中考数学专题复习全等三角形.docx
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中考数学专题复习全等三角形
2021年中考数学专题复习:
全等三角形
1.阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:
如图1,在△ABC和△ADE中,∠ACB=∠AED=90°,AC=AE,BC=DE,连接CE交BD于点F.求证:
BF=DF
小明经探究发现,过B点作∠CBG=∠EDF,交CF于点G(如图2),从而可证△DEF≌△BCG,使问题得到解决
(1)请你按照小明的探究思路,完成他的证明过程:
参考小明思考问题的方法,解决下面的问题:
(2)如图3,在△ABC与△BDE中,∠ABC=∠BDE,BC=DE,AB=BD,CF、EG分别为AB、BD的中线,连结FG并延长交CE于点H,是否存在与CH相等的线段?
若存在,请找出并证明;若不存在,说明理由.
2.如图,在线段BC上有两点E,F,在线段CB的异侧有两点A,D,满足AB=CD,AE=DF,CE=BF,连接AF;
(1)求证:
∠B=∠C;
(2)若∠B=40°,∠DFC=30°,当AF平分∠BAE时,求∠BAF.
3.如图,点F、G分别是正五边形ABCDE边BC、CD上的点,且BF=CG,AF与BG交于点H.
(1)求证:
△ABF≌△BCG
(2)求∠AHG的度数.
4.如图,有一条两岸平行的河流,一数学实践活动小组在无法涉水过河情况下,成功测得河的宽度,他们的做法如下:
①正对河流对岸的一棵树A,在河的一岸选定一点B;
②沿河岸直走15步恰好到达一树C处,继续前行15步到达D处;
③自D处沿河岸垂直的方向行走,当到达A树正好被C树遮挡住的E处时,停止行走;
④测得DE的长就是河宽.
请你运用所学知识说明他们做法是正确的.
5.如图,AD⊥BC于D,AD=BD,AC=BE.
(1)请说明∠1=∠C;
(2)猜想并说明DE和DC有何特殊关系.
6.已知:
如图,点E,D,B,F在同一条直线上,AD∥CB,∠BAD=∠BCD,DE=BF.求证:
(1)AD=BC;
(2)AE∥CF.
7.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=8,BC=6,点D为AB的中点,点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动,设运动时间为t(秒)(0≤t≤3).
(1)用含t的代数式表示线段PC的长;
(2)若点P、Q的运动速度相等,t=1时,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由.
(3)若点P、Q的运动速度不相等,△BPD与△CQP全等时,求a的值.
8.已知:
AB=AC,AF=AG,AE⊥BG交BG的延长线于E,AD⊥CF交CF的延长线于D.求证:
AD=AE.
9.如图,点C在线段BD上,且AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,BC=DE.求证:
AB=CD.
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AB边上的一点,DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME∥BC交AB于点E,
(1)试说明△ABC与△MED全等;
(2)若∠M=35°,求∠B的度数?
11.如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB=DE,AB∥DE,BE=CF.
(1)求证:
AC=DF;
(2)若∠D=65°,求∠EGC的大小.
12.如图,在△ABC中,点D是BC上一点,且AD=AB,AE∥BC,∠BAD=∠CAE,连接DE交AC于点F.
(1)若∠B=70°,求∠C的度数;
(2)若AE=AC,AD平分∠BDE是否成立?
请说明理由.
13.如图
(1),AB=7cm,AC⊥AB,BD⊥AB垂足分别为A、B,AC=5cm.点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在射线BD上运动.它们运动的时间为t(s)(当点P运动结束时,点Q运动随之结束).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由;
(2)如图
(2),若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”,点Q的运动速度为xcm/s,其他条件不变,当点P、Q运动到某处时,有△ACP与△BPQ全等,求出相应的x、t的值.
14.如图,点D,E分别在AB和AC上,DE∥BC,点F是AD上一点,FE的延长线交BC延长线BH于点G.
(1)若∠DBE=40°,∠EBC=35°,求∠BDE的度数;
(2)求证∠EGH>∠ADE;
(3)若点E是AC和FG的中点,△AFE与△CEG全等吗?
