zj-cj

1

0

3

0

Cj

4

6

0

0

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

6

x2

33

0

1

3/5

1/5

4

x1

14

1

0

1/5

2/5

OBJ=

254

zj

4

6

14/5

2/5

zj-cj

0

0

14/5

2/5

答：

最优解为x1=14，x2=33，目标函数值为254。

【例题5】给定下列运输问题的单位运价表及各个产销地的产量和销量，

B1

B2

B3

B4

产量

A1

2

9

10

7

9

A2

1

3

4

2

5

A3

8

4

2

5

7

销量

3

8

4

6

求运费最小的运输方案。

解：

（1）利用伏格尔法求初始基

B1

B2

B3

B4

产量

A1

3

5

1

9

A2

5

5

A3

3

4

7

销量

3

8

4

6

（2）写出位势表并计算各变量的检验数。

B1

B2

B3

B4

ui

A1

0

0

3

0

0

A2

4

-1

2

0

-5

A3

11

0

0

3

-5

vj

2

9

7

7

（3）当前检验数有负数，闭回路法调整。

B1

B2

B3

B4

产量

A1

3

6

9

A2

5

0

5

A3

3

4

7

销量

3

8

4

6

并计算上表所描述的调运方案的检验数

B1

B2

B3

B4

ui

A1

1

4

0

A2

4

3

-5

A3

10

2

-4

vj

2

8

6

7

可见，检验数全为正，故最优解为3×2+6×7+5×3+3×4+4×2=83。

【例题6】某市准备在下一年度预算购置一批救护车，已知每辆救护车购置价格为20万元。

救护车用于所属的两个县，各分配xA和xB台，Ａ县救护站从接到求救电话到救护车出动的响应时间为（40-3xＡ）min，B县相应的响应时间为（50-4xB）min，该市确定如下优先级目标。

P1：

救护车的购置费用不超过400万元；

P2：

A县的响应时间不超过5min；

P3：

B县的响应时间不超过5min。

要求：

（1）建立目标规划模型（不用求解）。

（2）若对优先级目标作出调整，P2变P1，P3变P2，P1变P3，重新建立目标规划模型（不用求解）。

解：

设xA为分配给A县的救护车数，xB为分配给B县的救护车数量。

（1）目标规划模型为：

（2）与

（1）比较，只是目标函数改变了，而约束条件没有变化。

故

（2）的目标规划模型为：

【例题7】某厂拟建两种不同类型的冶炼炉。

甲种炉每台投资为2个单位，乙种炉每台许投资为1个单位，总投资不能超过10个单位；又该厂被许可用电量为2个单位，乙种炉被许可用电量为2个单位，但甲种炉利用余热发电，不仅可以满足本身需要，而且可供出电量1个单位。

