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遗传算法应用实例
遗传算法及其应用实例
遗传算法(GeneticAlgorithm)是由美国Michigan大学的Holland
教授(1969)提出,后经由DeJong(1975),Goldberg(1989)等归
纳总结所形成的一类模拟进化算法。
遗传算法搜索最优解的方法是模仿生物的进化过程,即通过选择
与染色体之间的交叉和变异来完成的。
遗传算法主要使用选择算子、
交叉算子与变异算子来模拟生物进化,从而产生一代又一代的种群
。
()Xt
(1)选择算子:
是模拟自然选择的操作,反映“优胜劣汰”原
理。
它根据每一个个体的适应度,按照一定规则或方法,从代种群
中选择出一些优良的个体(或作为母体,或让其遗传到下一代种
群)。
t
(1)Xt.
(2)交叉算子:
是模拟有性繁殖的基因重组操作,它将从种群
所选择的每一对母体,以一定的交叉概率交换它们之间的部分基
因。
(3)变异算子:
是模拟基因突变的遗传操作,它对种群中
的每一个个体,以一定的变异概率改变某一个或某一些基因座上的基
因值为其他的等位基因。
交叉算子与变异算子的作用都在于重组染色体基因,以生成新的
个体。
遗传算法的运算过程如下:
步1(初始化)
确定种群规模,交叉概率,变异概率和终止进化准则;随
机生成个个体作为初始种群;置。
NcPmP
(0)X0t.
步2(个体评价)
计算评估中各个体的适应度。
步3(种群进化)
3.1.选择(母体)从中运用选择算子选择出对母体
()。
/2M
MN.
3.2.交叉对所选择的对母体,以概率执行交叉,形成
个中间个体。
M
3.3.变异对个中间个体分别独立以概率执行变异,形成
个候选个体。
M
3.4.选择(子代)从上述所形成的个候选个体中依据适应度
选择出个个体组成新一代种群。
N
步4(终止检验)
如已满足终止准则,则输出中具有最大适应度的个体作为
最优解,终止计算,否则置并转步2。
1tt..
以上运算过程只是遗传算法的多种实现方式中的一种,根据实际
问题的不同,遗传算法的实现也是多种多样的。
遗传算法具有通用、并行、稳健、简单与全局优化能力强等突出
优点,适用于解决复杂、困难的全局优化问题。
一个优化问题被称为是复杂的,通常指它具有下述特征之一:
(1)目标函数没有明确解析表达(如非数值优化问题)。
(2)目标函数虽有明确表达,但不可能恰好估值(如大部分最
优控制问题、金融优化问题)。
(3)目标函数有极多的峰值(如计算、组合优化问题)。
DNA
(4)多目标优化,即目标函数是向量值。
一个优化问题被称为是困难的,则通常是指:
或者目标函数不
连续、不可微、高度非线性,或者优化问题是困难的组合问题。
f
对于这些复杂、困难的优化问题,已知的优化方法或者根本不可
用,或者可用但不有效。
相比之下,遗传算法不但保证可用,而且常
常显得更为有效。
但是,我们必须注意到,一个通用而又较少依赖于目标函数值与
其他辅助信息的算法不可能比专用且充分利用目标函数值与相关辅
助信息的算法更为有效,而当一个问题有某些辅助信息可供使用时,
舍弃应用本来可供应用的信息而去应用于这些信息无关的算法也不
是一个聪明的选择。
所以,遗传算法一般来说并不适宜应用于通常的
数值优化问题(例如连续可微的数学规划问题),或者说,当应用于
这样的问题时,遗传算法并不总能显示其优越性。
01234567-20-15-10-505101520
接下来,我们通过一个求解简单函数的最小值点的问题来初步展
示遗传算法的具体实现方法:
问题1:
求函数在区间上的最小值点。
()11sin(6)7cos(5)fxxx..[0,2]x..
上图为函数在区间上的曲线图像,
可以看出,该函数有多个极值点,如果使用其他的搜寻方法,很容易
陷入局部最小点,而不能搜寻到真正的全局最小点,但遗传算法可以
较好地弥补这个缺陷。
遗传算法的具体实现如下:
1.问题分析。
对于本问题,自变量可以抽象为个体的基因组,
即用二进制编码表示;函数值可以抽象为个体的适应度,函数
值越小,适应度越高。
x
x()fx
关于二进制编码方式,在精度允许的范围下,可以将区间内的无
穷多点用间隔足够小的有限点来代替,以降低计算量同时保证精度损
失不大。
如用16位二进制数来表示该区间的点,相邻点的间隔仅为
,相邻点的函数值的变化幅度已经很小,由此带来
的精度损失完全可以接受。
516209.58751021
...
