高一物理 力学专题提升 专题03 处理平衡问题的常用方法.docx
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高一物理力学专题提升专题03处理平衡问题的常用方法
专题03处理平衡问题的常用方法
【专题概述】
1处理平衡问题的常用方法
方法
内容
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡,则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等,方向相反
分解法
物体受三个共点力的作用而平衡,将某一个力按力的效果分解,则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法
物体受到三个或三个以上力的作用时,将物体所受的力分解为相互垂直的两组,每组力都满足平衡条件
力的三角形法
对受三力作用而平衡的物体,将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形,根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
2.一般解题步骤
(1)选取研究对象:
根据题目要求,选取一个平衡体(单个物体或系统,也可以是结点)作为研究对象.
(2)画受力示意图:
对研究对象进行受力分析,画出受力示意图.
(3)正交分解:
选取合适的方向建立直角坐标系,将所受各力正交分解.
(4)列方程求解:
根据平衡条件列出平衡方程,解平衡方程,对结果进行讨论.
3.应注意的两个问题
(1)物体受三个力平衡时,利用力的分解法或合成法比较简单.
(2)解平衡问题建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合,需要分解的力尽可能少.物体受四个以上的力作用时一般要采用正交分解法
【典例精讲】
方法1直角三角形法
用直角三角法解答平衡问题是常用的数学方法,在直角三角形中可以利用勾股定理、正弦函数、余弦函数等数学知识求解某一个力,若力的合成的平行四边形为菱形,可利用菱形的对角线互相垂直平分的特点进行求解.
【典例1】如图所示,石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块,侧面与竖直方向的夹角为α,重力加速度为g,若接触面间的摩擦力忽略不计,则石块侧面所受弹力的大小为
A.mg2sinαB.mg2cosα
C.12mgtanαD.12mgcotα
【答案】A
直角三角形,且∠OCD为α,则由12mg=FNsinα可得FN=mg2sinα,故A正确.
方法2相似三角形法
物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态,画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形中,可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似,进而得到力三角形与几何三角形对应边成比例,根据比值便可计算出未知力的大小与方向.
【典例2】如图所示,一个重为G的小球套在竖直放置的半径为R的光滑圆环上,一个劲度系数为k,自然长度为L(L<2R)的轻质弹簧,一端与小球相连,另一端固定在圆环的最高点,求小球处于静止状态时,弹簧与竖直方向的夹角φ.
【答案】arccoskLkR-G
【解析】对小球B受力分析如图所示,由几何关系有△AOB∽△CDB,
【典例3】如图所示,不计重力的轻杆OP能以O点为圆心在竖直平面内自由转动,P端用轻绳PB挂一重物,而另一根轻绳通过滑轮系住P端.在力F的作用下,当杆OP和竖直方向的夹角α(0<α<π)缓慢增大时,力F的大小应()
A.恒定不变B.逐渐增大
C.逐渐减小D.先增大后减小
【答案】B
【解析】
由三角形相似得:
FPQ=mgOQ,F=PQOQmg,α逐渐增大,即PQ增大,由上式知F逐渐增大,B正确.
方法3:
正弦定理法
三力平衡时,三力合力为零.三个力可构成一个封闭三角形,若由题设条件寻找到角度关系,则可由正弦定理列式求解.
【典例4】一盏电灯重力为G,悬于天花板上A点,在电线O处系一细线OB,使电线OA与竖直方向的夹角为β=30°,如图所示.
现保持β角不变,缓慢调整OB方向至OB线上拉力最小为止,此时OB与水平方向的夹角α等于多少?
最小拉力是多少?
【答案】30°G2
【解析】对电灯受力分析如图所示,据三力平衡特点可知:
OA、OB对O点的作用力TA、TB的合力T与G等大反向,即T=G①
【名师点评】相似三角形法和正弦定理法都属于数学解斜三角形法,只是已知条件不同而已.若已知三角形的边关系选用相似三角形法,已知三角形的角关系,选用正弦定理法.
【典例5】如图所示,质量为m的小球置于倾角为30°的光滑斜面上,劲度系数为k的轻质弹簧一端系在小球上,另一端固定在墙上的P点,小球静止时,弹簧与竖直方向的夹角为30°,则弹簧的伸长量为()
A.mgkB.3mg2k
C.3mg3kD.3mgk
【答案】C
物体受三个共面非平行外力作用而平衡时,这三个力必为共点力.
【典例6】如图所示,重为G的均匀链条挂在等高的两钩上,链条悬挂处与水平方向成θ角,试求:
(1)链条两端的张力大小;
(2)链条最低处的张力大小.
【答案】
(1)G2sinθ
(2)Gcotθ2
【解析】
(1)整个链条受三个力作用而处于静止,这三个力必为共点力,由对称性可知,链条两端受力必大小相等,受力分析如图甲.
