第33讲 向量的模长问题代数法含模长习题.docx
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第33讲向量的模长问题代数法含模长习题
第33讲向量的模长问题——代数法
一、基础知识:
利用代数方法处理向量的模长问题,主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式
1、模长平方:
通过
可得:
,将模长问题转化为数量积问题,从而能够与条件中的已知向量(已知模长,夹角的基向量)找到联系。
要注意计算完向量数量积后别忘记开方
2、坐标运算:
若
,则
。
某些题目如果能把几何图形放入坐标系中,则只要确定所求向量的坐标,即可求出(或表示)出模长
3、有关模长的不等问题:
通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系,从而将问题转化为求函数最值问题
二、典型例题
例1:
在
中,
为
中点,若
,则
_____
思路:
题目条件有
,进而
可求,且
可用
表示,所以考虑模长平方转化为数量积问题
解:
为
中点
可得:
代入可求出:
答案:
例2:
若
均为单位向量,且
,则
的最大值为()
A.
B.
C.
D.
思路:
题目中所给条件与模和数量积相关,几何特征较少,所以考虑将
平方,转化为数量积问题,再求最值。
解:
①
①转化为
答案:
B
例3:
平面上的向量
满足
,且
,若
,则
的最小值为___________
思路:
发现所给条件均与
相关,且
可以用
表示,所以考虑
进行模长平方,然后转化为
的运算。
从而求出最小值
解:
,代入可得:
答案:
例4:
已知平面向量
满足
,且
与
的夹角为
,则
的最小值是()
A.
B.
C.
D.
思路:
题目所给条件围绕着
与
,所以考虑所求向量用这两个向量进行表示:
,从而模长平方变成数量积问题,可得:
,将
视为一个整体,则可配方求出最小值
解:
答案:
A
小炼有话说:
本题的关键在于选好研究对象,需要把已知的两个向量视为整体,而不是
例5:
已知平面向量
的夹角
,且
,若
,则
的取值范围是__________
思路:
由
和夹角范围即可得到
的范围,从而可想到将
模长平方,再利用
转变为关于
的问题,从而得到关于夹角
的函数,求得范围。
解:
答案:
例6:
已知
,
,则
的最小值是()
A.
B.
C.
D.
思路:
由条件可得
,所以考虑将
模长平方,从而转化为数量积问题,代入
的值可得到关于
的二次函数,进而求出最小值
解:
答案:
D
例7:
已知直角梯形
中,
∥
,
为腰
上的动点,则
的最小值为__________
思路:
所求
难以找到其几何特点,所以考虑利用代数手段,在直角梯形中依直角建系,点
的纵坐标与梯形的高相关,可设高为
,
,
,则
,所以
,
,即
答案:
例8:
如图,在边长为
的正三角形
中,
分别是边
上的动点,且满足
,其中
,
分别是
的中点,则
的最小值为()
A.
B.
C.
D.
思路:
等边三角形三边已知,故可以考虑用三边的向量将
进行表示,从而模长平方后
可写成关于
的表达式,再利用
即可消元。
解:
答案:
C
例9:
已知
与
的夹角为
,
,
,且
,
在
时取到最小值。
当
时,
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
思路:
本题含两个变量
,且已知
范围求
的范围,所以考虑建立
和
的关系式,
,从而考虑模长平方,向
靠拢,可得:
,所以当
达到最小值时,
,由
可得
解得
,即
解:
时,
取得最小值
,所以不等式等价于:
答案:
C
例10:
已知
中,
,点
是线段
(含端点)上的一点,且
,则
的范围是__________
思路:
本题由垂直和模长条件可考虑建系,从而用坐标来使用数量积的条件。
如图建系,设
,则
,设
,则由
可得
,已知条件
,所求
模长平方后可得
,所以问题转化为已知
求
的最大值。
考虑
,
,寻找两个式子的联系,有
,所以
,即
,从而
,而另一方面:
由
及
(
符合直线
的方程)可得:
,所以
(
时取等号),所以综上可得:
答案:
三、历年好题精选(模长综合)
1、点
是
的重心,若
,则
的最小值为__________
2、已知
是两个互相垂直的单位向量,且
,则对任意的正实数
,
的最小值为_________
3、已知
是单位向量,且
,若
满足
,则
的范围是_______
4、在
中,
,如果不等式
恒成立,则实数
的取值范围是_____________
5、设直角
的三个顶点都在单位圆
上,点
,则
的最大值是()
A.
B.
C.
D.
6、已知向量
满足
与
的夹角为
,
,则
的最大值为()
A.
B.
C.
D.
7、(2016,上海五校联考)在平面直角坐标系
中,已知圆
,点
在圆上,且
,则
的取值范围是_________
8、(2015,湖南)已知点
在圆
上运动,且
,若点
的坐标为
,则
的最大值为()
A.
B.
C.
D.
9、已知
为非零向量,
,若
,当且仅当
时,
取到最小值,则向量
的夹角为_______
10、(2016,重庆万州二中)已知单位向量
满足
,且
,则
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
11、(2016,贵阳一中四月考)已知点
是
的重心,若
,
,则
的最小值是()
A.
B.
C.
D.
习题答案:
1、答案:
解析:
为
的重心,延长
交
于
,则
是中线
2、答案:
解析:
,代入已知条件可得:
3、答案:
解析:
设
,因为
是单位向量,且
,所以
为模长是
的向量,由已知可得
,所以数形结合可知:
,从而
的范围是
4、答案:
解析:
由余弦定理可得:
5、答案:
C
解析:
由题意,
,当且仅当
共线同向时,取等号,即
取得最大值,最大值是
,
6、答案:
D
解析:
设
;
以
所在直线为
轴,
为坐标原点建立平面直角坐标系,
∵
与
的夹角为
,
则
,设
∵
即
表示以
为圆心,以1为半径的圆,
表示点A,C的距离即圆上的点与点
的距离;
∵圆心到B的距离为
,
∴
的最大值为
.
7、答案:
解析:
设
,
中点
由圆
可得:
在以
为圆心,半径
的圆上
即
8、答案:
B
解析:
由
可知
为直径,因为该圆为圆心在原点的单位圆,所以
关于原点对称,设
,则
,设
,所以可得:
,所以
,则
,因为
在圆上,所以
,代入可得
,故
9、答案:
解析:
,设
,因为
时,
取得最小值,所以
的对称轴
,所以
,所以
夹角为
10、答案:
D
解析:
以
为基底建立直角坐标系,可知
,设
即
到
的距离和为
,
在线段
上,
直线方程为
,即线段
上动点
到定点
的距离
通过数形结合可得:
所以
的取值范围是
11、答案:
C
解析:
,可知
,设
为底边
上的中线,
由重心性质可得:
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