第二十七章图形的相似导学案.docx
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第二十七章图形的相似导学案
第二课时第三课时27.2.1相似三角形的判定
(2)
学习目标:
1.理解两个对应角相等的相似三角形判定;2.认识直角三角形相似的判定;
学习重点:
1.理解两个对应角相等的相似三角形判定;
学习难点:
1.理解两个对应角相等的相似三角形判定;
学习过程:
(一)基础我梳理
1.如下左图所示,在△ABC和△A’B’C’中,∠A=∠A’,
求证:
△ABC∽△A’B’C’
探究:
在A’B’上截取A’D=AB,过点D作DE∥B’C’交A’C’于点E
∴△A’DE∽,∠A’DE=∠B’
又∠B’=∠B,∴∠A’DE=∠B
又∵∠A’=∠A,A’D=AB
∴≌△ABC,∴△ABC∽△A’B’C’
归纳:
(1)对应相等,两个三角形相似;
(2)应用此定理常用的方法①对顶角相等;②平行线间内错角、同位角相等;③等角加上同角后相等;④同角或等角的余角、补角相等;⑤全等三角形的对应角相等;⑥在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角(圆心角)相等。
2.如上右图所示,在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,∠C=∠C=90°,
求证:
Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
探究:
要证Rt△ABC∽Rt△A’B’C’,可求证
=;
设
=k,只需证明
=,则根据所设可有AB=kA’B’,AC=kB’C,由勾股定理可有BC=
==
,B’C’=;则
=;
归纳:
的比等于一组的比的两个直角三角形相似;
(二)新知我尝试
1.如图1所示,在△ABC中D是AB边上一点,连接CD,要使△ADC与△ABC相似,则应添加的条件是;
2.如图2所示,D,E分别在△ABC的边AB、AC上,DE与BC不平行,当满足
条件时,有△ABC∽△ADE;
3.Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,Rt△DEF中,∠F=90°,DE=5,DF=3,则这两个三角形的关系是()
A.不相似B.相似C.全等D.不能确定
4.下列各组图形有可能不相似的是()
A.各有一个角是50°的两个等腰三角形B.各有一个角是100°的两个等腰三角形
C.各有一个角是50°的两个直角三角形D.两个等腰直角三角形
5.已知△ABC、△DEF中,点A、B、C与点D、E、F相对应,且∠A=70°,∠B=34°,∠D=70°,则当∠F=时,△ABC∽△DEF
(三)达标我能行
1.如图3所示,△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的边BC上的高,AE是⊙O的直径,连接BE,△ABE与△ADC相似吗?
请证明你的结论
2.如图4所示,AB是⊙O的直径,过点O作弦BC的平行线,交过点A的切线AP于点P,连结AC
(1)求证:
△ABC∽△POA;
(2)若OB=2,OP=
,求BC的长
第四课时27.2.1相似三角形的判定(3)
学习目标:
1.认识相似三角形判定;2.了解平行线分线段成比例定理;
学习重点:
1.认识相似三角形判定;2.了解平行线分线段成比例定理;
学习难点:
1.平行线分线段成比例定理;
(一)基础我梳理
1.在△ABC和△A’B’C’中,如果∠A∠A’,∠B∠B’,∠C∠C’,
===k,则△ABC和△A’B’C’相似,记作:
;
2.如图,l3∥l4∥l5,其在l1截得的线段分别为AB、BC、AC,在l2截得的线段分别为DE、EF、DF,测量这些长度,填空
(1)
;
(2)
;
归纳:
三条平行线截两条直线,所得的的比相等
3.平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等;
4.利用平行线判断两三角形相似
平行于三角形一边的直线和其他相交,所构成的三角形与原三角形;
△ABC和△相似
△ABC和△相似
△ABC和△相似
例1(补充)如图△ABC∽△DCA,AD∥BC,∠B=∠DCA.
(1)写出对应边的比例式;
(2)写出所有相等的角;
(3)若AB=10,BC=12,CA=6.求AD、DC的长.
(二)新知我尝试
1.如图1所示,AD∥BE∥CF,BC=3,
,那么AC=;
2.如图2所示,DE∥BC,AE=2,EC=6,AB=6,则AD=;
3.如图3所示,DE∥BC,AC=4,AB=3,EC=1,则AD=,BD=;
4.如图5所示,△ABC和△MNP相似,
则对应边的比是==;
若AB=2.7,MN=0.9,NP=1,则相似比=,
BC=;
5.下列命题中,是真命题的是()
A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似
C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似
(三)达标我能行
1.如图7所示,DE∥BC
(1)如果AD=2,DB=3,求DE:
BC的值;
(2)如果AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,求AE和BC的长
2.如图,在□ABCD中,EF∥AB,DE:
EA=2:
3,EF=4,求CD的长.
