第六章微分方程.docx

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第六章微分方程

第六章微分方程

6.1微分方程的基本概念6.1.1微分方程的相关定义

把联系自变量、未知函数、未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为常微分方程的阶

任何代入常微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若常微分方

程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则

称此解为该方程的通解（或一般解）.当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解.

6.1.2微分方程的分类

（1）未知函数（微分方程的解）是一元函数的微分方程称作常微分方程，是多元函数的叫做偏微分方程.

（2）线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线

性微分方程。

如：

x（y-yy'+x=0、y"+7siny=0为非线性微分方程.

6.2一阶微分方程及方程的解一阶微分方程的一般形式为F（X,y,y0或y'=F{x,y}.

6.2.1可分离变量微分方程

微分方程中的变量x，y可通过变形分列于等式两边，形如八亲I可化为

g（ydy=f（xdx，对分离变量后的方程进行两边积分，则Jg（ydy=Jf（xdx，

若设F（x）和G（x）分别是f（x）和g（x）的一个原函数，则有G（x）=F（x）+C，其中c为任意常数.

注：

下文中的C、G、C2…Cn都为任意常数，不再叙述.

6.2.2一阶线性微分方程

函数，若Q（x）=O则称为一阶线性齐次微分方程；否则称为一阶线性非齐次微分方程.

（1）一阶线性齐次微分方程y'+P（xly=o

定理1如果函数yi与y是一阶线性齐次方程的两个特解,则Gyi+。

2丫2也是一阶线性齐次方程的解.

注：

可推广至更高阶的线性齐次微分方程定理2如果函数yi与y2是一阶线性齐次方程的两个线性无关的特解，则

Ciyi+C2y2是一阶线性齐次方程的通解.

注：

可推广至更高阶的线性齐次微分方程y'+P（xy=0这是可分离变量方程，可解得y=Ce—JP（沖.

⑵一阶线性非齐次微分方程y7P（X”=Q（x）定理3设/是一阶线性非齐次方程的一个特解，丫是所对应的一阶线性齐次方程的通解,则丫中y*是一阶线性非齐次方程的通解.

注：

可推广至更高阶的线性非齐次微分方程定理4设一阶线性非齐次方程的右端f（X）=fi（x）+f2（x），而y1与y2分别是方程y"+Py'+qy=fi（x）与y"+py'+qy=f2（x）的特解，那么y：

+y；就是一阶线性非齐次方程的特解.

注：

可推广至更高阶的线性非齐次微分方程

现在已经知道了一阶线性齐次线性微分方程的通解y=ce—H沖，可以将常数C换成关于x的函数u（x），即有假设的解为y=u（xe—H伸

把y=u（Xe—Hxdx代入y'+p（xy二Q（x），得uq（x』P（xdx

两边积分有u（x）=jQ（xfe冋xdx+Ci，则解为y=Cie—H沖+eTP（沖订Q（xeH沖dx，

根据定理3得通解为y=C2e—Hxdx+e—FM.jQaeFMdx.

例6.1物体在重力的作用下受空气阻力下落，设阻力与物体下落的速度v=v（t）成正比（比例系数为常数k），物体的重量为m，重力加速度为g，请问下降速度最大接近于多少？

化为非

解：

依据牛顿第二定律，得未知函数v（t）的微分方程为=mg-kv，

dt

齐次线性微分方程字+=v=g，解得通解为v=Ce益竺.

dtmk

由题意得t=0时v=0，代入通解得C=-聖，故相应的特解v=聖

kk

f

1-e

I/

很明显这是一增函数，当tT+oc时，VT，即下降速度最大接近于竺.

kk

623全微分方程（全微分详见8.2）

如果一阶微分方程P（X,ydx+Q（x,ydy=0，其中左边恰好是某个函数u（x,y啲全微分.

显然u（x"C、寻=Px,yh斜Qx,y、、二

由皀=P（x,y），两边对x积分得u（x,y）=JP（x,ydx+B（y），ex

再对y求导得Qx,yJP（x,ydx+B'（y），先求出B'（y再求出By），即可得到通解.

6.2.4通过变量代换得到以上三种基本类型的微分方程

令U=y，即y=UX，两边对x求导得y'二U+xu'，化为可分离变量微分方程

x

f（u）=u+%业求出通解方程.

dx

（2）y'=f（ax+by+cXabH0）

令u=ax+by+c，两边对x求导得u'=a+by'，化为可分离变量微分方程

dx=a+bf（u求通解.

