《概率论与数理统计》第二章习题解答.docx
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《概率论与数理统计》第二章习题解答
第二章随机变量及其分布
1、解:
设公司赔付金额为X,则X的可能值为;
投保一年内因意外死亡:
20万,概率为0.0002
投保一年内因其他原因死亡:
5万,概率为0.0010
投保一年内没有死亡:
0,概率为1-0.0002-0.0010=0.9988
所以X的分布律为:
250
0
000
.0002.0010.9988
X表示取
2、一袋中有5只乒乓球,编号为1、2、3、4、5,在其中同时取三只,
出的三只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律
解:
X可以取值3,4,5,分布律为
也可列为下表
X:
3,4,5
P:
10'10'10
3、设在15只同类型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只,作不放回
抽样,以X表示取出次品的只数,
(1)求X的分布律,
(2)画出分布律的图形。
解:
任取三只,其中新含次品个数X可能为0,1,2个
再列为下表
X:
0,1,2
p.丝12丄
:
35,35,35
解:
(1)P(X=k)=qk-1p
k=1,2,
(2)丫=叶门={最后一次实验前叶n-1次有n次失败,且最后一次成功}
或记叶门=匕则P{Y=k}=Ck1pr(1p)kr,kr,r1,
k—1
(3)
11
31
P(X=k)=(0.55)0.45k=1,2…
P(X取偶数)=P(X2k)(0.55)2k10.45
k1k1
5、一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的。
有一只鸟自开着的窗子飞入了房间,它只能从开着的窗子飞出去。
鸟在房子里飞来飞去,试图飞出房间。
假定鸟是没有记忆的,鸟飞向各扇窗子是随机的。
(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X的分布律。
(2)户主声称,他养的一只鸟,是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试不多于一次。
以丫表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数,如户主所说是确实的,试求丫的分布律。
(3)求试飞次数X小于丫的概率;求试飞次数丫小于X的概率。
解:
(1)X的可能取值为1,2,3,…,n,…
P{X=R=P{前n—1次飞向了另2扇窗子,第n次飞了出去}
(2)丫的可能取值为1,2,3
P{Y=1}=P{第1次飞了出去}=£
P{Y=2}=P{第1次飞向另2扇窗子中的一扇,第2次飞了出去}
2丄丄
3"23
P{Y=3}=P{第1,2次飞向了另
2扇窗子,第3次飞了出去}
2!
1
3!
3
3
同上,P{XY}P{Yk}P{XY|Yk}
k1
6、一大楼装有5个同类型的供水设备,调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率
为0.1,问在同一时刻
(1)恰有2个设备被使用的概率是多少?
(2)至少有3个设备被使用的概率是多少?
(3)至多有3个设备被使用的概率是多少?
(4)至少有一个设备被使用的概率是多少?
7、设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号。
(1)进行了5次独立试验,求指示灯发出信号的概率。
(2)进行了7次独立试验,求指示灯发出信号的概率
B:
“指示等发出信号
5
①PBPX3C5k0.3k0.75k0.163
k3
PX
PX
k3
8、甲、乙二人投篮,投中的概率各为0.6,0.7,令各投三次。
求
(1)二人投中次数相等的概率。
记X表甲三次投篮中投中的次数
丫表乙三次投篮中投中的次数
由于甲、乙每次投篮独立,且彼此投篮也独立
P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)
=P(X=0)P(丫=0)+P(X=1)P(丫=1)+P(X=2)P(丫=2)+P(X=3)P(丫=3)
=(0.4)3X(0.3)3+[C30.6(0.4)2][C30.7(0.3)2]
2)甲比乙投中次数多的概率
P(X>Y)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+
P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)
=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+
P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)
=[C310.6(0.4)2](0.3)3[C32(0.6)20.4](0.3)8
经验收无次
5件,仅
9、有一大批产品,其验收方案如下,先做第一次检验:
从中任取10件,
品接受这批产品,次品数大于2拒收;否则作第二次检验,其做法是从中再任取当5件中无次品时接受这批产品,若产品的次品率为10%,求
(1)这批产品经第一次检验就能接受的概率
(2)需作第二次检验的概率
(3)这批产品按第2次检验的标准被接受的概率
(4)这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率
(5)这批产品被接受的概率
解:
X表示10件中次品的个数,丫表示5件中次品的个数,
由于产品总数很大,故X~B(10,0.1),Y~B(5,0.1)(近似服从)
(1)P{X=0}=0.910~0.349
(2)P{X<2}=P{X=2}+P{X=1}=c100.120.98C;00.10.990.581
5
(3)P{Y=0}=0.9〜0.590
