概率论7章总结精华版.docx
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概率论7章总结精华版
第一章(考点:
利用以下公式解题)一.重要公式
乘法公式全概率公式贝叶斯公式
.重点题型
2、两台机床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.05,第二台出现废品的概率是0.0.2,加工的零件混放在一起,若第一台车床与第二台车床加工的零件数比为5:
4;
(1)/任意的从这些零件中取出合格品的概率;
(2)、若已知取出的一个零件为合格品,那么,它是由哪台机床生产的可能性大。
例12对以往数据分析结果表明9当机器调整得良好时,产品的合格卒为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.毎天早上机器开动时,机器调楚巨好的概率为95%,试求已知某日早上笫一件产品是合格品时,机器调整得良好的槪率是多少?
解设昇为事件“产品合格»,B为事件“机器调整良好”.
P(J|5)=0.98,P(A\B)=0.55,P(B)=0・95,P(i)=0.05所求的概丰丸卩(〃|/)・由贝叶斯公式,彳导
|—“.97.
P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)
例13设某批产品中,甲,乙,丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%,现从中任取一件,
(1)求取剧的翅次品的槪率;
(2)经检验发现取到的产品为次品9求该产品是甲厂生产白勺概率・
解P(/
(1)=45%,P(X2)=35%,7>(J3)=20%,
P(BM1)=4%,P(B|£)=2%,P(B|/4,)=5%.
(1)由全概牢公式傅
3
P(Zr)=£P(Ai)P(B\Ai)=3.5%・
z=i
(2)由贝叶斯公式(或条件棋率定义),得
例3加工某一零件共需经过四道工序/丈第■一、二、三、四逍工序的次品卒分别足2%,3%,5%,3%,假定各道工厚姥互不影响的,求加工出来的零件的次品率.
解本题应先计算合格品率,这样可以使计算简便.
设“J,九为四道工序发生次品事件,D为加工出来的爭件为次品的事件9则D为产品合格的事件,故冇
D=AtA2A3A49
P(D)=P(A{)P(A2)P(A,)P(A4)
=(1一2%)(1-3%)(1-5%)(1-3%)
=87.59779%»87.60%,
P(D)=l-P(D)
=1-87.60%=12.40%・
某工人一天出废品的概率为0.2,求在4天中:
(1)都不出废品的概率;
(2)至少有一天出废品的槪率;
(3)仅有一天出废品的概率;
(4)最多有一天出废品的概率;
(5)第一天出废品9其余各天不出废品的扌阮率・
第二章(考点:
连续性:
分布函数求概率密度(互求)。
离散型:
选择,填空)一.重要知识点
离散型
1.分布函数的性质:
(1)单调不减
(2)右连续(3)趋近于正无穷为0、趋近于负无穷为1
2.常见离散型随机变量的概率分布(记住公式,不是重点)
(1)0-1分布
(2)二项分布(3)泊松分布连续性
1.已知分布函数求概率密度
2.求参数(公式P49书)
3.常见连续性随机变量的概率分布
(1)均匀分布
(2)正态分布(选择填空考点)(3)指数分布
4.连续型随机变量函数的概率密度(公式P58书例2.30)
二.重点题型
例2设随机变鈕X具有槪率密度
0 其它 Ax, y(g2号 、o, ⑴确定常数 (2)求X的分布函数F(x); ⑶求P{l (1)确定常数A; rf® 解由f{x)dx=l.得 J-00 匸皿+J: (2 n, 解得A=l/6,于是X的概率密度为 X 69 2-兰 22’ 0 3 .0, 其它 完 这一题是重点! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! (例二) 例3设随机变•堡X的分布函数为 0,x<0 F(x)=x2,0<,v I1,1 求 (1)概卒P{()・3 (2)X的密度函数. 解由连续型随机变量分布函数的性质,有 (1)P{0.3 =0.72-0.32=0.4・ (2)X的密度函数为 0, f(x)=F\x)=2x, 0, 例5某元件的寿命X月艮从指数分布,已知其参数2=1/1000,求3个这样的元件使用10004、时,至少已有一个损坏的极率• 解由题/i殳知,X的分布函数为 侖,x>0 I0,x<0 由此傅到 P{X>1000}=l-P{X<1000}=1-F(1000)=e-1•各元件的寿命是否趙过looo小时是独立的,用y表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,则 Jb(3,l-e-l)9 所求概率为 P{Y>l}=\-P{y=O}=1-C^(l-e-|)o(^-,)3=1-e-3. 例2设随机变量X〜"(0,1),Y=ex.求丫的极率密度函数. 解设竹心),/>(/)分别为随机变量y的分布函数釈槪卒密度函数,则当/<0时,有 Fr(J)=P{Y 当』>0时,因为g(x)=e•'是x的严格单调増函数,所以有 因而 {e^ Fv(y)=P{Y 再由./>(/)—F|(j),傅 通常称上式中的『服从对数正态分布,它也是一种常用寿命分布. \x/8,0 I0,其它 求卩=2X+8的槪率密度. 