（3）八f

2必+b,y+c,、、a2x+b2y+C2丿

1aib2=a2bi

若=^b

aib2

bl=令u=aiX+biy，两边对x求导得『=ai+biy，，化为可分离变量

微分方程du=ai+bif

+C2丿

求通解.

②a1b^a2b1

若®邛为方程组a：

：

：

：

yy；2的解’令u=x-a

V=y-P，则原方程可化

律山+biV'

¥+b2V丿

，化为⑴类型的方程誥

芒V

ai5—

U

Va2+b2—

Iu丿

⑷伯努利方程y'+p（XA=q（xH0,1）

令u-y1^，两边对x求导得u=（1-aH£y，

化为一阶线性微分方程

dux+H-bm-^x）求通解.

6.3二阶常系数线性微分方程

形如y"+py'+qy=f（x）的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p、q均为实

数，若f（X）=0则称为二阶常系数线性齐次微分方程；否则称为二阶常系数线性

非齐次微分方程.

6.3.1二阶常系数线性齐次微分方程y"+py'+qy=0

由于指数函数y=erx（r为常数）和它的各阶导数都只差一个常数因子，所以就

用y=erx来试着看能否选取适当的常数r,使y=erx满足二阶常系数线性齐次方

把y=erx代入二阶常系数线性齐次方程有：

（r2+pr+q）erx=0，因为e"h0,所

以只r+pr+q=0.

（1）p2-4q>0

由于r2+pr+q=0的两个解：

r^~^^^~4q，r2=一p一“p

2

ri

所以yi=erix,y^er2X是二阶常系数线性齐次方程的两个特解

，且

-二e2）xH常数，即yi与y2线性无关,

y2

则根据定理2,二阶常系数线性齐次方程的通解为y=Cierix

+C2e护

⑵p2-4q=0

r2+pr+q=0只有一个解：

ri二一：

•这时只能得到二阶常系数线性齐次方程的

一个特解还需求出另一个解/且使弋’常数,设w=u（x）,即假设

y2=erixu（x）,将y2=erixu（x）代入二阶常系数线性齐次方程，得:

e""（ir+2ru'+r2u）+p（U+ru）+qu]=0,

整理得：

e^U"+（2r+p）u'+（r2+pr+q）u】=0.

由于e"H0,所以u“+（2r+p）u'+（r2+pr+q）u=0，又因为r2+pr+q=0，

2r+p=0，从而有昇=0，不妨取u=x,可得到二阶常系数线性齐次方程的另

一个解y2-xJ.

根据定理2,二阶常系数线性齐次方程的通解为y=（Ci+C2x）erx.

⑶当p2-4q<0

r2+pr+q=0有一对共轭复根口=a+iP,r2=«-iP

于是yi=e（，y2=e（

根据欧拉公式e^=cosx±isinx，贝U有

%=e^+Px=尹.ei妝=尹（cosPx+isinPx）；y2=e©丄px=尹e」及=e^（cosPx-isinPx），

为了去掉虚数，根据定理1,又得到两个解:

1_1

yi=2（yi+y2）=e®cosPx;y2=牙（丫1-y?

）=e農sinPx，

e®sinPx

逢=tanPxK常数，即-与y；线性无关,

yi

ecosnX

根据定理2,二阶常系数线性齐次方程的通解为y=e疫（CicosPx+C?

sinPx）.

6.3.2二阶常系数非齐次线性微分方程/+Py'+qy=f（x）

⑴f（X）=“Pm（X）（A为常数，Pm（X）是关于X的一个m次多项式）

二阶常系数线性非齐次方程右端f（X）是多项式Pm（X）与指数函数/乘积，它导数仍为同一类型函数，因此二阶常系数线性非齐次方程的特解可能为尸=Q（x）e'X,其中Q（X）是某个多项式函数.

把尸=Q（x）e^代入二阶常系数线性非齐次方程并消去e样,得

Q"（x）+（2a+p）Q'（X）+（汇+q）Q（x）=Pm（x）.

①若入不是特征方程r2+pr+q=0的根

即法+p入+qHO，要使上式等式两边相等，Q（x）必然为另一个m次多项式

Qm（x），则二阶常系数线性非齐次方程的特解形式为尸=Qm（x）e"令Qm（X）=bo+biX+b2X2+…+bmXm，再把特解代入原方程，并比较两端关于

X同次幕的系数,就得到关于未知数b0,bi,…，bm的m+1个方程.联立解方程组可

以确定出b（i=0,1,…，m）.