请说明理由.
15.已知:
如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
(1)求证△CDF≌△EDB;
(2)请你判断BE+DE与DF的大小关系,并证明你的结论.
16.如图,AD⊥BC于D,AD=BD,AC=BE.
(1)证明:
∠BED=∠C;
(2)猜想并说明BE和AC有什么数量和位置关系.
17.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.
求证:
(1)△AEF≌△CEB;
(2)AF=2CD.
18.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为A(0,m)、B(n,0),且|m﹣n﹣3|+
=0,点P从A出发,以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动,设点P的运动时间为t秒.
(1)求OA、OB的长;
(2)连接PB,设△POB的面积为S,用t的式子表示S;
(3)过点P作直线AB的垂线,垂足为D,直线PD与x轴交于点E,在点P运动的过程中,是否存在这样的点P,使△EOP≌△AOB?
若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
19.如图,点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD交BE于O.
(1)求证:
△ABC≌△DEF.
(2)求证:
AO=OD.
20.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为△ABC内一点,且BD=AD.
(1)求证:
CD⊥AB;
(2)∠CAD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.
①求证:
DE平分∠BDC;
②若点M在DE上,且DC=DM,请判断ME、BD的数量关系,并给出证明;
③若N为直线AE上一点,且△CEN为等腰三角形,直接写出∠CNE的度数.
参考答案
1.
(1)证明:
∵∠ACB=∠AED=90°,
∴∠DEF+∠AEC=∠ACE+∠BCG=90°,
∵AE=AC,
∴∠AEC=∠ACE,
∴∠DEF=∠BCG,
在△BCG与△DEF中
,
∴△BCG≌△DEF,(ASA),
∴BG=DF,∠BGC=∠DFC,
∴∠BGF=∠BFG,
∴BF=BG,
∴BF=DF;
(2)解:
CH=EH,
理由:
如图3,延长FH至L,使HL=FG,连接LE,
则HL+HG=FG+HG,即LG=FH,
∵AB=BD,CF、EG分别为AB、BD的中线,
∴BF=
AB,DG=
BD,
∴BF=DG,
∵BC=DE,∠CBF=∠EDG,
∴△BCF≌△DEG(SAS),
∴CF=EG,∠BFC=∠DGE,
∵BG=
BD,BF=
AB,
∴BG=BF,
∴∠BFG=∠BGF,
∵∠BGF=∠DGH,
∴∠CFH=∠EGL,
在△CFH与△EGL中,
,
∴△CFH≌△EGL,(SAS),
∴CH=EL,∠ELH=∠CHF,
∴∠ELH=∠EHL,
∴EH=EL,
∴EH=CH.
2.
(1)证明:
∵CE=BF,
∴CE+EF=BF+EF,
∴BE=CF,
在△ABE和△DCF中,
,
∴△ABE≌△DCF(SSS),
∴∠B=∠C;
(2)解:
由
(1)得:
△ABE≌△DCF,
∴∠AEB=∠DFC=30°,
∴∠BAE=180°﹣∠B﹣∠AEB=180°﹣40°﹣30°=110°,
∵AF平分∠BAE,
∴∠BAF=
∠BAE=
×110°=55°.
3.
(1)证明:
∵正五边形ABCDE,
∴AB=BC,∠ABF=∠C,
∴在△ABF和△BCG中
,
∴△ABF≌△BCG(SAS);
(2)解:
∵△ABF≌△BCG,
∴∠BAF=∠CBG,
∵∠BAF+∠ABH=∠AHG,
∴∠CBH+∠ABH=∠AHG=∠ABC=
=108°.
∴∠AHG=108°.
4.解:
∵AB⊥BD,ED⊥BD,
∴∠ABC=∠EDC=90°.
在△ABC与△EDC中,
,
∴△ABC≌△EDC(ASA),
∴DE=AB,即测得DE的长就是河宽.
5.解:
(1)∵AD⊥BC于D,
∴∠BDE=∠ADC=90°.
∵AD=BD,AC=BE,
∴△BDE≌△ADC(HL).
∴∠1=∠C.
(2)由
(1)知△BDE≌△ADC.
