北师大版八年级上数学全册知识点总结.docx
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北师大版八年级上数学全册知识点总结
2020年北师大版八年级上数学全册知识点总结
北师大版数学(八年级上册)知识点总结北师大版数学(八年级上册)知识点总结
第一章第一章勾股定理勾股定理1
1.勾股定理.勾股定理
(1)直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即222cba
(2)勾股定理的验证测量.数格子.拼图法.面积法,如青朱出入图.五巧板.玄图.总统证法(通过面积的不同表示方法得到验证,也叫等面积法等面积法或等积法)等积法)(3)勾股定理的适用范围仅限于直角三角形仅限于直角三角形
例题
例题在RtACB中,A90,AC6,AB8,求BC的长。
解在RtABC中,BC2AC2AB26282100BC10利用勾股定理求直角三角形边长的方法利用勾股定理求直角三角形边长的方法一般都要经过“一分二代三化简一分二代三化简”这“三步曲”一分一分分清哪条边是斜边.哪些边是直角边;二代二代代入a2b2c2;三化简三化简2
2.勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a,b,c有关系222cba,那么这个三角形是直角三角形。
例题
例题在ACB中,AC6,AB8,BC10,ACB是什么三角形解在ABC中,AC2AB26282100BC2ACB是直角三角形,A90利用边的关系判定直角三角形的步骤利用边的关系判定直角三角形的步骤1比较三边长a,b,c的大小,找出最长边2计算计算两短边的平方和,看它是否与最长边的平方相等;若相等,则是直角三角形,且最长边所对的角是直角;若不相等,则此三角形不是直角三角形
3.勾股数.勾股数满足222cba的三个正整数正整数a,b,c,称为勾股数。
常见的勾股数有常见的勾股数有(3,4,5)(5,12,13)(6,8,10)(7,24,25)(8,15,17)(9,12,15)(9,40,41)(12,16,20)规律规律
(1),短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续的自然数,两边之和是短直角边的平方。
即当a为奇数且ab时,如果bca2那么a,b,c就是一组勾股数.如(3,4,5)(5,12,,13)(7,24,25)(9,40,41)
(2)大于2的任意偶数,2nn1都可构成一组勾股数分别是2n,n2-1,n21如(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)
4.求几何体两点间的最短路线长的方法.求几何体两点间的最短路线长的方法先将几何体的侧面展开,确定两点的位置,两点连接的线段即为最短路线,再在直角三角形中,利用勾股定理求其长度即可但要注意注意长方体的表面展成平面图形,展开时一般要考虑各种可能各种可能的情况在各种可能的情况中,分别确定两点的位置并连接成线段,再利用勾股定理分别求其长度,长度最短的路线为最短路线
5.常见题型应用.常见题型应用
(1)已知任意两条边的长度,求
第三边/斜边上的高线/周长/面积
(2)已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系,求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积(3)判定三角形形状a2b2c2锐角,a2b2c2直角,a2b2c2钝角判定直角三角形a..找最长边;b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系;c.确定形状(4)构建直角三角形解题例
1.已知直角三角形的两直角边之比为34,斜边为10。
求直角三角形的两直角边。
解解设两直角边为3x,4x,由题意知x2,则3x6,4x8,故两直角边为6,8。
中考突破中考突破
(1)中考典题例.如图
(1)所示,一个梯子AB长
2.5米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为
1.5米,梯子滑动后停在DE位置上,如图
(2)所示,测得得BD0.5米,求梯子顶端A下落了多少米思维入门指导思维入门指导梯子顶端A下落的距离为AE,即求AE的长。
已知AB和BC,根据勾股定理可求AC,只要求出EC即可。
解解在RtACB中,AC2AB2-BC
22.52-
1.524,AC2BD0.5,CD2EC
1.534100916100251004222222xxxxxx,,,AAECBCBD
(1)
(2)在中,RtECDECEDCD222222522
25..答梯子顶端下滑了0.5米。
点拨点拨要考虑梯子的长度不变。
例
5.如图所示的一块地,AD12m,CD9m,ADC90,AB39m,BC36m,求这块地的面积。
思维入门指导思维入门指导求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形,若连结BD,似乎不解解连结AC,在RtADC中,在ABC中,AB21521答这块地的面积是216平方米。
点拨点拨此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。
AEACEC21505..ADCB得要领,连结,求出即可。
ACSSABCACDADCBACCDAD22222129225AC15ACBC222215361521ABACBCACB22290,SSACBCADCDABCACD121212153612129270542162m
第二章第二章实数实数
一.实数的概念及分类
一.实数的概念及分类
1.实数的分类.实数的分类20200002233..无理数的表示算术平方根定义如果一个非负数的平方等于,即那么这个非负数就叫做的算术平方根,记为,算术平方根为非负数平方根正数的平方根有个,它们互为相反数的平方根是负数没有平方根定义如果一个数的平方等于,即,那么这个数就叫做的平方根,记为立方根正数的立方根是正数负数的立方根是负数的立方根是定义如果一个数的立方等于,即,那么这个数就叫做的立方根,记为xaxaxaaaaxaaaxaxaxaa30.实数及其相关概念概念有理数和无理数统称实数分类有理数无理数或正数负数绝对值.相反数.倒数的意义同有理数实数与数轴上的点是一一对应实数的运算法则.运算规律与有理数的运算法则运算规律相同。
正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数
2.无理数.无理数无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类
(1)开方开不尽的数,如32,7等;
(2)有特定意义的数,如圆周率,或化简后含有的数,如/38等;(3)有一定规律,但并不循环的数,如0.1010010001等;(4)某些三角函数值,如sin60o等
