平行四边形中考集锦.docx

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平行四边形中考集锦

中考集锦2

6．（3分）（2013•娄底）下列命题中，正确的是（　　）

A．

平行四边形的对角线相等

B．

矩形的对角线互相垂直

C．

菱形的对角线互相垂直且平分

D．

梯形的对角线相等

考点：

命题与定理．

分析：

根据菱形、平行四边形、矩形、等腰梯形的性质分别判断得出即可．

解答：

解：

A、根据平行四边形的对角线互相平分不相等，故此选项错误；

B、矩形的对角线相等，不互相垂直，故此选项错误；

C、根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，故此选项正确；

D、根据等腰梯形的对角线相等，故此选项错误；

故选：

C．

点评：

此题主要考查了菱形、平行四边形、矩形、等腰梯形的性质，熟练掌握相关定理是解题关键．

　23．（10分）（2013•盐城）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE=AB．

（1）求证：

∠ABE=∠EAD；

（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：

四边形ABCD是菱形．

考点：

菱形的判定；平行四边形的性质

专题：

证明题．

分析：

（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证；

（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBE，然后求出∠ABD=∠ADB，再根据等角对等边求出AB=AD，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．

解答：

证明：

（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD，

∵AE=AB，

∴∠ABE=∠AEB，

∴∠ABE=∠EAD；

（2）∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBE，

∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，

∴∠ABE=2∠ADB，

∴∠ABD=∠ABE﹣∠DBE=2∠ADB﹣∠ADB=∠ADB，

∴AB=AD，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形．

点评：

本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，平行线的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形与菱形的关系是解题的关键．

　12.如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。

若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120︒，则EF=cm。

答案：

解析：

点A恰好落在菱形的对称中心O处，如图，P为AO中点，所以E为A职点，AE＝1，∠EAO=60︒，EP＝

，所以，EF＝

19.（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分

∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂

足分别为M、N。

（1）求证：

∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90︒，求证：

四边形MPND是正方形。

解析：

证明：

（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD。

又∵BA=BC，BD=BD，

∴△ABD≅△CBD。

∴∠ADB=∠CDB。

（4分）

（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90︒。

又∵∠ADC=90︒，∴四边形MPND是矩形。

∵∠ADB=∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN。

∴四边形MPND是正方形。

（8分）

24．（8分）（2013•南通）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．

求证：

四边形BCDE是矩形．

考点：

矩形的判定；全等三角形的判定与性质

专题：

证明题．

分析：

求出∠BAE=∠CAD，证△BAE≌△CAD，推出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线性质得出∠BED+∠CDE=180°，求出∠BED，根据矩形的判定求出即可．

解答：

证明：

∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC，

∴∠BAE=∠CAD，

∵在△BAE和△CAD中

∴△BAE≌△CAD（SAS），

∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，

∵DE=BC，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∵AE=AD，

∴∠AED=∠ADE，

∵∠BEA=∠CDA，

∴∠BED=∠CDE，

∵四边形BCDE是平行四边形，

∴BE∥CD，

∴∠CDE+∠BED=180°，

∴∠BED=∠CDE=90°，

∴四边形BCDE是矩形．

点评：

本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

17．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是　3　．

12．（3分）（2013•湘西州）下列说法中，正确的是（　　）

A．

同位角相等

B．

对角线相等的四边形是平行四边形

C．

四条边相等的四边形是菱形

D．

矩形的对角线一定互相垂直

考点：

菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质．

分析：

根据平行线的性质判断A即可；根据平行四边形的判定判断B即可；根据菱形的判定判断C即可；根据矩形的性质判断D即可．

解答：

解：

A、如果两直线平行，同位角才相等，故本选项错误；

B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；

C、四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；

D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；

故选C．

点评：

本题考查了平行线的性质，平行四边形、菱形的判定、矩形的性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．

6．（4分）（2013•益阳）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）

A．

∠1=∠2

B．

∠BAD=∠BCD

C．

AB=CD

D．

AC⊥BD

考点：

平行四边形的性质．

分析：

根据平行

四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出即可．

解答：

解：

∵在平行四边形ABCD中，

∴AB∥CD，

∴∠1=∠2，故此选项正确，不合题意；

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，故B，C选项正确，不合题意；

无法得出AC⊥BD，故此选项错误，符合题意．

故选D．

点评：

此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关的性质是解题关键．

．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22．5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（C）

A.1B.

C.4－2

D.3

－4

19．（8分）（2013•湘西州）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF，CE．

（1）求证：

△BEC≌△DFA；

（2）求证：

四边形AECF是平行四边形．

考点：

矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定

专题：

证明题．

分析：

（1）根据E、F分别是边AB、CD的中点，可得出BE=DF，继而利用SAS可判断△BEC≌△DFA；

（2）由

（1）的结论，可得CE=AF，继而可判断四边形AECF是平行四边形．

解答：

证明：

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AD=BC，

又∵E、F分别是边AB、CD的中点，

∴BE=DF，

∵在△BEC和△DFA中，

，

∴△BEC≌△DFA（SAS）．

（2）由

（1）得，CE=AF，AD=BC，

故可得四边形AECF是平行四边形．

点评：

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形的对边相等，四角都为90°，及平行四边形的判定定理．

22．（8分）（2013•株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．

（1）求证：

△AOE≌△COF；

（2）若∠EOD=30°，求CE的长．

考点：

菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

分析：

（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO=CO，对边平行可得AD∥BC，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等；

