复变函数与积分变换期末复习doc.docx
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复变函数与积分变换期末复习doc
(第一部分)复变函数复习
一复数的概念
1.复数的概念:
z=x+iy,是实数,x=Re(z),y=Im(z).r=-l.
注:
两个复数不能比较大小.
2.复数的表示
1)模:
匕|=5/兀2+),2;
2)幅角:
在乙工0时,矢量与x轴正向的夹角,记为4%(z)(多值甫数):
主(ftarg(z)是位于(一兀,兀]中的帽角。
3)arg(z)与arctan—间的关系如下:
x
V
当x>0,argz=arctan—:
x
y>0,argz=arctan—+
当x<0, y y<0,argz=arctan--ti x 4)三角表示: z=z|(cos0+isin&),其中&=argz;注: 中间一•定是“+”号。 5)指数表示: z=|z|N°,其中〃=argz。 (二)复数的运算 1.加减: 若Z]=州+级,E=兀2+0? 2'则Z1土6=(西±兀2)+'(歹1土『2) 2.乘除: 1)若Z]=兀1+iyx,=兀2+砂2'则 Z忆2=(兀內一)+"兀2开+兀』2); Z]=兀|+如=(西+纫)(兀2-助)=為勺+兀儿|j甘2-)MlsX2+iy2(x2+zy2)(x2-iy2)兀;+W+y; 2)若Z]=匕1|課,z? 二園严,则 「•(D 3.乘幕与方根 1)若z=|z|(cos0+isin&)=|z|e,d,则zn=Z"(cosnO+isinnO)=忖"严。 2)若z=|z|(cos+1sin^)=ze10,则 V7=|zpcos 伙=0丄2・・・〃一1)(有九个相异的值) 0+2k兀..0+2k7ry +1sin (三)复变函数 1.复变函数: w=/(Z),在儿何上可以看作把Z平面上的一个点集D变到W平面上的一个点集G的映射. 2.复初等函数 1)指数函数: "=『(cosy+isiny),在z平面处处可导,处处解析;且(,)"。 注: K址以2加为周期的周期函数。 (注意与实函数不同) 3)对数函数: Lnz=Inz+z(argz+2k7r)(R=0,±l,±2•…)(多值函数); 主值: lnz=ln|z|+iargz。 (单值函数) Lnz的每一个主值分支Inz在除去原点及负实轴的z平而内处处解析,且(Inz^=-; 注: 负复数也冇对数存在。 (与实函数不同) 3)乘帚与幕函数: a=ebLna(aH0);z=ehLnz(z工0) 注: 在除去原点及负实轴的z平面内处处解析,且(z")=bzh~lo .ei: -e”eiz+eizsinzcosz 4)三角函数: sinz=,cosz=,tgz=,ctgz= 2i2coszsinz sinz,cosz在z平面内解析,且(sinz)=cosz,(cosz)=-sinz 注: 有界性|sinz| 7—T7—T 4)双曲函数shz=,chz=: 22 shz奇函数,chzM偶函数°sh乙chz在z平而内解析,且(shz)=chz,(chz)=shzo (网)解析函数的概念 1.复变函数的导数 r,(\y/(Zq+Az)-/(z0) “点可导: /(“H理: 2)区域可导: /(Z)在区域内点点可导。 2.解析函数的概念 1)点解析: /(Z)在5及其Z()的邻域内可导,称/(Z)在Z()点解析: 2)区域解析: /(z)在区域内每一点解析,称/(Z)在区域内解析; 3)若y(z)在%点不解析,称5为/(z)的奇点; 3.解析函数的运算法则: 解析函数的利、差、枳、商(除分母为零的点)仍为解析函数;解析函数的复合函数仍为解析函数; (5)函数可导与解析的充要条件 1.函数可导的充要条件: /(z)=u(x,y)+“(圮y)在2=兀+"可导 ou(x,y)和v(x,y)在(兀』)可微,且在(兀,y)处满足C-D条件: du dx dv du dv £f(\Su.dv此时,有f(z)=——+i——o、丿dxdx 2.函数解析的充要条件: 、f(z)=u(x,y)+"(x,y)在区域内解析 0«(兀,〉')和)在(兀,y)在Z)内可微,且满足C-D条件: du dv茁 du Sy dv ~dx'' 此时广(z) du.dv =FIo 8xdxi|: 若u(兀,y),v(^,y)在区域D具有一阶连续偏导数,则w(x,.y),v(x,y)在区域D内是可微的。 因此在使用充要条件证 明时,只耍能说明u.V具有一阶连续偏导且满足C-R条件时,函数/(z)=u+iv一定是可导或解析的。 3.函数可导与解析的判别方法 1)利用定义(题目要求用定义,如第二章习题1) 2)利用充耍条件(函数以/(z)=w(x,>,)+/v(x,y)形式给出,如第二章习题2) 3)利用可导或解析函数的四则运算定理。 (函数/(Z)是以Z的形式给岀,如第二章习题3) (6)复变函数积分的概念与性质 复变函数积分的槪念: ]/(z)dz=lim£/(生)c是光滑曲线。 mek=\ 注: 复变函数的积分实际是复平面上的线枳分。 