(4)P{0 =P{0 0.581X0.5900.343 (5)P{X=0}+P{OvXw2,丫=0} 〜0.349+0.343=0.692 10、有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。 如果从中挑4杯,能将甲种酒全部挑出来,算是试验成功一次。 (1)某人随机地去猜,问他试验成功一次的概率是多少? 对的,还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的。 ) 推断原理,就认为他确有区分能力 11.尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的。 但每 年总有一些“发明者”撰写关于用圆规和直尺将角三等分的文章。 设某地区每年撰写此类文章的篇数X服从参数为6的泊松分布。 求明年没有此类文章的概率。 解: X~6.6 12.一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布。 求 (1)每分钟 恰有8次呼唤的概率。 (2)某一分钟的呼唤次数大于3的概率。 (1)PX8 (2)P{X3}P{X4}0.566530 13.某一公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)。 (1)求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率。 (2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。 解: t 2 X: ① 3 PX 0 3 e^ 0.2231 2 —k 2.5 ② 5 PX 1 2.5e nndp 2 k1k! U.9I8 14、解: X〜 (2t) (1)、t 10分钟时t 1 丄小时, 6 (2)、P X 00.5故2te" 0.5 t 0.34657 (小时) 所以t0.34657*6020.79(分钟) 15、解: n1000,p0.0001,np0.1 16、解: 17、解: 一一,1k 设X服从0: 1分布,其分布率为PXkpk1p,k0,1,求X的分布函数, 并作出其图形。 解一: 0 1 X的分布函数为: 18.在区间0,a上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标。 设这个质点落在 0,a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求X的分布函数。 解: ①当X0时。 Xx 是不可能事件, FX PXx0 ②当0x a时, P0Xx kx 而0Xa是必然事件 贝UFx PX xPX0 P0 Xx- a ③当xa时,Xx是必然事件,有FxPXx1 19、以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间(以分计),X 的分布函数是 求下述概率: (1)P{至多3分钟}; (2)P{至少4分钟};(3)P{3分钟至4分钟之间}; (4)P{至多3分钟或至少4分钟};(5)P{恰好2.5分钟} 解: (1)P{至多3分钟}=P{XW3}=Fx(3)1e12 (2)P{至少4分钟}P(X>4)=1Fx⑷e1.6 (3)P{3分钟至4分钟之间}=P{3 (4)P{至多3分钟或至少4分钟}=P{至多3分钟}+P{至少4分钟} =1e1.2e1.6 (5) P{恰好2.5分钟}=P(X=2.5)=0 求 (1)P(X<2),P{0 (2)求概率密度fx(x). 解: (1)P(X<2)=Fx (2)=ln2,P(0 0,其它 21、设随机变量X的概率密度f(x)为 1x1 其它 x0x1 (2)f(x)2x1x2 0其他 求X的分布函数F(x),并作出 (2)中的f(x)与F(x)的图形。 解: (1)当一Kx<1时: 112I2x 当1 F(x)0dx2.1x2dx0dx1 1n1 故分布函数为: x 解: (2)F(x)P(Xx)f(t)dt 故分布函数为 (2)中的f(x)与F(x)的图形如下 F ■ f x 0 1 2 x 1 0 1 2 22、⑴由统计物理学知,分子运动速度的绝对值X服从迈克斯韦尔(Maxwell)分布, 其概率密度为 其中bm2kT,k为Boltzmann常数,T为绝对温度,m是分子的质量。 试确定常 xdx1 现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立)。 任取5只,问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少? 解: 一个电子管寿命大于1500小时的概率为 令丫表示“任取 5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。 则丫〜B(5,~3), 3 1卫竺 243243 24、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度 为: 某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开。 他一个月要到银行5次。 以丫表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,写出丫的分布律。 并求P(Y>1)。 解: 该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为 因此丫〜B(5,e2).即P(Yk)5e2k(1e2)5k,(k1,2,3,4,5 k P(Y1)1P(Y1)1P(Y0)1(1e2)51(1y^9)51(10.1353363)5 5 10.8677510.48330.5167. 25、设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程4x24xKK20有实根的概率 0K5 其他 (K+2)>0。 1 TK的分布密度为: f(K) 0 要方程有根,就是要K满足(402—4X4X 解不等式,得K>2时,方程有实根。 50dxI 51 P(K2)f(x)dxdx 225 26、设X〜N(3.22) (1)求P(2 若X〜N2),贝uP(a P(2 (T(T =© (1)—©(—0.5) =0.8413 —0.3085=0.5328 P(—4 P(|X|>2)=1—P(|X<2)=1—P(—2 =1—©(—0.5)+©(—2.5) =1—0.3085+0.0062=0.6977 =1—0.5=0.5 P(X>3)=1—P(X<3)=1—© (2)决定C使得P(X>C)=P(X P(X>C)=1—P(X 得P(X 又P(X 任选一一18岁女青年,测量她的血压X。 