二.实数的倒数.相反数和绝对值
二.实数的倒数.相反数和绝对值
1.相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有ab0,ab,反之亦成立。
2.绝对值在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。
(|a|0)。
零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|a,则a0;若|a|1。
零没有倒数。
4.数轴规定了原点.正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
5.估算从两边确定范围,再一点点加强限制,使其所处的范围越来越小,从而达到要精确的程度
例题
例题估算的近似值(精确到0.01)解121,22412
1.7
22.89,
1.8
23.24
1.7
1.8
1.73
22.9929,
1.74
23.0276
1.73
1.74
1.732
22.999824,
1.733
23.003289
1.732
1.733
1.73利用非负数解题的常见类型利用非负数解题的常见类型例
1.解解已知,求的值。
xyxy53022||xyxy5030530,,且||||点拨点拨利用算术平方根,绝对值非负性解题。
三.平方根.算数平方根和立方根
三.平方根.算数平方根和立方根
1.算术平方根算术平方根一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地,0的算术平方根是0。
表示方法记作“a”,读作根号a。
性质正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
2.平方根平方根一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。
表示方法正数a的平方根记做“a”,读作“正.负根号a”。
性质一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
开平方求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
注意a的双重非负性被开方数与结果均为非负数。
即a0
3.立方根立方根一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3a那么这个数x就叫做a的立方根(或三次方根)。
表示方法记作3a性质一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方xy5030,||xy5030,xy53,xy2225619根是零。
注意33aa,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四.实数大小的比较
四.实数大小的比较
1.实数比较大小正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。
2.实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较设a.b是实数,,0baba,0babababa0(3)求商比较法设a.b是两正实数,;1;1;1babababababa(4)绝对值比较法设a.b是两负实数,则baba。
(5)平方法设a.b是两负实数,则baba22。
(6)倒数法设a.b是同正,如果ab,则ab;同负,如果ab,则ab
五.算术平方根有关计算(二次根式)
五.算术平方根有关计算(二次根式)
1.形如aa0的式子叫做二次根式二次根式。
其中a为整式或分式,a叫做被开方式。
即含有二次根号“”,被开方数a必须是非负数。
2.性质
(1)02aaa
(2)aa20aa0aa(3)0,0babaab(0,0baabba)(4)0,0bababa(0,0bababa)
3.一般地,被开方数不含分母不含分母,也不含能开得尽方开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式最简二次根式
4.分母有理化.分母有理化1定义化去分母中根号的变形叫做分母有理化分母有理化;2方法将分子和分母都乘分母的有理化因式二次根式的化简技巧二次根式的化简技巧1当被开方数是整数时,应先将它分解因数;2当被开方数是小数或带分数时,应先将小数化成分数或带分数化成假分数假分数的形式;3当被开方数是整数或分数的和差时,应先将这个和差的结果求出六.实数的运算六.实数的运算(
(1)六种运算)六种运算加.减.乘.除.乘方..开方二次根式的加减法则二次根式加减时,先将二次根式化成最简化成最简二次根式,再将被开方数相同被开方数相同的二次根式进行合并合并被开方数相同的最简二次根式,称为“同类二次根式”。
(
(2))实数的运算顺序先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。
((3)运算律)运算律加法交换律abba加法结合律cbacba乘法交换律baab乘法结合律bcacab乘法对加法的分配律acabcba例.计算通过以上计算,观察规律,写出用n(n为正整数)表示上面规律的等式___________。
解解规律
第三章第三章位置与坐标位置与坐标
一.在平面内,确定物体的位置一般需要两个两个数据。
二.平面直角坐标系及有关概念
二.平面直角坐标系及有关概念
1.平面直角坐标系.平面直角坐标系在平面内,两条互相垂直两条互相垂直且有公共原点公共原点的数轴数轴,组成平面直角坐标系。
其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取();12121();23232();32323()452
52.21132143154122222;;;nnnn111向上上为正方向;x轴和y轴统称坐标轴。
它们的公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
2.为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做
第一象限.第二象限.第三象限.第四象限。
注意注意x轴和y轴上的点(坐标轴上的点),不属于不属于任何一个象限。
3.点的坐标的概念.点的坐标的概念对于平面内任意一点P,过点P分别x轴.y轴向作垂线,垂足在上x轴.y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标.纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标。
点的坐标用((a,,b))表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横.纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对有序实数对,当时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4.不同位置的点的坐标的特征.不同位置的点的坐标的特征(
