第17章马可夫连锁.docx
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第17章马可夫连锁
第十七章馬可夫過程
17.1市場佔有率分析
17.2應收帳款分析
-基本矩陣及其相關計算
-建立可疑帳款的額度
●馬可夫過程模式是研究系統在一系列重複試驗過程中演化結果的有力工具。
●重複試驗包含一串連續的期間。
●轉換機率被用來描述系統從一個期間到下一個期間的轉變過程。
●因為馬可夫過程深入探討將超出本書的範圍,本書所舉的二個例子將只侷限在有限的狀態數目,以及轉換機率不隨時間改變的情況下,而任一期間某狀態的機率只與前一期間的狀態有關。
⏹17.1市場佔有率分析
●假設墨菲食品站與亞斯萊超級市場是小鎮唯一的兩家。
●假設顧客每週只到其中的一家店採購一次,但不會兩家都去。
●每週一次的購物活動稱為馬可夫過程的試驗。
●在每次的試驗顧客可在墨菲或亞斯萊其中之一購物。
某一週的購物所選擇的商店稱為系統的狀態(stateofthesystem)。
●每次的試驗顧客有兩種購物的選擇,所以說系統有兩個狀態。
●狀態的數目是有限的,可以將狀態定義為:
狀態1顧客至墨食品店購物
狀態2顧客至亞斯萊超級市場購物
●如果系統在試驗3是狀態1,那就表示顧客在第3週是到墨菲食品店去購物。
題目:
研究墨菲食品店與亞斯萊超級市場的市場佔有率及
顧客忠誠度。
利用馬可夫過程模式,可以算出在任何期間,顧客到每一家店購物的機率。
表17.1墨菲食品與亞斯萊超市的轉換機率
下一週
本週
墨菲食品店
亞斯萊超市
墨菲食品店
0.9
0.1
亞斯萊超市
0.2
0.8
●以上機率代表顧客從前一期的某個狀態轉換到下一期某個狀態的機率,因此我們稱之為轉換機率(transitionprobability)。
●轉換機率表的每列元素和為1。
●假設任何顧客的轉換機率都相同,而且不隨時間改變。
●表17.1的每一列或每一行都代表系統的一個狀態,因此我們用Pij代表轉換機率,用P代表轉換機率矩陣;亦即
Pij=前一期在狀態i而下一期轉到狀態j的機率
因此,對超級市場問題得到
P=
=
●利用以下的符號代表系統在任一期間的機率。
令
πi(n)=期間n系統處於狀態i的機率
●例如,π1
(1)代表系統在期間1處於狀態1的機率,
π2
(1)代表系統在期間1處於狀態2的機率。
因為πi(n)
代表系統在期間n處於狀態i的機率,所以πi(n)稱為
狀態機率(stateprobability)。
●π1(0)及π2(0)代表系統在起始期間的狀態1及狀態2的機率。
第0週代表開始分析馬可夫過程時最近的一期。
●π1(0)=1且π2(0)=0表示起始的狀態是顧客上週在墨菲店購物。
●π1(0)=0且π2(0)=1表示系統開始時旅客上一週在亞斯萊店購物。
圖17.1墨菲的顧客兩週內可能購物選擇的樹狀圖
第一週第二週兩週後的
(第一次購物)(第二次購物)各項機率
(0.9)(0.9)=0.81
0.9
到墨菲
購物
0.9
0.1
(0.1)(0.2)=0.02
(0.9)(0.1)=0.09
0.1
到亞斯萊購物
到墨菲
購物
0.2
到墨菲
購物
0.8
到亞斯萊購物
(0.1)(0.8)=0.08
到亞斯萊購物
●在圖17.1的樹狀圖,顧客上一週是在墨菲店購物,因此
【π1(0)π2(0)】=【10】
是代表系統初始狀態機率的向量。
●符號Π(n)=【π1(n)π2(n)】
表示系統在期間n的狀態機率向量。
●此例中,Π
(1)代表第1週的狀態機率向量,Π
(2)則代表第2週的狀態機率向量。
●利用此一符號,因此只要將已知的第n期的狀態機率向量乘以轉換機率矩陣,即可求得第n+1期的狀態機率向量。
此種乘法可以表示成:
Π(下一期)=Π(這一期)P
或
Π(n+1)=Π(n)P(17.1)
從系統第0期間的狀態1開始,得到Π(0)=【1,0】。
期間1的狀態機率如下:
Π
(1)=Π(0)P
或是
[π1
(1)π2
(1)]=[π1(0)π2(0)]
=[10]
=[0.90.1]
利用Π(n+1)=Π(n)P,可以計算第2週的狀態機率如下:
Π
(2)=Π
(1)P
或者
[π1
(2)π2
(2)]=[π1
(1)π2
(1)]
=[0.90.1]
=[0.830.17]
第二週到墨菲店購物的機率是0.83,到亞斯萊店購物的機率是0.17。
以此類推
Π(3)=Π
(2)P