第五课时27.2.2相似三角形的应用举例
(1)
学习目标1.进一步巩固相似三角形的知识.2.能够运用三角形相似的知识,解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等的一些实际问题.
学习重点:
运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.
学习难点:
灵活运用三角形相似的知识解决实际问题(如何把实际问题抽象为数学问题).
学习过程:
一、知识链接
1、判断两三角形相似有哪些方法?
2、相似三角形有什么性质?
二、.探索新知
1、自学教材P48例3——测量金字塔高度问题
2、自学教材P49例4——测量河宽问题
(二)新知我尝试
1、在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为90米,那么高楼的高度是多少米?
(在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.)
2、如图,测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求河宽AB。
(三)达标我能行
1如图,这是圆桌正上方的灯泡(当成一个点)发出的光线照射桌面形成阴影的示意图,已知桌面的直径为1.2米,桌面距离地面为1米,若灯泡距离地面3米,则地面上阴影部分的面积为多少?
2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB,在AC上找到一点D,在BC上找到一点E,使DE⊥AC,测出AD=35m,DC=35m,DE=30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?
AB
DE
C
3、如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5米有一棵树,在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,则河宽为 米.
4、如图,已知零件的外径a为25cm,要求它的厚度x,需先求出内孔的直径AB,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)去量,若OA:
OC=OB:
OD=3,且量得CD=7cm,求厚度x。
5、如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120毫米,高AD=80毫米,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在
AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
第六课时27.2.2相似三角形的应用举例
(2)
学习目的:
1.进一步巩固相似三角形的知识.
2.能够运用三角形相似的知识,解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等的一些实际问题.
重点、难点
1.重点:
运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.
2.难点:
灵活运用三角形相似的知识解决实际问题(如何把实际问题抽象为数学问题).
一、知识链接
1、判断两三角形相似有哪些方法?
2、相似三角形有什么性质?
二.探索新知
1、自学教材P49页例5
2课堂练习
1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?
2.小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高?
3、小明想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上,如图,他先测得留在墙上的影高1.2m,又测得地面部分的影长2.7m,他求得的树高是多少?
(三)达标我能行
1.(路灯距地面高度为8米,身高1.6米的小明从距离灯的底部
(点O)20米的点A处,沿AO所在的直线行走14米到点B时,
人影的长度变化是_____(填“增大”或“减小”)
_______米.(线段AM、BN分别表示人影长)
2.如图,在河两岸分别有A、B两村,现测得A、B、D在一条直线上,A、C、E在一条直线上,BC//DE,DE=90米,BC=70米,BD=20米.则A、B两村间的距离为.
3.如图,某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上,已知此人眼睛距地面1.6米,标杆为3.2米,且BC=1米,CD=5米,求电视塔的高ED.
4.为了测量路灯(OS)的高度,把一根长1.5米的竹竿(AB)竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子(BC)长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米(BB‘),再把竹竿竖立在地面上,测得竹竿的影长(B‘C‘)为1.8米,求路灯离地面的高度.
第七课时27.2.2相似三角形的应用举例(3)
相似三角形的周长与面积
教学目标
1、掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法,并会运用定理进行有关简单的计算;
2、提高观察、归纳能力,应用数学知识解决生活中实际问题的能力。
学习重点:
两个相似三角形的周长之比、面积之比和相似比的关系
学习难点:
对“相似三角形面积比等于相似比的平方”的理解
学习过程:
如果两个三角形相似,它们的周长之间有什么关系?
如果△ABC∽△A′B′C′,且△ABC与△A′B′C′的相似比为k,即
,因此AB=_________,BC=_________,CA=k____________,
=__________________________________=__________________。
由此我们得到:
相似三角形周长的比等于______________。
展示交流
1、如果两个三角形相似,它们的对应边上的高线之间有什么关系?
写出推导过程。
2、如果两个三角形相似,它们的对应边上的中线之间有什么关系?
写出推导过程。
3、如果两个三角形相似,它们的对应边上的对应角的平分线之间有什么关系?
写出推导过程。
4、如果两个三角形相似,它们的面积之间有什么关系?
写出推导过程。
总结归纳:
性质1相似三角形周长的比等于相似比,对应高的比等于相似比。
性质2相似三角形面积的比等于相似比的平方.