(1).各象限内点的坐标的特征).各象限内点的坐标的特征点Px,y在第一象限点Px,y在第二象限点Px,y在第三象限点Px,y在第四象限(
(2).坐标轴上的点的特征).坐标轴上的点的特征点Px,y在x轴上,x为任意实数点Px,y在y轴上,y为任意实数点Px,y既在x轴上,又在y轴上x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)即原点((3).两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征).两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点Px,y在
第一.三象限夹角平分线(直线yx)上x与y相等xy点Px,y在第二.四象限夹角平分线上x与y互为相反数xy)点P与点p关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P(-x,y)点P与点p关于原点对称横.纵坐标均互为相反数,即点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x,-y)
6.点到坐标轴及原点的距离.点到坐标轴及原点的距离点Px,y到坐标轴及原点的距离
(1)点Px,y到x轴的距离等于
(2)点Px,y到y轴的距离等于(3)点Px,y到原点的距离等于
三.坐标变化与图形变化的规律
三.坐标变化与图形变化的规律坐标(x,y)的变化图形的变化xa或ya被横向或纵向拉长(压缩)为原来的a倍xa,ya放大(缩小)为原来的a倍x
(1)关于y轴或x轴对称x
(1)关于原点成中心对称xa或ya沿x轴或y轴平移a个单位xa,ya沿x轴平移a个单位,再沿y轴平移a个单位
第四章第四章一次函数一次函数
一.函数
一.函数一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。
二.自变量取值范围
二.自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
一般从整式(取全体实数),分式(分母不为0).二次根式(被开方数为非负数).实际意义几方面考虑。
自变量取值范围的确定方法自变量取值范围的确定方法1当关系式是整式整式时,自变量为全体实数;2当关系式是分母含字母分母含字母的式子时,自变量的取值需保证分母不为0;3当关系式是二次根式二次根式时,自变量的取值需使被开方数为非负实数;4当关系式有零指数幂或负整数指数幂时,自变量的取值需使相应的底数不为0;5当关系式是实际问题的关系式时,自变量的取值需使实际问题有意义;6当关系式是复合形式时,自变量的取值需使所有式子同时有意义
三.函数的三种表示法及其优缺点
三.函数的三种表示法及其优缺点(
(1)关系式(解析)法)关系式(解析)法两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析)法。
(
(2)列表法)列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
((3)图象法)图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四.由函数关系式画其图像的一般步骤
四.由函数关系式画其图像的一般步骤
(1)列表列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点(3)连线按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五.正比例函数和一次函数
五.正比例函数和一次函数
1.正比例函数和一次函数的概念一般地,若两个变量x,y间的关系可以表示成(k,b为常数,k0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。
特别地,当一次函数中的b0时(即)(k为常数,k0),称y是x的正比例函数。
2.一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线。
特别地,正比例函数图象是经过原点的一条直线。
直线ykxb与坐标轴的交点坐标
(1)与y轴的交点为0,b;
(2)与x轴的交点为.
3.一次函数.正比例函数图像的主要特征一次函数的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数的图像是经过原点(0,0)的直线。
k的符号B的符号函数图像图像特征k0b0图像经过
一.
二.三象限,y随x的增大而增大。
b0图像经过
一.
三.四象限,y随x的增大而增大。
k0图像经过
一.
二.四象限,y随x的增大而减小b0时,图像经过
第一.三象限,y随x的增大而增大;
(2)当k0时,y随x的增大而增大
(2)当k0时,y随x的增大而减小
6.系数相等的一次函数的位置关系.系数相等的一次函数的位置关系平移法直线ykxb可以看作由直线ykx平移得到当b0时,把直线ykx向上平移b个单位得到直线ykxb;当b0时,把直线ykx向下平移|b|个单位得到直线ykxb.用一句话来表述就是“上加下减上加下减”;上.下是“形”的平移,加.减是“数”的变化。
两条直线平行的规律两条直线平行的规律两条直线平行k值相等
7.正比例函数和一次函数解析式的确定.正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。
确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。
求一次函数关系式的步骤为求一次函数关系式的步骤为设代求还原设代求还原,即1设设设出一次函数关系式ykxb;2代代将所给数据代入函数关系式;3求求求出k的值;4还原还原写出一次函数关系式.
8.一次函数与一元一次方程的关系.一次函数与一元一次方程的关系任何一个一元一次方程都可转化为kxb0(k.b为常数,k0)的形式而一次函数解析式形式正是ykxb(k.b为常数,k0)当函数值为0时,即kxb0就与一元一次方程完全相同结论由于任何一元一次方程都可转化为kxb0(k.b为常数,k0)的形式所以解一元一次方程可以转化为当一次函数值为0时,求相应的自变量的值从图象上看,这相当于已知直线ykxb确定它与x轴交点的横坐标值利用一次函数图象解一元一次方程的步骤利用一次函数图象解一元一次方程的步骤1转化转化将一元一次方程转化为一次函数;2画图象画图象画出一次函数的图象;3找交点找交点找出一次函数图象与x轴的交点,得到其横坐标,即为一元一次方程的解
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