∴DE=DC.
6.证明:
(1)∵AD∥CB,
∴∠ADB=∠CBD,
在△ADB和△CBD中
∴△ADB≌△CBD(AAS),
∴AD=BC;
(2)∵∠ADB=∠CBD,∠ADB+∠EDA=180°,∠CBD+∠FBC=180°,
∴∠EDA=∠FBC,
在△EDA和△FBC中
∴△EDA≌△FBC(SAS),
∴∠E=∠F,
∴AE∥CF.
7.解:
(1)PC=BC﹣BP=6﹣2t;
(2)∵t=1时,PB=2,CQ
=2,
∴PC=BC﹣PB=6﹣2=4,
∵BD=AD=4,
∴PC=BD,
∵∠C=∠B,CQ=BP,
∴△QCP≌△PBD.
(3)∵点P、Q的运动速度不相等,
∴BP≠CQ,
又∵△BPD与△CPQ全等,∠B=∠C,
∴BP=PC,BD=CQ,
∴2t=6﹣2t,at=4,
解得:
t=
,a=
.
8.证明:
在△AFC与△AGB中
,
∴△AFC≌△AGB(SAS),
∴∠AFC=∠AGB,
∴∠AFD=∠AGE,
∵AE⊥BG交BG的延长线于E,AD⊥CF交CF的延长线于D.
∴∠ADF=∠AEG=90°,
在△ADF与△AEG中
,
∴△ADF≌△AEG(AAS),
∴AD=AE.
9.证明:
∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,
∴∠ACE=∠ABC=∠CDE=90°,
∴∠ACB+∠ECD=90°,∠ECD+∠CED=90°,
∴∠ACB=∠CED.
在△ABC和△CDE中,
,
∴△ABC≌△CDE(ASA),
∴AB=CD.
10.解:
(1)理由:
∵MD⊥AB,
∴∠MDE=∠C=90°,
∵ME∥BC,
∴∠B=∠MED,
在△ABC与△MED中,
,
∴△ABC≌△MED(AAS).
(2)由
(1)知△ABC≌△MED,
∴∠A=∠M=35°,在Rt△ABC中,
∠B=90°﹣35°=55°.
11.证明:
如图所示:
(1)∵BC=BE+EC,EF=CF+EC,BE=CF,
∴BC=EF,
又∵AB∥DE,
∴∠B=∠DEC,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴AC=DF;
(2)∵△ABC≌△DEF,
∴∠F=∠ACB,
∴DF∥AC,
∴∠D=∠EGC,
又∵∠D=65°,
∴∠EGC=65°.
12.解:
(1)∵∠B=70°,AB=AD,
∴∠ADB=∠B=70°,
∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°,
∴∠BAD=40°,
∵∠CAE=∠BAD,
∴∠CAE=40°,
∵AE∥BC,
∴∠C=∠CAE=40°;
(2)AD平分∠BDE,
理由是:
∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD,
即∠BAC=∠DAE,
在△BAC和△DAE中,
,
∴△BAC≌△DAE(SAS)
∴∠B=∠ADE,
∵∠B=∠ADB,
∴∠ADE=∠ADB,
即AD平分∠BDE.
13.解:
(1)△ACP≌△BPQ,
∵AC⊥AB,BD⊥AB
∴∠A=∠B=90°
∵AP=BQ=2,
∴BP=5,
∴BP=AC,
在△ACP和△BPQ中,
,
∴△ACP≌△BPQ;
∴∠C=∠BPQ,
∵∠C+∠APC=90°,
∴∠APC+∠BPQ=90°,
∴∠CPQ=90°,
∴PC⊥PQ;
(2)存在x的值,使得△ACP与△BPQ全等,
①若△ACP≌△BPQ,
则AC=BP,AP=BQ,可得:
5=7﹣2t,2t=xt
解得:
x=2,t=1;
②若△ACP≌△BQP,
则AC=BQ,AP=BP,可得:
5=xt,2t=7﹣2t
解得:
x=
,t=
.
14.