..
.
另一个问题是普通的二进制编码方式可能具有较大的汉明
(Hamming)距离,例如15和16的二进制表示为01111和10000,
从15到16必须改变所有位,这种缺陷将降低遗传算法的搜索效率。
采用格雷编码(GrayEncoding)可以避免这一缺陷。
格雷码的特点是
任意两个连续的两个整数的编码值之间只有一个位是不同的,其他位
都完全相同。
格雷编码的原理如下:
设有二进制串,对应的格雷串,则从二进制编码
到格雷编码的变换为。
12nbbb12naaa
11,1,1iiibiabbi.
..
..
...
从格雷编码到二进制编码的变换为。
1()mod2iijjba
.
..
例如,0-15的格雷码如下表所示:
0
1
2
3
4
5
6
7
0000
0001
0011
0010
0110
0111
0101
0100
8
9
10
11
12
13
14
15
1100
1101
1111
1110
1010
1011
1001
1000
2.根据遗传算法的运算过程编写程序。
%f(x)=11sin(6x)+7cos(5x),0<=x<=2*pi
L=16;
N=32;
M=48;
T=100;
Pc=0.8;
Pm=0.03;
fori=1:
1:
N
x1(1,i)=rand()*2*pi;
x2(1,i)=uint16(x1(1,i)/(2*pi)*65535);
grayCode(i,:
)=num2gray(x2(1,i),L);
end
fort=1:
1:
T
y1=11*sin(6*x1)+7*cos(5*x1);
fori=1:
1:
M/2
[a,b]=min(y1);
grayCodeNew(i,:
)=grayCode(b,:
);
grayCodeNew(i+M/2,:
)=grayCode(b,:
);
y1(1,b)=inf;
end
fori=1:
1:
M/2
p=unidrnd(L);
ifrand() forj=p: 1: L temp=grayCodeNew(i,j); grayCodeNew(i,j)=grayCodeNew(M-i+1,j); grayCodeNew(M-i+1,j)=temp; end end end fori=1: 1: M forj=1: 1: L ifrand() grayCodeNew(i,j)=1-grayCodeNew(i,j); end end end fori=1: 1: M x4(1,i)=gray2num(grayCodeNew(i,: )); end x3=double(x4)*2*pi/65535; y3=11*sin(6*x3)+7*cos(5*x3); fori=1: 1: N [a,b]=min(y3); x1(1,i)=x3(1,b); grayCode(i,: )=grayCodeNew(b,: ); y3(1,b)=inf; end end x1 y1=11*sin(6*x1)+7*cos(5*x1) 3.结论分析。 程序运行结果为: 最小值点为。 1.8486,()17.8340xfx... 下面针对上面的问题,讨论遗传算法中一些初始化参数的设定方 法及其影响。 (1)编码长度。 使用二进制编码时,通常由对问题的求解精 度决定,编码长度越长,可期望的最优解的精度也就越高,但应注 意过大的会增大运算量。 L (2)种群规模。 种群规模表示每一代种群中所含个体数目。 当取值较小时,可提高遗传算法的运算速度,但却降低种群的多样 性,容易引起遗传算法早熟,出现假收敛;而当取值较大时,又会 使得遗传算法效率降低。 一般建议的取值范围是。 NN N N 20~100 (3)交叉概率。 在遗传算法中交叉算子被认为是主要搜索算 子,因而一般取较大值。 一般说,较大的容易破坏群体中已形成的 优良模式,是搜索的随机性太大,而较小的使发现新个体(特别是 优良新个体)的速度太慢。 一般建议的取值范围是。 另外, 比较理想的的方式是非一致地使用交叉概率,例如在遗传算法的前期 使用较大的,后期降低以保留优良个体。 cP cP cP 0.4~0.99 (4)变异概率。 较大的变异概率使遗传算法在整个搜索空 间中大步跳跃,而小的变异概率使遗传算法聚焦于特别区域作局部搜 mPmP 索。 一般在不使用交叉算子的情形(演化策略(EvolutionStrategy) 算法,进化程序(EvolutionProgramming)算法),变异算子作主要搜 索算子,取较大值();而在与交叉算子联合使用的情形(遗 传算法),通常取较小值()。 mP0.4~1 0.0001~0.5 (5)终止进化代数。 遗传算法不同于传统优化算法,它很难 有明确的搜索终止准则(特别是对于非数值优化问题),于是通常需 指定一个终止进化代数来终止算法,一般设。 一般来说, 事先指定通常只能找到给定问题的在给定时限内所能寻求的相对 满意解,但不一定是问题的最优解或较高精度的近似解。 为了获得较 高精度解,通常可依据种群适应度的稳定情况来实时调整的设置。 