由平衡条件得:
2Fsinθ=G
F=G2sinθ.
(2)在求链条最低处张力时,可将链条一分为二,取一半链条为研究对象.受力分析如图乙所示,由平衡条件得水平方向所受力为
F′=Fcosθ=G2sinθcosθ=G2cotθ.
方法5:
图解法
【典例7】如图所示,用一根长为l的细绳一端固定在O点,另一端悬挂质量为m的小球A,为使细绳与竖直方向成30°角且绷紧,小球A处于静止,对小球施加的最小的力是().
A.mgB.32mg
C.12mgD.33mg
【答案】C
【典例8】如图所示,小球用细绳系住,绳的另一端固定于O点.现用水平力F缓慢推动斜面体,小球在斜面上无摩擦地滑动,细绳始终处于直线状态,当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平,此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是().
A.FN保持不变,FT不断增大
B.FN不断增大,FT不断减小
C.FN保持不变,FT先增大后减小
D.FN不断增大,FT先减小后增大
【答案】D
【总结提升】
1直角三角形分析物体动态平衡问题时,一般物体只受三个力作用,且其中三个力的方向都没有发生变化,并且所构成的三角形是一个直角三角形,此时就可以用直角三角形解平衡了。
2图解法的适用情况
图解法分析物体动态平衡问题时,一般物体只受三个力作用,且其中一个力大小、方向均不变,另一个力的方向不变,第三个力大小、方向均变化。
(3)用力的矢量三角形分析力的最小值问题的规律:
①若已知F合的方向、大小及一个分力F1的方向,则另一分力F2的最小值的条件为F1⊥F2;
②若已知F合的方向及一个分力F1的大小、方向,则另一分力F2的最小值的条件为F2⊥F合。
动态平衡类问题的特征:
通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢的变化,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态,在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。
3相似三角形分析动态平衡问题时,一般物体只受三个力作用,且其中一个力大小、方向均不变,另外两个力的方向都在发生变化,此时就适合选择形式三角形来解题了
4正弦定理分析物体的平衡时,基本上会出现物体旋转的问题这时候就可以用正弦定理来解题了
【专练提升】
1.如图所示,水平地面上处于伸直状态的轻绳一端拴在质量为m的物块上,另一端拴在固定于B点的木桩上.用弹簧测力计的光滑挂钩缓慢拉绳,弹簧测力计始终与地面平行.物块在水平拉力作用下缓慢滑动.当物块滑动至A位置,∠AOB=120°时,弹簧测力计的示数为F.则().
A.物块与地面间的动摩擦因数为Fmg
B.木桩受到绳的拉力始终大于F
C.弹簧测力计的拉力保持不变
D.弹簧测力计的拉力一直增大
【答案】AD
2、如图所示,两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连,球B用长为L的细绳悬于O点,球A固定在O点正下方,且OA之间的距离恰为L,系统平衡时绳子所受的拉力为F1.现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧,仍使系统平衡,此时绳子所受的拉力为F2,则F1与F2的大小之间的关系为()
A.F1>F2B.F1=F2
C.F1 【答案】A 【解析】由图知棒受重力G,上端绳拉力T,水平绳拉力F三力作用而平衡,知此三力为共点力,则将T和F反向延长与重力G交于O′点,因棒的重心在棒的中点,则由几何关系知l1=l2,tanα=hl1,tanβ=hl1+l2,联立解得: tanα=2tanβ,所以A项正确 3.(多选)气象研究小组用图示简易装置测定水平风速,在水平地面上竖直固定一直杆,质量为m的薄空心塑料球用细线悬于杆顶端O,当水平风吹来时,球在水平风力的作用下飘起来.已知风力大小正比于风速,当风速v0=3m/s时,测得球平衡时细线与竖直方向的夹角θ=30°.则() A.细线拉力的大小为 B.若风速增大到某一值时,θ可能等于90° C.细线拉力与风力的合力大于mg D.θ=30°时,风力的大小F=mgtan30° 【答案】AD 4如图所示,电灯悬挂于两墙之间,更换水平绳OA使连接点A向上移动而保持O点的位置不变,则A点向上移动时() A.绳OA的拉力逐渐增大 B.绳OA的拉力逐渐减小 C.绳OA的拉力先增大后减小 D.绳OA的拉力先减小后增大 【答案】D 【解析】对O点受力分析,如图所示,利用图解法可知绳OA的拉力先变小后变大,故A、B、C错误,D正确. 5如图,运动员的双手握紧竖直放置的圆形器械,在手臂OA沿由水平方向缓慢移到A′位置过程中,若手臂OA、OB的拉力分别为FA和FB,下列表述正确的是() A.FA一定小于运动员的重力G B.FA与FB的合力始终大小不变 C.FA的大小保持不变 D.FB的大小保持不变 【答案】B 【解析】以人为研究对象,分析受力情况如图: 由图看出,FA不一定小于重力G,故A错误.