2若入是特征方程『+pr+q=0的单根

即入+q=o,2a+pho,要使上式成立，则Q'（x）必然是m次多项式函数，

于是令Q（x）=xQm（x），则二阶常系数线性非齐次方程的特解形式为

y=xQm（x）e&

同①用同样的方法来确定Qm（x）的系数.

3若几是特征方程r2+pr+q=0的重根,

即A+ph+q=0,2a+p=0，要使上式成立,则Q"（x）必须是一个m次多项式,可令Q（x）=x2Qm（x），则二阶常系数线性非齐次方程的特解形式为y=x2Qm（x）ex.

同①用同样的方法来确定Qm（x）的系数.

最后根据定理3求出原方程的通解.

例6.2求方程y"-2y'+y=（x-1®的通解.

解:

先求对应齐次方程Y“-2YQY=0的通解.

特征方程为r2-2r+1=0,解得ri=1,则齐次方程的通解为丫=（Ci+C2X）eX.

由于1是特征方程的二重根，（x-1）是关于x的一次多项式,

所以设非齐次方程特解形式为y=X2（ax+b）eX，

11

把它代入所给方程，并约去ex得6ax+2b=x-1，比较系数，得

62

于是非齐次方程的特解为/=x2（--1）ex，

62

所给方程的通解为y=Y+y*=（G+C2X-丄X2+丄x3）ex.

26

Qn（X）是关于x的一

⑵f（x）=e^Pm（x）sinPx+Qn（x）cosPx]（a为常数，Pm（x）、

ix鸟

e-e

2i

个m次、n次多项式）

应用欧拉公式e^=cosx±isinX，有cosx=；sinx=

2

把三角函数表示为复变量指数函数的形式，有

「卩X+__BXpx__Bx■

f（X）=e^Pm（x）sinPx+Qn（x）cosPx]=e'X|Pm（X）ee+Qn（x）ee

L22iJ

+Qn（x）1e附X+[Pm（X）_Qn（X）le』x

2i」L22i」‘

由于乎+学是］十如｝次多项式，根据⑴类型可知,

y"+py'+qy=『'x〉+笃,）”（沸＞的特解为y,=沸x，

其中当几±Pi为特征方程r2+pr+q=0的根时，k=1；当几±Pi不为特征方程

2

r+pr+q=O的根时，k=0；

22i

又由于空空-2凹也是I=max｛m,n｝次多项式，根据

（1）类型可知,

y“+Py'+qy=$2°-Qi*〉*'®x的特解为丫2审（x）=xk§（xeS®X

其中当A±Pi为特征方程r2+pr+q=0的根时，k=1；当几±Pi不为特征方程

2

r+pr+q=0的根时，k=0,

那么根据定理4,当f（x）=MPm（x）sinPx+Qn（x）cosPx］时的特解形式为y—xkR（xepM八xkSl（X

=xke'xRi（XIcosPx+isinPx）+S（xIcosPx-isinPx9

=xke'x{R|（x）+Sl（XjcosPx+iR（X）-S|（X』sinPx〉

=xke赵Tl（XJcosPx+UI（X）sinPx】

其中T|（x）、U|（x都是ln｝次多项式，当几±丙为特征方程r2+pr+q=0

的根时，k=1；当几±Pi不为特征方程r2+pr+q=0的根时，k=0.

同①用同样的方法来确定Ti（x）、Ui（x）的系数.

最后根据定理3求出原方程的通解.

例6.3求y"+y=cosxcos2x的通解.

解：

先求出相应的齐次方程Y"+Y=O的通解，再求出原方程的特解.

由于特征方程丫2+1=0的根为±i,所以相应的齐次方程通解为丫=CiC0Sx+C2Sinx.

1

由于cosxCOS2X=-（COSX+cos3x）

2，

11

根据定理4,可以先分别求出宀rcosx与宀y=2cos3x的特解y；与yr，

yr+y2审就是原方程的特解,

由于±i是特征方程y2+1=0的根,

所以y"+y=-cosx的特解形式为％*=Axcosx+Bxsinx,代入原方程，得出

1X

A=0,B=-即特解为yj=-sinx；

44

1„1

同理y"+y=—cos3x的特解为y2=-—cos3x.

216

则原方程的特解为yM=y/+y/=-sinx—丄cos3x,

416

X1

又根据定理3,原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+4sinX-16cos3x.