复变函数积分的性质 1) 打⑵=/⑵次 (C“与C的方向和反); 2) [[a/(z)+0g(z)]dz=aj/(z)dz+0jg(z)dz,a,0是常数; 3) 若曲线C由C|与c2连接而成,则j7(z)衣二[/(z)dz+[/(z)dj 3. 复变函数积分的一般计算法 1)化为线积分: J/(z)dz=|udx-vdy+i[vdx+udy: (常用于理论证明)2)参数方法: 设曲线c: z=z(/){a J.f(z)dz=f. (7)关于复变函数枳分的重要定理与结论 1.柯西一古萨基本定理: 设/(Z)在单连域B内解析,C为〃内任一闭曲线,则 “(Z)dz=O 2.复合闭路定理: 设/(z)在多连域D内解析,c为D内任意一条简单闭曲线,cpc2,---cn是c内的简单•闭曲线,它们互不 包含互不相交,并且以C],c2,---cn为边界的区域全含于D内,则 1J/(z)dz=£J/(z)dz,其中c与q均取iE向; ck=lQ 2J/(z)dz=0‘其中rdjc及c"伙=1,2,…〃)所组成的复合闭路。 「 3.闭路变形原理: 一个在区域D内的解析函数f(z)沿闭曲线C的枳分,不因C在D内作连续变形而改变它的值,只: 要在变形过 程中C不经过使/(z)不解析的奇点。 4.解析函数沿非闭曲线的积分: 设/(z)在单连域B内解析,G(z)为于(z)在B内的一个原函数,则 wG(Z2)-G(zJ(zPz2eB) J可 说明: 解析函数)沿非闭曲线的积分与积分路径无关,计算时只耍求出原函数即叭 5.柯西积分公式: 设f(z)在区域D内解析,C为D内任一正向简单闭Illi线,C的内部完全属于D,z()为C内任意一点,则 (=2/rif(z()) iZ_Z() 6.高阶导数公式: 解析函数/(Z)的导数仍为解析函数,它的〃阶导数为 1/3於=詈〃心…) 其小C为/(z)的解析区域D内围绕z()的任何一•条正向简单闭曲线,而且它的内部完全属FD。 7.重要结论: r1〔2加,n=0 dz= ! (z-ay+i[0,心0 &复变函数积分的计算方法 1)若/(z)在区域Q内处处不解析,用一般积分法(/(z)dz二)]艺(/)力 2)设/(Z)在区域D内解析, c是D内--条正向简单闭曲线,则由柯西一古萨定理,J/=0 C是0)内的-•条菲闭曲线,ZpZ2对应曲线C的起点和终点,则有 打⑵衣訂: /⑵d“F(z2)-F(zJ 3)设/(Z)在区域D内不解析 曲线C内仅有一个奇点: < /(z) Jc(z-z0) =2加/(%) </(z)在c内解析)心竿严G) n\ 卄1 曲线c内有多于一个奇点: J/(z)dz二£J/(z)dz(q内只有一个奇点zk) C"1Q 或: =2加工Res[/(z),zJ(留数基本定理) ek=\ 若被积函数不能表示成一叫,则须改用第五章留数定理来计算。 ("十 (八〉解析函数与调和函数的关系 I.调和函数的概念: 若二元实函数(pg)在£>内有二阶连续偏导数且满足嘤+£-单二0,dx~dy~ (p(x,y)为£>内的调和函数。 2.解析函数与调和函数的关系 •解析函数/(z)=w+/v的实部u与虚部卩都是调和函数,并称虚部y为实部u的共轨调和函数。 •两个调和函数U与"构成的函数/(z)=弘+iv不一定是解析函数: 但是若w,v如果满足柯西一黎曼方程,则”+iv一定是解析函数。 3.已知解析函数/(Z)的实部或虚部,求解析函数/(^)=W+ZV的方法。 偏微分法: 若已知实部―心刃,利用C-7? 条件,得空2;dxdy dv再对(*)式两边对兀求偏导,得一 dx 必-尺条件,色一空,得竺= dydxdy 可求出^(x); 代入(*)式,可求得虚部v=^-dy+g(%) 2)线积分法: 若已知实部“=m(x,V),利用C-R条件可得dv=—dx+—dy=~—dx+—dy,dxdydydx° f(^y)du1du1 故虚部为卩=lx+——dy+c: J(心)Gdydx 由于该积分与路径无关,可选取简单路径(如折线)计算它,其中(x0,)? 0)与(兀,y)是解析区域中的两点。 3)不定积分法: 若已知实部U=“(x,y),根据解析函数的导数公式和C-R条件得知, 广⑵ du.dvdu.du~~,,_l_i,~~,i, dxdydxdy 将此式右端表示成z的函数"(z),由于/'(z)仍为解析函数,故 /(z)=W(z“z+c(C为实常数) 注: 若已知虚部V也可用类似方法求出实部U. (九)复数项级数 1.复数列的极限 1)复数列{%}=[an+ibn} hman=a,hmbn=b(同时成立) n—n—>co 2)复数列a}收敛o实数列{an},{bn}同时收敛。 2.复数项级数 CO0000 1)复数项级数工“=an+〃? ”)收敛的充要条件是级数工勺与工化同时收敛; n=0h=0/: =0 2)级数收敛的必耍条件迅lima”=0o n—>qc 注: 复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。 (T)幕级数的敛散性 0000 1
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