T [100,1000]T. T 总体来说,以上参数的确定并没有明确的准则可依据,需要根据 实际问题的特点以及算法的运行情况进行实时的调整,以搜索获得更 为满意的最优解。 -505-50500.20.40.60.81 接下来,我们用遗传算法来求解一个更为复杂的函数最值问题。 问题2: 求Schaffer函数的最大值点: 222121222212sin0.5(,)0.5,55,1,2[10.001()]ixxfxxxixx .. ...... .. 根据遗传算法的一般运算过程编写MATLAB程序如下: L=32; N=60; M=80; T=100; Pc=0.6; Pm=0.02; fori=1: 1: N x10(1,i)=unidrnd(2^L-1); x10(2,i)=unidrnd(2^L-1); x11(1,i)=double(x10(1,i))/(2^L-1)*10-5; x11(2,i)=double(x10(2,i))/(2^L-1)*10-5; end fort=1: 1: T fori=1: 1: N temp1(1,i)=x11(1,i)^2+x11(2,i)^2; y1(1,i)=0.5-(sin(sqrt(temp1(1,i)))^2-0.5)/(1+0.001 *temp1(1,i)); grayCode1(1,i,: )=num2gray(x10(1,i),L); grayCode1(2,i,: )=num2gray(x10(2,i),L); end fori=1: 1: M [a,b]=max(y1); grayCode2(1,i,: )=grayCode1(1,b,: ); grayCode2(2,i,: )=grayCode1(2,b,: ); y1(1,b)=-inf; end fori=1: 1: M/2 p=unidrnd(L); ifrand() forj=p: 1: L temp=grayCode2(1,i,j); grayCode2(1,i,j)=grayCode2(1,M-i+1,j); grayCode2(1,M-i+1,j)=temp; temp=grayCode2(2,i,j); grayCode2(2,i,j)=grayCode2(2,M-i+1,j); grayCode2(2,M-i+1,j)=temp; end end end fori=1: 1: M forj=1: 1: L fork=1: 1: 2 ifrand() grayCode2(k,i,j)=1-grayCode2(k,i,j); end end end end fori=1: 1: M x20(1,i)=gray2num(grayCode2(1,i,: )); x20(2,i)=gray2num(grayCode2(2,i,: )); x21(1,i)=double(x20(1,i))/(2^L-1)*10-5; x21(2,i)=double(x20(2,i))/(2^L-1)*10-5; temp2(1,i)=x21(1,i)^2+x21(2,i)^2; y2(1,i)=0.5-(sin(sqrt(temp2(1,i)))^2-0.5)/(1+0.001 *temp2(1,i)); end fori=1: 1: N [a,b]=max(y2); x10(1,i)=x20(1,b); x10(2,i)=x20(2,b); x11(1,i)=x21(1,b); x11(2,i)=x21(2,b); y2(1,b)=-inf; end end x11 运行结果显示,遗传算法常常在附近陷入局部最大, 而难以达到的全局最大点。 为此,应对遗传算法加以改进。 22212xx... 12(,)(0,0)xx. 之前的遗传算法存在的一个缺陷是不能保证搜寻到的最佳个体 可以被遗传到下一代,因此可能会错过全局最优点。 父子混合选择遗 传算法(Father-OffspringCombinedSelectionGeneticAlgorithm)对此 加以改进,该算法要求上一代的最佳个体必须被无条件地遗传到下一 代,因此记录了到目前为止算法所发现的最佳个体,因而适应度序列 必然具有单调性,即关于进化代数是单调不减的。 可以证明的是,该 算法是遗传算法保证收敛的执行策略。 父子混合选择遗传算法的执行过程如下: 步1(初始化) 随机产生对母体组成初始种群,置。 M(0)X0t. 步2(种群进化) 2.1.独立地对中的对母体执行交叉,生成中间种群(由 个中间个体组成)。 ()XtN()Yt 2.2.独立地对中的每一个中间个体执行变异,生成子代种群 。 ()Zt 2.3.在父代种群与子代种群的并集中选择 对母体作为新一代父代种群。 ()()XtZt. (1)Xt. 步3(终止检验) 如果终止准则满足,停机并输出中的最佳个体作为问题的 近似解,否则置并转步2。 1tt.. 根据这一算法重新编写程序。 