(1)解:
∵DE∥BC,∠EBC=35°,
∴∠DEB=∠EBC=35°,
又∵∠BDE+∠DEB+∠DBE=180°,∠DBE=40°,
∴∠BDE=105°;
(2)证明:
∵∠EGH是△FBG的外角,
∴∠EGH>∠ABC,
又∵DE∥BC,
∴∠ABC=∠ADE,
∴∠EGH>∠ADE;
(3)全等.
证明:
E是AC和FG的中点,
∴AE=CE,FE=GE,
在△AFE和△CEG中,
,
∴△AFE≌△CEG(SAS).
15.证明:
(1)∵DE⊥AB,CD⊥AC,
∴∠C=∠DEB.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴CD=DE.
∵BD=DF,
∴△CDF≌△EDB(HL).
(2)BE+DE>DF.
∵△CDF≌△EDB,
∴CF=EB.
∴BE+DC>DF(三角形的两边之和大于第三边).
16.
(1)证明:
∵AD⊥BC于D,AD=BD,AC=BE,
∴△ACD≌△BED(HL),
∴∠BED=∠C;
(2)解:
BE和AC的数量和位置关系为:
BE=AC,BE⊥AC.理由如下:
∵△ACD≌△BED(已证得),
∴BE=AC;
延长BE交AC于F,
∵∠EBD+∠BED=90°,∠BED=∠C(已证得),
∴∠EBD+∠C=90°,即BE⊥AC.
17.证明:
(1)∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠AEF=∠CEB=90°.
即∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠ECB=90°.
又∵∠AFE=∠CFD,
∴∠EAF=∠ECB.
在△AEF和△CEB中,
∴△AEF≌△CEB(AAS);
(2)∵△AEF≌△CEB,
∴AF=BC,
∵AB=AC,AD⊥BC
∴CD=BD,BC=2CD.
∴AF=2CD.
18.解:
(1)∵|m﹣n﹣3|+
=0,
且|m﹣n﹣3|≥0,
≥0
∴|m﹣n﹣3|=
=0,
∴n=3,m=6,
∴点A(0,6),点B(3,0).
∴OA=6,OB=3;
(2)连接PB,
t秒后,AP=t,OP=|6﹣t|,
∴S=
OP•OB=
|6﹣t|;(t≥0)
(3)作出图形,
∵∠OAB+∠OBA=90°,∠OAB+∠APD=90°,∠OPE=∠APD,
∴∠OBA=∠OPE,
∴只要OP=OB,即可求证△EOP≌△AOB,
∴AP=AO﹣OP=3,或AP′=OA+OP′=9
∴t=3或9.
19.
(1)证明:
∵AB∥DE,
∴∠B=∠C,
∵AC∥FD,
∴∠BCA=∠EFD,
∵FB=EC,
∴BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(ASA)
(2)证明:
∵△ABC≌△DEF,
∴AC=CF,∠ACB=∠DFE,
在△ACO和△DFO中,
,
∴△ACO≌△DFO(AAS),
∴AO=OD.
20.
(1)证明:
∵CB=CA,DB=DA,
∴CD垂直平分线段AB,
∴CD⊥AB.
(2)①证明:
∵AC=BC,
∴∠CBA=∠CAB,
又∵∠ACB=90°,
∴∠CBA=∠CAB=45°,
又∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠DBA=∠DAB=30°,
∴∠BDE=30°+30°=60°,
∵AC=BC,∠CAD=∠CBD=15°,
∴BD=AD,
在△ADC和△BDC中,
,
∴△ADC≌△BDC(SAS),
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠CDE=60°,
∵∠CDE=∠BDE=60°,
∴DE平分∠BDC;
②解:
结论:
ME=BD,
理由:
连接MC,
∵DC=DM,∠CDE=60°,
∴△MCD为等边三角形,
∴CM=CD,
∵EC=CA,∠EMC=120°,
∴∠ECM=∠BCD=45°
在△BDC和△EMC中,
,
∴△BDC≌△EMC(SAS),
∴ME=BD.
③当EN=EC时,∠ENC=7.5°或82.5°;当EN=CN时,∠ENC=150°;当CE=CN时,∠CNE=15°,
所以∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°.
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