已知甲种炉每台收益为6个单位，乙种炉每台收益为4个单位。

试问：

应建甲、乙两种炉各多少台，使之收益最大？

该问题也可如下表表示。

（要求用割平面法求解该整数规划问题）

甲种炉（x1）

乙种炉（x2）

限量

每台投资/单位

2

1

10

用电量/单位

-1

2

2

收益/单位

6

4

解：

设x1,x2为甲乙种炉应建台数，则

用单纯形法求最优解，见下表。

基变量

b

X1

X2

X3

X4

X3

10

2

1

1

0

5

X4

2

-1

2

0

1

--

-z

0

6

4

0

0

X1

5

1

1/2

1/2

0

10

X4

7

0

5/2

1/2

1

14/5

-z

-30

0

1

-3

0

X1

18/5

1

0

2/5

-1/5

X2

14/5

0

1

1/5

2/5

-z

-32.8

0

0

-16/5

-2/5

最优解为

确定割平面方程：

从而，构造割平面，并且标准化，加入最优表中，用对偶单纯形法求最优解，见下表。

基变量

b

X1

X2

X3

X4

X5

X1

18/5

1

0

2/5

-1/5

0

X2

14/5

0

1

1/5

2/5

0

X5

-4/5

0

0

-1/5

-2/5

1

-z

-32.8

0

0

-16/5

-2/5

0

基变量

b

X1

X2

X3

X4

X5

X1

4

1

0

1/2

0

-1/2

X2

2

0

1

0

0

1

X4

2

0

0

1/2

1

-5/2

-z

-32

0

0

-3

0

-1

。

此解为整数解，故计算停止。

【例题8】某部门有4个工人，现指派他们分别完成4项工作。

每人做各项工作所消耗的时间（h）如下表所示，问如何分派工作，使总的消耗时间最少？

消耗工作

工人

A

B

C

D

甲

3

3

5

3

乙

3

2

5

2

丙

1

5

1

6

丁

4

6

4

10

解：

变换效率矩阵如下：

3

3

5

3

逐

（0）

0*

2

0*

逐

（0）

0*

2

0*

3

2

5

2

行

1

0

3

0

列

1

（0）

3

0*

1

5

1

6

标

0*

4

（0）

5

标

0*

4

（0）

5

4

6

4

10

记

0*

2

0*

6

记

0*

2

0*

6

每行每列都有两个以上的0未找到最优解

4

（0）

0*

2

0*

重

0*

（0）

2

0*

8

1

（0）

3

0*

新

1

0*

3

（0）

5

0*

4

（0）

5

标

0*

4

（0）

5

1

0*

2

0*

6

记

（0）

2

0*

6

2

6

3

7

划线过程（发现有4条直线）找到最优解

答：

容易看出，共有四个最优解：

①甲B，乙D，丙A，丁C；

②甲D，乙B，丙A，丁C；③甲B，乙D，丙C，丁A；④甲D，乙B，丙C，丁A；OBJ=10。

【例题9】分配甲、乙、丙、丁四人去完成5项任务。

每人完成各项任务时间如下表所示。

由于任务数多于人数，故规定其中有一人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项，试确定总花费时间最少的指派方案。

A

B

C

D

E

甲

25

29

31

42

37

乙

39

38

26

20

33

丙

34

27

28

40

32

丁

24

42

36

23

45

解：

假设增加一个人戊完成各项工作的时间取A、B、C、D、E最小值。

得效率矩阵为：

各行减最小值，各列减最小值：

得

变换得

进一步

最有指派方案

甲——B，乙——C,D，丙——E，丁——A

最低费用＝29＋26＋20＋32＋24＝131

【例题10】某公司打算将3千万元资金用于改造扩建所属的3个工厂，每个工厂的利润增长额与所分配的投资有关。

各工厂在获得不同的投资额时所能增加的利润如下表所示，问应如何分配资金，使公司总的利润为最大。

利润投资

工厂

0

1千万

2千万

3千万

1

0

2.5

4

10

2

0

3

5

8.5

3

0

2

6

9

解：

K为阶段变量，k=1,2,3

Sk:

第k阶段所剩的资金数

Xk：

第k阶段分配给第k个工厂的资金数

gk（xk）：

将xk分配给第k个工厂的效益

状态转移方程：

Sk+1=Sk-xk

递推关系：

第三阶段，k=3

X3=s3

x3

s3

g3（x3）

f3（s3）

x*3

0

1

2

3

0

0

0

0

1

2

2

1

2

6

6

2

3

9

9

3

第二阶段：

s3=s2-x2，0s23，0x2s2

x2

s2

f2（s2）

x*2

0

1

2

3

0

0+0

0

0

1

0+2

3+0

2

1

2

0+6

3+2

5+0

6

0

3

0+9

3+6

5+2

8.5+0

9

0,1

第三阶段

S1=3

S2=s1-x1,0x1s1

x1

s1

f1（s1）

x*1

0

1

2

3

3

0+9

2.5+6

4+3

10+0

10

3

最优分配方案为，x1*=3,x2*=0,x3*=0

最佳获益值：

10千万。

【例题11】现有一批重要物资空运到距离灾区发生地最近的某机场后，要通过公路运输将物资运往10个重灾地点，下图为各重灾地点的交通网络示意图，其中1代表机场，2-11代表10个重灾区，12和13代表道路节点。