6.4二阶变系数线性微分方程

形如y“+p（xy'+q（x）y=f（x）的方程称为二阶变系数线性微分方程.其中P（x）、

q（X）和f（X）均为连续函数，若f（X）=0则称为二阶变系数线性齐次微分方程；否则称为二阶变系数线性非齐次微分方程

6.4.1二阶变系数线性齐次微分方程y"+p（xy'+q（x）y=0

二阶变系数线性齐次微分方程没有固定解法，下面只对几种特殊情况下的方程列出求通解的方法.

（1）二阶欧拉齐次方程（多阶类似）

形如x2y"+pxy'+qy=0（p和q均为常数）称为二阶欧拉齐次方程，令et，即将变量由X换成t，则有鱼=业生=e丄鱼=丄史,

dxdtdxdtXdt

f-^td2ydtdy_1©ydy'

Idt丿dt2dtX2[dt2dt丿将这些关系代入原方程，化成了二阶常系数线性齐次方程

dtyrp—i）；y+qy=O求通解.

（2）已知二阶变系数线性齐次方程的一个特解

若二阶变系数线性齐次方程的一个非零解为yi，那么就设二阶变系数线性齐次方

程另一个与yi线性无关的解为y2=yiu（x）.

由于yi是二阶变系数线性齐次方程的解，再化简又得:

这是一个可降阶的微分方程，令v（x）=uTx）,又有:

yiv'（x）+|2yi+p（xm}（x）=0，

yi

两端积分得v（x的—个解：

y「eTp汁

所以相应的u（x）=j（y「e，则y2=yiJ（y「e"。

节最后根据定理2求得通解.

⑶r2+p（xr+q（x）=0时，r取得常数解

假设，代入二阶变系数齐次方程，得r2+pCxY+q^e^HO，

由于e咲HO，贝U有r2+p（xr+q（x）=O，

如果r取得常数解，则y=erx为二阶变系数齐次方程的解.

最后根据

（2）中已知二阶变系数线性齐次方程的一个特解求得通解

例6.4求xy"—2（x+1M+4y=0的通解

2

解：

设xr2-2（x+1r+4=0，解得：

r=2或r=—,

x

显然r取得了一个常数解2,所以原式有一特解为yi=e2x

根据

（2）中已知二阶变系数齐次方程的一个特解求通解的方法，得

y=%2%+Gx2+x+-.

⑷p（x）和q（x）满足一定关系

p（x）=T（x）+W（x）

①（q（x）Fx）FxW（x），其中函数口x卜口x湘Wx都为连续函数.

将上述关系代入二阶变系数线性齐次方程有:

y"+T（X）+W（x）y+TYx）+T（XW（xW=0,

整理得：

y，+T（x）y1+W（x）+T（x]y]=0,

令U=yqT（x）y,

上式为一阶线性齐次方程，易求出其通解为：

u-Ge—J叫沖

则又有yF（x）y=Cie—・W紳

上式为一阶线性非齐次方程，易求出其通解为:

p（xJx）+W（x）

T（x）

其中函数T（x）、T'（x）、W（x和W'（x诸E为连续函数且q（x）=W（x）

T（x）

T（x）工0.

将上述关系代入二阶变系数线性齐次方程有:

yu［「（x）+W（x）1yy|W（x）1

丿Iy=0，

LT（x）」［T（x）」’

整理得：

T（xX+TTx）+w（x）］y+WTxy=o,

再整理得：

T（xy+W（x）y『=0,则又有：

T（xy+w（xy=Ci,整理得：

y'+需八熬，上式为一阶线性非齐次方程，易求出其通解为:

642二阶变系数非齐次线性微分方程y"+p（x）y+q（x”=f（X）

如果已知方程对应的齐次方程的通解为丫=Ciyi（x）+C2y2（x），可以将常数G和

C2换成关于x的函数Ci（x和C2（x），即假设原方程的特解为

/=Ci（XM（x）+C2（x）y2（x）.

则/=Ci（Xyi（x）+Ci（xM（x）+C2（x）y2（x）+C^x）y2（x），令Ci（XAdx）+C2（X）y2（x）=0，

."PPrrr1rr

则/=Ci（xyi（X）+Ci（xM（X）+C2（X”2（X）+C2（x）y2（x），然后将y、y和y"代入原方程得C1（XM（X）+C2（X）y2（X）=f（X）,

通过方程组Fzw+SZXNx），求得Ci（x）和C2（x），C（Xyi（x）+C2（Xy2（x）=0

最后根据定理3求得通解.