L=32; N=60; T=100; Pc=0.6; Pm=0.02; fori=1: 1: N x0(1,i)=unidrnd(2^L-1); x0(2,i)=unidrnd(2^L-1); end fort=1: 1: T fori=1: 1: N grayCode(1,i,: )=num2gray(x0(1,i),L); grayCode(2,i,: )=num2gray(x0(2,i),L); end fori=1: 1: N/2 ifrand() p=unidrnd(L); forj=1: 1: p-1 grayCode(1,i+N,j)=grayCode(1,i,j); grayCode(2,i+N,j)=grayCode(2,i,j); grayCode(1,N-i+1+N,j)=grayCode(1,N-i+1,j); grayCode(2,N-i+1+N,j)=grayCode(2,N-i+1,j); end forj=p: 1: L grayCode(1,i+N,j)=grayCode(1,N-i+1,j); grayCode(2,i+N,j)=grayCode(2,N-i+1,j); grayCode(1,N-i+1+N,j)=grayCode(1,i,j); grayCode(2,N-i+1+N,j)=grayCode(2,i,j); end end end fori=N+1: 1: 2*N forj=1: 1: L fork=1: 1: 2 ifrand() grayCode(k,i,j)=1-grayCode(k,i,j); end end end end fori=N+1: 1: 2*N x0(1,i)=gray2num(grayCode(1,i,: )); x0(2,i)=gray2num(grayCode(2,i,: )); end fori=1: 1: 2*N x1(1,i)=double(x0(1,i))/(2^L-1)*10-5; x1(2,i)=double(x0(2,i))/(2^L-1)*10-5; temp(1,i)=x1(1,i)^2+x1(2,i)^2; y(1,i)=0.5-(sin(sqrt(temp(1,i)))^2-0.5)/(1+0.001* temp(1,i)); end fori=1: 1: N [a,b]=max(y); x2(: i)=x0(: b); y(1,b)=-inf; end fori=1: 1: N x0(: i)=x2(: i); end end x1 运行结果显示,该算法已经搜索到了近似最优解。 关于遗传算法的收敛性问题,这里可以给出几个结论供参考。 经典遗传算法并不保证全局最优收敛,而只能在一定的约束条件 下,实现全局最优收敛。 经典遗传算法可能出现未成熟收敛问题,主 要表现在以下两个方面: 一是群体中所有的个体都陷于同一适应度而 停止进化;二是接近最优解的个体总是被淘汰,进化过程不收敛。 抑 制未成熟收敛的对策有: 提高变异概率;调整选择概率;维持群体中 个体的多样性等等。 但这些方式都不能确保全局最优收敛。 但是,如果在每次迭代过程中保留最优个体,那么就能够保证其 收敛。 不过,保留最优个体的遗传算法在概率意义下的收敛,并不表 明该方法一定具有很快的收敛速度,也不意味着该方法具有更佳的性 能,因为它可能需要更长的时间,其计算代价可能是无法接受的。 在设计遗传算法的编码方式时,应考虑以下问题: (1)对于问题空间的任何一个点有表达空间的一个点与之对应, 即问题空间的所有可能解都能表示为所设计得染色体形式。 (2)对于表达空间中的任何一个点都有问题空间中的一个点与 之对应,即任何一个染色体都对应于一个可能解。 (3)问题空间和表达空间一一对应。 这三点是编码方式或策略应遵守的普遍准则,但是,在实际应用 中,对于很多问题,很难设计出同时满足上述三个性质的编码方案。 此时,首先必须满足第一个要求,即在保证所有可能解均可以被表示 为染色体形式的前提下,是允许生成无用解的。 最后,我们使用遗传算法来解决一个更为贴近实际的问题——旅 行商问题(TravellingSalesmanProblem)。 问题的具体表述如下: 一个旅行商需要访问个城市,在任意路线的两个城市之间有一 个关联的费用(例如公里数、航空费用等)。 找出一个费用最少的路 N 径: 从一个城市出发,经过所有其他的城市一次且仅一次,然后回到 出发点。 这个问题已被证明是难题,当城市数量较大时,使用普通算 法将耗费大量的时间,因此我们尝试使用遗传算法来求解。 NP 适应度评价函数的很直观: 我们要做的是评估路径的长度,然后 按照长度对路径进行排序,最短的就是最好的。 因此,对于本问题的 求解,最重要的部分在于编码方式的确定。 假设我们有个城市要访问,编号为。 加入简单的用一个 四位二进制数()来代表每一个城市,二进制串 代表按照序号顺序 进行访问。 但问题在于,交叉算子与变异算子很难应用到这种编码方 式上,一般的交叉算子和变异算子会产生大量的不可行解,从而影响 搜索速度。 91,2,,9 0001,0010,,1001 000100100011010001010110011110001001.
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