相似多边形的性质1.相似多边形周长的比等于相似比.
相似多边形的性质2.相似多边形面积的比等于相似比的平方.
例1(补充)已知:
如图:
△ABC∽△A′B′C′,它们的周长分别是60cm和72cm,且AB=15cm,B′C′=24cm,求BC、AB、A′B′、A′C′的长.
例2如图在ΔABC和ΔDEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,ΔABC的周长是24,面积是12
,求ΔDEF的周长和面积。
达标拓展
1、如果两个相似三角形对应边的比为3∶5,那么它们的相似比为_____,周长的比为_____,面积的比为_____.
2、如果两个相似三角形面积的比为3∶5,那么它们的相似比为_____,周长比为______.
3、连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______,面积比等于_______.
4、在△ABC中,∠BAC=90o,AD⊥BC于D,BD=3,AD=9,则CD=______,AB2:
AC2=________。
5、直角三角形的两条直角边分别为a、b,则它的斜边上的高与斜边之比为_______
6、等腰三角形ABC和DEF相似,其相似比为3:
4,则它们底边上对应高线的比为_______
7、如图,这是圆桌正上方的灯泡发出的光线照射到桌面后在地面上形成(圆形)的示意图.已知桌面直径为1.2米,桌面离地面1米.若灯泡离地面3米,则地面上阴影部分的面积为___________
8、如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,GI∥EF∥AB,若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2,则△ABC的面积为____________
第八课时27.3.位似
学习目标:
1.认识位似以及概念;2.掌握常见位似图形的作法;
学习重点:
位似图形的有关概念、性质与作图.
学习难点:
利用位似将一个图形放大或缩小.
学习过程:
(一)基础我梳理
1.探究:
观察下列相似图形,归纳其特点
归纳:
(1)两个图形是;
(2)每组相交于一点;(3)互相平行。
具有上述特点的图形是位似图形,对应点连线的交点是位似中心。
点拨:
相似图形不一定是位似图形,但位似图形一定是相似图形;
2.位似图形的性质
(1)位似图形具有图形的一切性质;
(2)位似图形任意一对对应到位似中心的距离之比都位似比;
3.位似图形与坐标
在平面直角坐标系中有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为1:
3,把线段AB缩小
方法一:
方法二:
探究:
(1)在方法一中,A’的坐标是,B’的坐标是,对应点坐标之比是
;
(2)在方法二中,A’’的坐标是,B’’的坐标是,对应点坐标之比是-
归纳:
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于;
3.图形变换我们学习过的图形变换包括:
,轴对称,旋转和;
(二)新知我尝试
1.下列关于位似图形的表述中,正确的是;(填序号)①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;②位似图形一定有位似中心;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,这个两个图形是位似图形;④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比;
2.用位似作图的方法,可以将一个图形放大或缩小,位似中心()
A.只能选在原图形的外部B.只能选在原图形的内部
C.只能选在原图形的边上D.可以选择在任意位置
3.在平面直角坐标系中有两点A(1,0),B(2,0),以原点O为位似中心,把线段放大2倍,则放大后的线段A`B`的长为;A`的坐标是或;B`的坐标是或;
4.如图所示,指出下列各图中的两个图形是否是位似图形,如果是请指出其位似中心;
5如图所示,△ABC与△A`B`C`是位似图形,
且位似比是1:
2,若AB=2cm,则A`B`=
cm,并在图中画出位似中心O;
6.如最右图所示,在下列四种图形变换中,
本题图案不包含的变换是()
A.位似B.旋转C.轴对称D.平移
(三)达标我能行
1.如图所示,左图与右图是相似图形,如果左图上一个顶点坐标是(a,b),那么右图上对应顶点的坐标是()
A.(-a,-2b)B.(-2a,-b)C.(-2a,-2b)D.(-2b,-2a)
2.如图所示,AB∥A`B`,BC∥B`C`,且OA`:
A`A=4:
3,则△ABC与是位似图形,位似比是;
3、如图,△ABC是格点三角形.在建立平面直角坐标系后,点B的
坐标为(-1,-1).
(1)把△ABC
向左平移8格后得到△A1B1C1,
则点B1的坐标为________。
(2)把△ABC绕点C按顺时
针方向旋转90o后得到△A2B2C,
则点B2的坐标为___________。
(3)把△ABC以点A为位似中心
放大,使放大前后对应边长的比为
1:
2,则B3的坐标是_______。
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