（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO=CO，AD∥BC，

∴∠OAE=∠OCF，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：

∵∠BAD=60°，

∴∠DAO=

∠BAD=

×60°=30°，

∵∠EOD=30°，

∴∠AOE=90°﹣30°=60°，

∴∠AEF=180°﹣∠BOD﹣∠AOE=180°﹣30°﹣60°=90°，

∵菱形的边长为2，∠DAO=30°，

∴OD=

AD=

×2=1，

∴AO=

=

=

，

∴AE=CF=

×

=

，

∵菱形的边长为2，∠BAD=60°，

∴高EF=2×

=

，

在Rt△CEF中，CE=

=

=

．

点评：

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，

（2）求出△CEF是直角三角形是解题的关键，也是难点．

23.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA。

求证：

四边形ABCD是菱形。

证明∵AB=AC,AD平分∠FAC，CD平分∠ECA

∴∠B=∠ACB，∠CAD=

∠CAF=

（∠B+∠ACB）=∠ACB

∴AD//BC

∴∠D=∠DCE=∠ACD

∴AC=AD∠B=60°

∴∠B=∠ACB=∠BAC=∠CAD=∠D=∠ACD=60°

∴AB=AC=BC=CD=AD

∴四边形ABCD是菱形

24．（10分）（2013•张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）求证：

OE=OF；

（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；

（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？

并说明理由．

考点：

矩形的判定；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．

分析：

（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；

（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；

（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．

解答：

（1）证明：

∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，

∴∠2=∠5，4=∠6，

∵MN∥BC，

∴∠1=∠5，3=∠6，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴EO=CO，FO=CO，

∴OE=OF；

（2）解：

∵∠2=∠5，∠4=∠6，

∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，

∵CE=12，CF=5，

∴EF=

=13，

∴OC=EF=6.5；

（3）答：

当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．

证明：

当O为AC的中点时，AO=CO，

∵EO=FO，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵∠ECF=90°，

∴平行四边形AECF是矩形．

点评：

此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键．

18．（8分）（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：

四边形EFGH为菱形．

考点：

菱形的判定；梯形；中点四边形．

专题：

证明题．

分析：

连接AC、BD，根据等腰梯形的对角线相等可得AC=BD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF=GH=

AC，HE=FG=

BD，从而得到EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形判定即可．

解答：

证明：

如图，连接AC、BD，

∵AD∥BC，AB=CD，

∴AC=BD，

∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，

∴在△ABC中，EF=

AC，

在△ADC中，GH=

AC，

∴EF=GH=

AC，

同理可得，HE=FG=

BD，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四边形EFGH为菱形．

点评：

本题考查了菱形的判定，等腰梯形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，作辅助线是利用三角形中位线定理的关键，也是本题的难点．

14．（3分）（2013•十堰）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=

，则AB的长是　1　．

考点：

平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

分析：

根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．

解答：

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB=CD，

∵AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AB=DE=CD，

即D为CE中点，

∵EF⊥BC，

∴∠EFC=90°，

∵AB∥CD，

∴∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠CEF=30°，

∵EF=

，

∴CE=2，

∴AB=1，

故答案为1．

点评：

本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．

　18.（2013湖南邵阳第18题3分）如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转1800得到△CDA，添加一个条件，使四边形ABCD为矩形。

【答】本题答案不唯一，如：

∠B=900或∠BAC+∠BCA=900,或OB=OA=OC或AB2+BC2=AC2等.

7．（3分）（2013•宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（　　）

A．

8

B．

6

C．

4

D．

2

考点：

等腰三角形的判定；矩形的性质．

分析：

根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形．

解答：

解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AO=BO=CO=DO，

∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形，

故选：

C．

点评：

此题主要考查了等腰三角形的判定，以及矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．

7．（3分）（2013•荆门）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：

①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD

从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（　　）

A．

3种

B．

4种

C．

5种

D．

6种

考点：

平行四边形的判定．

分析：

根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．

解答：

解：

①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；

③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；

①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；

①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；

故选：

B．

点评：

此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．

7．（3分）（2013•十堰）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则下底BC的长为（　　）

A．

8

B．

9

C．

10

D．

11

考点：

等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质．

分析：

首先构造直角三角形，进而根据等腰梯形的性质得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可．

解答：

解：

过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，

∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，

∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，

∴cos60°=

=

=

，

解得：

BF=1.5，

故EC=1.5，

∴BC=1.5+1.5+5=8．

故选：

A．

点评：

此题主要考查了等腰梯形的性质以及解直角三角形等知识，根据已知得出BF=EC的长是解题关键．

18．（7分）（2013•宜昌）如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF．

（1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由；

（2）连接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF的长．

考点：

菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．

分析：

（1）由AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：

四边形AEDF是菱形；

（2）首先连接EF，由AE=AF，∠A=60°，可证得△EAF是等边三角形，则可求得线段EF的长．

解答：

解：

（1）菱形．

理由：

∵根据题意得：

AE=AF=ED=DF，

∴四边形AEDF是菱形；

（2）连接EF，

∵AE=AF，∠A=60°，

∴△EAF是等边三角形，

∴EF=AE=8厘米．

点评：

此题考查了菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

23．（8分）（2013•郴州）如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：

四边形DEBF是平行四边形．

考点：

平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

首先根据平行线的性质可得∠BEC=∠DFA，再加上条件∠ADF=∠CBE，AF=CE，可证明△ADF≌△CBE，再根据全等三角形的性质可得BE=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．

解答：

证明：

∵BE∥DF，

∴∠BEC=∠DFA，

在△ADF和△CBE中

，

∴△ADF≌△CBE（AAS），

∴BE=DF，

又∵BE∥DF，

∴四边形DEBF是平行四边形．

点评：

此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．