人保持静止状态,则知FA与FB的合力与重力G大小相等、方向相反,保持不变,故B正确.由图看出FA的大小在减小,FB的大小也在减小,故C、D均错误.故选B 6如图所示,用AO、BO两根细线吊着一个重物P,AO与天花板的夹角θ保持不变,用手拉着BO线由水平逆时针的方向逐渐转向竖直向上的方向,在此过程中,BO和AO中张力的大小变化情况是() A.都逐渐变大 B.都逐渐变小 C.BO中张力逐渐变大,AO中张力逐渐变小 D.BO中张力先变小后变大,AO中张力逐渐减小到零 【答案】D 7如图所示,小球放在光滑的墙与装有铰链的光滑薄板之间,当墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中 ①小球对薄板的正压力增大②小球对墙的正压力减小 ③小球对墙的压力先减小,后增大④小球对木板的压力不可能小于球的重力 A.①②B.②④C.①③D.③④ 【答案】B 8.如图所示,一光滑小球静止放置在光滑半球面的底端,用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢地推动小球,则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面),木板对小球的推力F1,半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是() A.F1增大,F2减小B.F1减小,F2减小 C.F1增大,F2增大D.F1减小,F2增大 【答案】C 【解析】据题意,当小球在竖直挡板作用下缓慢向右移动,受力变化情况如图所示,所以移动过程中挡板对小球作用力增加;球面对小球作用力也增大,故选项C正确. 9如图所示,用一根细线系住重力为G、半径为R的球,其与倾角为α的光滑斜面接触,处于静止状态,球与斜面的接触面非常小,当细线悬点O固定不动,斜面缓慢水平向左移动直至绳子与斜面平行的过程中,下述正确的是(). A.细绳对球的拉力先减小后增大 B.细绳对球的拉力先增大后减小 C.细绳对球的拉力一直减小 D.细绳对球的拉力最小值等于G 【答案】C 10.如图所示,有一质量不计的杆AO,长为R,可绕A自由转动.用绳在O点悬挂一个重为G的物体,另一根绳一端系在O点,另一端系在以O点为圆心的圆弧形墙壁上的C点.当点C由图示位置逐渐向上沿圆弧CB移动过程中(保持OA与地面夹角θ不变),OC绳所受拉力的大小变化情况是() A.逐渐减小B.逐渐增大 C.先减小后增大D.先增大后减小 【答案】C 【解析】据题意,当细绳OC的C段向B点移动过程中,系统处于平衡状态,由图知拉力的大小也是先减小后增加,故选项C正确. 11半径为R的球形物体固定在水平地面上,球心正上方有一光滑的小滑轮,滑轮到球面B的距离为h,轻绳的一端系一小球,靠放在半球上的A点,另一端绕过定滑轮后用力拉住,使小球静止,如图所示,现缓慢地拉绳,在使小球由A到B的过程中,半球对小球的支持力FN和绳对小球的拉力FT的大小变化的情况是() A.FN不变,FT变小B.FN不变,FT先变大后变小 C.FN变小,FT先变小后变大D.FN变大,FT变小 【答案】A 【解析】以小球为研究对象,分析小球受力情况: 重力G,细线的拉力FT和半球面的支持力FN,作出 12.如图所示,不计重力的轻杆OP能以O为轴在竖直平面内自由转动,P端挂一重物,另用一根轻绳通过滑轮系住P端,当OP和竖直方向的夹角α缓慢增大时(0<α<π),OP杆所受作用力的大小() A.恒定不变B.逐渐增大 C.逐渐减小D.先增大后减小 【答案】A 【解析】在OP杆和竖直方向夹角α缓慢增大时(0<α<π),结点P在一系列不同位置处于静态平衡,以结点P为研究对象,如图甲所示, 13.如图所示,小圆环A吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上,有一细线,一端拴在小圆环A上,另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个质量为m1的物块.如果小圆环、滑轮、细线的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计,细线又不可伸长,若平衡时弦AB所对应的圆心角为α,则两物块的质量之比 应为 A.cos B.sin C.2sin D.2sinα 【答案】C 【解析】因小圆环A受拉力m2g,细线BA的拉力FT及大圆环的弹力FN作用而处于平衡状态,则此三个力一定可以组成一封闭的矢量三角形,此力的三角形一定与几何三角形OAB相似,即有 = ,而FT=m1g,AB=2Rsin ,所以 = =2sin 14.(多选)如下图所示,在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A,A的左端紧靠竖直墙,A与竖直墙壁之间放一光滑球B,整个装置处于静止状态.若把A向右移动少许后,它们仍处于静止状态,则() A.A对B的支持力减小B.A对B的支持力增大 C.墙对B的弹力减小D.墙对B的弹力增大 【答案】AC
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