请你求出从机场到各重灾区的最短路径。

解：

本题直接使用Dijkstra标号算法即可求出从机场1到各灾区的最短路。

第一步：

对灾区1进行标号，为（0，-），接着对其余各点进行临时标号，分别为

灾区3：

（-，150）；灾区10：

（-，100）；灾区9：

（-，190）；道路节点12：

（-，100）；道路节点13：

（-，80）；灾区2：

（-，∞）；0灾区4：

（-，∞）；灾区5：

（-，∞）；灾区6：

（-，∞）；灾区7：

（-，∞）；灾区8：

（-，∞）；灾区11：

（-，∞）；

第二步：

选择临时标号最小的，转为永久性标号，并将各结点标号重新标号

灾区1：

（0，-）；道路节点13：

（80，-）；灾区3：

（-，150）；灾区10：

（-，100）；灾区9：

（-，190）；道路节点12：

（-，100）；灾区2：

（-，∞）；0灾区4：

（-，∞）；灾区5：

（-，∞）；灾区6：

（-，∞）；灾区7：

（-，∞）；灾区8：

（-，∞）；灾区11：

（-，∞）；

第三步：

选择临时标号最小的，转为永久性标号，并将各结点标号重新标号

灾区1：

（0，-）；道路节点13：

（80，-）；道路节点12：

（100，-）；灾区10：

（100，-）；灾区3：

（-，150）；灾区9：

（-，145）；灾区2：

（-，140）；灾区6：

（-，125）；灾区4：

（-，∞）；灾区5：

（-，∞）；灾区7：

（-，∞）；灾区8：

（-，∞）；灾区11：

（-，∞）；

第四步：

选择临时标号最小的，转为永久性标号，并将各结点标号重新标号

灾区1：

（0，-）；道路节点13：

（80，-）；道路节点12：

（100，-）；灾区10：

（100，-）；灾区6：

（125，-）；灾区3：

（-，150）；灾区9：

（-，145）；灾区2：

（-，140）；灾区4：

（-，∞）；灾区5：

（-，∞）；灾区7：

（-，∞）；灾区8：

（-，165）；灾区11：

（-，307）；

第五步：

选择临时标号最小的，转为永久性标号，并将各结点标号重新标号

灾区1：

（0，-）；道路节点13：

（80，-）；道路节点12：

（100，-）；灾区10：

（100，-）；灾区6：

（125，-）；灾区2：

（140，-）；灾区3：

（-，150）；灾区9：

（-，145）；灾区4：

（-，225）；灾区5：

（-，∞）；灾区7：

（-，215）；灾区8：

（-，165）；灾区11：

（-，307）；

第六步：

选择临时标号最小的，转为永久性标号，并将各结点标号重新标号

灾区1：

（0，-）；道路节点13：

（80，-）；道路节点12：

（100，-）；灾区10：

（100，-）；灾区6：

（125，-）；灾区2：

（140，-）；灾区9：

（145，-）；灾区3：

（-，150）；灾区4：

（-，225）；灾区5：

（-，∞）；灾区7：

（-，215）；灾区8：

（-，165）；灾区11：

（-，245）；

第七步：

选择临时标号最小的，转为永久性标号，并将各结点标号重新标号

灾区1：

（0，-）；道路节点13：

（80，-）；道路节点12：

（100，-）；灾区10：

（100，-）；灾区6：

（125，-）；灾区2：

（140，-）；灾区9：

（145，-）；灾区3：

（150，-）；灾区4：

（-，183）；灾区5：

（-，196）；灾区7：

（-，215）；灾区8：

（-，165）；灾区11：

（-，245）；

第八步：

选择临时标号最小的，转为永久性标号，并将各结点标号重新标号

灾区1：

（0，-）；道路节点13：

（80，-）；道路节点12：

（100，-）；灾区10：

（100，-）；灾区6：

（125，-）；灾区2：

（140，-）；灾区9：

（145，-）；灾区3：

（150，-）；灾区8：

（165，-）；灾区4：

（-，183）；灾区5：

（-，196）；灾区7：

（-，210）；灾区11：

（-，245）；

第九步：

选择临时标号最小的，转为永久性标号，并将各结点标号重新标号

灾区1：

（0，-）；道路节点13：

（80，-）；道路节点12：

（100，-）；灾区10：

（100，-）；灾区6：

（125，-）；灾区2：

（140，-）；灾区9：

（145，-）；灾区3：

（150，-）；灾区8：

（165，-）；灾区4：

（183，-）；灾区5：

（196，-）；灾区7：

（210，-）；灾区11：

（245，-）；算法结束。

【例题12】求下面网络s到t的最大流和最小截，从给定的可行流开始标号法。

（要求每得到一个可行流后，即每次增广之后，重新画一个图，标上增广后的可行流，再进行标号法）

解：

答：

最大流为15，最小割截为

【例题13】绘制工程图，计算各工作的最早开始时间和最早完工时间，并给出关键路线。

工序

内容

工时（天）

紧前工序

A

B

C

D

E

F

G

初步研究

研究选点

准备调研方案

联系调研点

培训工作人员

实地调研

写调研报告并汇总

1

2

4

2

3

5

4

/

A

A

B

B、C

D、E

F

解：

（１）工程图如下：

（２）各工序时间如下图，

工程

ES

EF

A

0

1

B

1

3

C

1

5

D

3

5

E

5

8

F

8

13

G

13

17

（３）关键路线是A---C---E---F---G

【例题14】甲乙乒乓球队进行团体对抗赛，每对由三名球员组成，双方都可排成三种不同的阵容，每一种阵容可以看成一种策略，双方各选一种策略参赛。

比赛共赛三局，规定每局胜者得1分，输者得-1分，可知三赛三胜得3分，三赛二胜得1分，三赛一胜得-1分，三赛三负得-3分。

甲队的策略集为S1={α1，α2，α3}，乙队的策略集为S1={β1，β2，β3}，根据以往比赛得分资料，可得甲队的赢得矩阵为A，如下：

试问这次比赛各队应采用哪种阵容上场最为稳妥。

解：

甲队的α1，α2，α3三种策略可能带来的最少赢得，即矩阵A中每行的最小元素分别为：

1，-3，-1，

在这些最少赢得中最好的结果是1，即甲队应采取策略α1，无论对手采用什么策略，甲队至少得1分。

而对乙队来说，策略β1，β2，β3可能带来的最少赢得，即矩阵A中每列的最大因素（因为两人零和策甲队得分越多，就使得乙队得分越少），分别为：

3，1，3，

其中乙队最好的结果为甲队得1分，这时乙队采取β2策略，不管甲队采用什么策略甲队的得分不会超过1分（即乙队的失分不会超过1）。

这样可知甲队应采用α1策略，乙队应采取β2策略。

把这种最优策略α1和β2分别称为局中人甲队、乙队的最优纯策略。