余弦定理知识点总结和同步练习.docx
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余弦定理知识点总结和同步练习
余弦定理知识点总结和同步练习
最大角的余弦值的正负号,若最大角的余弦值为负数,也即最大角为钝角,所以此三角形为钝角三角形;若最大角的余弦值为0,也即最大角为直角,所以此三角形为直角三角形;若最大角的余弦值为正数,也即最大角为锐角,所以此三角形为锐角三角形;
4、余弦定理的适用范围
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决两类问题:
①已知三角形两边及夹角求第三边;②是已知三个边求角的问题.
若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。
注:
在两边一对角的三角问题中,也可以运用余弦定理方便快捷的求出第三边;余弦定理的应用要比正弦定理范围广泛。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值
例题:
1在
ABC中,已知
,
,
,求b及A;
解析:
(1)∵
=
COS
=
=
∴
求
可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:
解法一:
∵cos
∴
解法二:
∵sin
又∵
>
<
∴
<
,即
<
<
∴
例2:
思路点拨:
由题目可获取以下主要信息:
①已知三边比例;
②求三角形的三内角.
解答本题可应用余弦定理求出三个角
[题后感悟] 此题为“已知三边,求三角形的三个角”类型问题,基本解法是先利用余弦定理的推论求一个角的余弦,再判定此角的取值,求得第一个角,再用正弦定理求出另一个角,最后用三角形内角和定理,求出第三个角(一般地,先求最小角,再求最大角)
例3:
[题后感悟] 可比较两种方法,从中体会各自的优点,三角形中已知两边及一角,有两种解法,从而摸索出适合自己思维的解题规律和方法.方法一利用余弦定理列出关于a的等量关系建立方程,运用解方程的方法求出a边的长,这样可免去判断取舍的麻烦.方法二直接运用正弦定理,先求角再求边.
2.若将题中条件改为“b=3,c=2,A=30°”,应如何求解三角形?
考点二:
判断三角形的形状
例5:
在△ABC中,若
,试判断三角形的形状
思路点拨:
由题目可获取以下主要信息:
①边角之间的关系:
;
②确定三角形的形状.
解答本题先由正弦定理将边转化为角,然后由三角恒等式进行化简,得出结论;也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系,然后由边的关系确定三角形形状.
[题后感悟] 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考,可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系,从而判断三角形的形状,也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换,得出三角形各内角之间的关系,从而判断三角形形状
4.在△ABC中,(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,试确定△ABC的形状.
1.余弦定理与勾股定理之间的联系
(1)对于余弦定理
中,若C=90°,则
,此即为勾股定理,也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况.
(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,也是解三角形的重要工具.
①在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以知三求一.
②余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具,它可以用来判定三角形的形状,证明三角形中的有关等式,在一定程度上,它比正弦定理的应用更加广泛.
[特别提醒] 在利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理中涉及的是边长的平方,求得结果常有两解,因此,解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.
2.解三角形问题的类型
解三角形的问题可以分为以下四类:
(1)已知三角形的两边和其中一边的对角,解三角形.
此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角,用三角形的内角和定理求出第三个角,再用正弦定理求出第三边,注意判断解的个数.
(2)已知三角形的两角和任一边,解三角形.
此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求第三边.若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.
(3)已知两边和它们的夹角,解三角形.
此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边,再用正弦定理或余弦定理求另一角,最后用三角形内角和定理求第三个角.
(4)已知三角形的三边,解三角形.
此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角,再用正弦定理或余弦定理求出另一个角,最后用三角形内角和定理,求出第三个角.
要解三角形,必须已知三角形的一边的长.若已知条件中一条边的长也不给出,三角形可以是任意的,因此无法求解
◎已知钝角三角形的三边a=k,b=k+2,c=k+4,求k的取值范围
【错因】 忽略隐含条件k+(k+2)>k+4,即k>2,
而不是k>0.
1.1.2余弦定理同步练习
一、选择题
1.在△ABC中,
,则角C为( )
A.
B.
C.
D.
2.在△ABC中,已知AB=
,
,AC边上的中线BD=
,则sinA的值为( )
A.
B.
C.
D.
3.在△ABC中,若
,并有sinA=2sinBcosC,那么△ABC是( )
A.直角三角形 B.等边三角形 C. 等腰三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题
4.△ABC中,AB=2,BC=5,S△ABC=4,则AC=_________
5.在△ABC中,已知
S△ABC=
则
_________
三、解答题
6.在△ABC中,角A、B、C对边分别为
,证明
。
7.已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积
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- 余弦 定理 知识点 总结 同步 练习