求 (1)P(X<105),P(100 (2)确定最小的X使P(X>x)<0.05. 28、由某机器生产的螺栓长度(cm服从参数为卩=10.05,6=0.06的正态分布。 规 定长度在范围10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格的概率是多少? 设螺栓长度为X P{X不属于(10.05-0.12,10.05+0.12) =1-P(10.05-0.12 =1-{© (2)-©(-2)} =1-{0.9772-0.0228} =0.0456 分布,若要求P(120vX<200==0.80,允许6最大为多少? 上式变为 如1 如0.80 6 6 解出坐 便得: 400.9 再查表,得坐1.281(T4031.25 d1.281 30、解: 31、解: Qf(x)0,g(x)0,0a1 32、解: af(x)(1a)g(x)0 且af(x)(1a)g(x)dxaf(x)dx(1a)g(x)dxa(1a)1 所以af(x)(1a)g(x)为概率密度函数 33、设随机变量X的分布律为: 1 15 11 30 求丫二X2的分布律 Y: 0149 1丄丄丄 56155 11 30 34、设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布 (1)求丫=&的分布密度 Y=g(X)=eX是单调增函数 又X=h(Y)=lnY,反函数存在 且a=min[g(0),g (1)]=min(1,e)=1 maXg(0),g (1)]=ma>(1,e)=e 1 •••Y的分布密度为: ®(y)f[h(y)]|h'(y)|171ye 0y为其他 (2)求Y=—2lnX的概率密度。 Y=g(X)=—2lnX是单调减函数 丫 又Xh(Y)e7反函数存在。 a=min[g(0),g (1)]=min(+s,0)=0 B=maXg(0), g (1)]=maX+s,0)=+s Y的分布密度为: ®(y) f[h(y)]|h'(y)|1 1e-2 0y y为其他 35、设X〜N(0,1) (1)求丫=&的概率密度 彳X2 •••X的概率密度是f(x)—1e-,X v'2n Y=g(X)=eX是单调增函数 又X=h(Y)=InY反函数存在 且a=min[g(),g(+)]=min(O,+)=0 B=maxg(—^),g(+)]=maXO,+)=+ •••Y的分布密度为: (2)求丫=2X+1的概率密度。 在这里,丫=2乂+1在(+x,—x)不是单调函数,没有一般的结论可用 设丫的分布函数是Fy(y), 则Fy(y)=P(Y 当y<1时: Fy(y)=0 当y>1时: Fy(y)P.y21Xy21 故丫的分布密度书(y)是: 当y<1时: 书(y)=[Fy(y)]'=(0)'=0 1 2n1) (3)求丫=|X|的概率密度。 •••丫的分布函数为Fy(y)=P(Y 当y<0时,Fy(y)=0 y1兰 当y>0时,Fy(y)=P(|X| yU2n •••丫的概率密度为: 当y<0时: 书(y)=[Fy(y)]'=(0)'=0 当y>0时: 书(y)=[Fy(y)]'= x2 2dx 2 36、 (1)设随机变量X的概率密度为f(x),求丫=X3的概率密度。 Y=g(X)=X3是X单调增函数, 丄 又X=h(Y)=丫3,反函数存在, a=min[g(—g),g(+)]=min(0,+)=—g B=maxg(—g), g(+g)]=maXO,+g)=+g 丫的分布密度为: 12 书(y)=f[h(h)]•|h'(y)|=f(y3)占y乞y,但y0 (2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,求Y=X2的概率密度。 法一: •••X的分布密度为: f(x) Y=x2是非单调函数 当x<0时y=x2? 反函数是x x x 当x<0时y=x2? y fG.y)G.y) 丫〜f丫(y)=f(、..y)(.、y) _Vey 2ye 法二: y~Fy(y) P(Yy)P(...yX..、y) P(X..y)P(X y) y0. y0. 丄e77 丫〜fy(y)=2.y 0 37、设X的概率密度为 求Y=sinX的概率密度。 Fy(y)=P(丫三y) =P(sinXy) 当y<0时: Fy( 当0Wy<1时: XWn) y)=0 Fy(y)=P(sinX arcsiny2xn2x 2dxr 0n2narcsinyn2 dx 当1 Fy( 丫的概率密度书(y)为: y<0时,书(y)=[Fy(y)]'=(0)'=0 arcsinyn 0 0n2narcsinyn2 =2 njly2 iwy时,e(y)=[Fy(y)]'= (1)=0 y)=i 38、设电流I是一个随机变量,它均匀分布在9安: 11安之间。 若此电流通过2欧的 电阻,在其上消耗W212.求W的概率密度。 解: QI在9,11上服从均匀分布 I的概率密度为: W212的取值为162W242 分布函数FwwPWwP2I2w 39、某物体的温度T(°F)是一个随机变量, 且有T〜N (98.6,2),试求 率密度。 [已知0討32)] 法一: : T的概率密度为f(t) (t98.6)2 ~~ 又0g(T)9(T32) 是单调增函数。 反函数存在。 9 Th(0)032 5 且a=min[g(—o), g(+o)]=min(一OO OO)=一O B=maxg(), 什X)]=ma*一OO OO)=+OO 0的概率密度书(0)为 法二: 根据定理: 若X〜N(ai, (T1),贝UY=aX+l: 〜N(aa计b,a2(T2) 由于T〜N(98.6,2) 故0訂JT~N598.6 22 160_52N33352 9J99J9 故0的概率密度为: (1)将实验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验次数,求X的分布律。 (此时称X服从以p为参数的几何分布。 ) (2)将实验进行到出现r次成功为止,以丫表示所需的试验次数,求丫的分布律。 (此时称丫服从以r,p为参数的巴斯卡分布。 ) (3)—篮球运动员的投篮命中率为45%以X表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X的分布律,并计算X取偶数的概率。
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