Π(4)=Π(3)P
:
Π(n+1)=Π(n)P
表17.2墨菲顧客的狀態機率
狀態
機率
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
π1(n)
1
0.9
0.83
0.781
0.747
0.723
0.706
0.694
0.686
0.680
0.676
π2(n)
0
0.1
0.17
0.219
0.253
0.277
0.294
0.306
0.314
0.320
0.324
根據表17.2得知
若一開始1000個墨菲的顧客,經過5週之後,其中723位仍是墨菲的顧客,而另外的277位則成為亞斯萊的顧客。
10週之後,墨菲的顧客剩下676位,而亞斯萊的顧客則有324位。
與計算墨菲顧客的狀態機率相同,亞斯萊顧客的狀態機率如表17.3。
表17.3亞斯萊顧客未來的狀態機率
狀態
機率
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
π1(n)
0
0.2
0.34
0.438
0.507
0.555
0.589
0.612
0.628
0.640
0.648
π2(n)
1
0.8
0.66
0.562
0.493
0.445
0.411
0.388
0.372
0.360
0.352
●經過很多的期間之後,系統處於某特定狀態的機率與系統的起始狀態無關。
經過無數次轉換之後所得到的機率稱為穩態機率(steadystateprobability)。
用符號π1表示狀態1的穩態機率,用π2表示狀態2的穩態機率。
在穩定狀態時,換句話說,在穩定狀態時,省略了π1(n)中表示期間的部份,因為不再有必要。
●表17.2與17.3的分析顯示,當越來越大時,第n期與第n+1欺狀態機率的差異將愈來愈小。
因此我們的結論是,當n很大時,第n+1期狀態機率的差異將非常接近第n期的狀態機率。
此一特性使得我們可以用一種簡單的方法計算出系統的穩態機率,而無須實際進行大量的計算。
從Π(n+1)=Π(n)P知道
[π1(n+1)π2(n+1)]=[π1(n)π1(n)]
因為當n非常大時,Π(n+1)與Π(n)之間的差異可以忽略,於是在穩定狀態π1(n+1)=π1(n)=π1,且π2(n+1)=π2(n)=π2。
因此;得到
[π1π2]=[π1π2]
=[π1π2]
展開之後,得到
π1=0.9π1+0.2π2(17.2)
以及
π2=0.1π1+0.8π2(17.3)
由於機率和=1,所以π1+π2=1(17.4)
(17.4)代入(17.2)(17.3)得到
π1=0.9π1+0.2(1-π1)
π1=0.9π1+0.2-0.2π1
π1-0.7π=0.2
0.3π1=0.2
π1=2/3
π2=1-π1=1/3
因此,如果有1000個顧客在系統中,馬可夫過程模式告訴我們,在一段長時間之後,穩態機率π1=2/3、π2=1/3,所以有2/3(1000)=667位顧客是墨菲的,有1/3(1000)=33位顧客是亞斯萊的。
這個穩態機率可以看成是這兩家店的市場佔有率。
市場佔有率的資訊對決策很有價值。
例如,亞斯萊的超市要刺激廣告以吸引更多墨菲的顧客到他的店。
假設亞斯萊相信促銷策略會使墨菲的顧客轉到亞斯萊的機率從0.1增加為0.15,新的轉換機率見表17.4。
表17.4墨菲食品與亞斯萊超市修正後的轉換機率
下一週
本週
墨菲食品店
亞斯萊超市
墨菲食品店
0.85
0.15
亞斯萊超市
0.20
0.80
新的穩態機率或市場佔有率為
π1=0.85π1+0.2π2
將π2=1-π1代入上式得到
π1=0.85π1+0.2(1-π1)
π1=0.85π1+0.2-0.2π1
π1-0.65π=0.2
0.35π1=0.2
π1=0.57
以及
π2=1-0.57=0.43
整個促銷的策略使亞斯萊的市場佔有率從π2=0.33增加為π2=0.43。
●假設整個市場每週有6000位顧客。
新的促銷策略使得到亞斯萊超市的顧客從2000人(6000×0.33)人增為2580人(6000×0.43)人。
●如果每週每位顧客的平利潤是10元,這個促銷計畫使亞斯萊每週增加5800[(2580-2000)×10]元的利潤。
如果促銷的成本低於每週5800元,亞斯萊就應該考慮採用這個策略。
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