解设『的分布函数为Fy($),则 FY(y)=P{Y =P{X<(j-8)/2}=&[(p-8"2], 于是卩的密度函数 川沪警询宁)冷, 注息到0 书牛°,且人(宁卜罟 例4设x〜/v(oj),求y=x2的密度函数. 解记y的分布函数为Fy(x),则 Fy(x)=P{Y 显然,当*<0时,Fr(x)=P{X2 当x'O时, Fr(x)=P{X2 从而Y=X2的分布函数为 歼(对」巾(厶)-1,5, [0,x<0 于是其海度函数为 丨0,x<0 注: 以上述函数为密度函数的随机变量称为服从不“I)分布,它是一类更广泛的分布/彳刃)在〃=1时的特例.关于Z2(n)分布的细节将在第五章中给出. 2.设连续型随机变呈X的分布函数为 血、"+〃宀x>0 尸(兀)=], [0,x<0 试求: (1)/川的值; (2)P{—lvX<1}; ⑶概率密度函数y*(x)・ 4、设随机变量x在区间[2,5]上服从均匀分布,现对x进行三次独立重复观测,求至少有2次观测值大于3的概率。 第三章(考试题: P90习题三第三题(会有延伸))一.重要知识点 离散型: 联合概率密度边缘概率密度条件分布律连续性: 联合概率密度边缘概率密度判断独立性(离散,连续)注意点: 独立性只有一种求法(见书P81) 注意点: 一定画图步骤一定规范化 二.重点题型 例8设(X,『)的概率密度是 f(x.y)= cj(2-x),0 0,其它 求(l)c的值; (2)两个边缘密度. 解⑴由II: /(*』)力妙=1确定c・ J;U;g-%W =c^[x\2-x)/2]dx =5c/24=lc=24/5. ⑵=jJ(2-x)4f=jx2(2-x),0 0 例9设随机变量x和y具有联合械率密度 j'6 其它 /2)=[〔/gj'Mz J,6 0, 其它 例5设(X,Y)的极率密庚为 x>0,y>0 ■ 0, 其它' 2, 0 o, 其它 (I)f(^y)= ⑵/(“)= 5 因对一切x,儿均有: f(x.y)=fx(x)fY(y),故X,V处立. 1.设二维随机变量(X,Y)的联合分布如下 Y X 2 5 8 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.05 0.12 0.03 (1).求关于X和关于Y的边缘分布; (2)、X与Y是否相互独立;E(X).D(X). 第四章 一.重要知识点 数学期望, 注意点,用性质4不能判断独立性 方差,(求法平方的期望减去期望的平方) 注意点,无论加减都是加协方差(考点: 选择,填空),相关系数求法: 乘积的期望减去期望的乘积 协方差的性质 1•协方差的基本性质 (1)cov(X,X)=P(X); (2)cov(x,y)=cov(y,X); (3)cov(aX,hY)=afrcov(X,F),其中仪9〃是常数; (4)cov(C,X)=05C为任意常数; (5)cov(X]+X2,r)=cove%! r)+cov(x2,r); (6)当*与V4b互独立,贝! Jcov(X,F)=0. 2.随机变量和的右差与协右差的关系o(x±y)=D(x)+D(y)±2cov(x,y), 特别地,若X与卩相互3虫立,贝! J D(X±Y)=D(x)+D(y)・ ③可以证明: 若X,F的方差存在,则协方差cov(X,F)一定存在且满足下列不等式: |cov(X,y)| 相关系数的性质 II>1; 证由方差的性质和协方差的定义如,对任息实数伏冇0 令b二9则 D(X) I)(Y-bX)=D(K)-3(烹 =Z)(F)|1-2°V(X,"j(y”[2I ,丿ID(X)P(F)Vn 由于方差o(F)爰正的,故必有i-Q\;no,所以Ipjwi. 2.若x和y相互独立,贝! jpAT=0;注息到此时cov(X,F)=0,易见结论成立. 注: X与P相互独立#X与y不相关(参见例3-4). 相关系数的性质 I•IPxY 2.若X相y相互3虫立,贝! JpXY=0; 注意到此时cov(x,r)=o,易见结论成立.注: x与y相互独立寸x与y不相关(参见例3-4). 3.若D(X)>0,D(Y)>09贝! J |pYJ|=1存在常数•H0),使P{Y=aXb}=1, 而且当时,/? AT=1,当口<0时9pvr=-l.: 证明1注: 相关系数刻画了x才口y间“线性相关”的程度. Iq“I的值越接近于1,y与x的线性相关程度越高;IpX}|的值延接近于o,y与x的线性相关程度越弱;IpxtI=i时,y与x冇严格线性关系; PXY=0时,F与X无线性关系;这里注意: 当PxY=0时,只说明『与x没冇线性关系. 相关系数的性质 1・丨如卜1; 2・若X和『相互处立,贝! J卩灯=0; 3•若z)(x)>o,z)(y)>o,则 IpXY|=1存在常数“,力(〃工oh使卩{y=ax+b\=1, 而且当“>0时,Qxyi,当“<0B才,pAT=-l. 注: Px、=0时,卩与X无线性关系; 这里注怠: 当Qx’=0时,只说明『与X没冇线性关系.并不能说明y与x之间没有其它函数关系・从而不能推出卩与X独立・ 4・e=E{\Y-(aX^h)\2},称其为用aX^b来近似F的均方误差,则有下列结论: 若D(X)>0,D(y)>0,贝! J g0=cov(X,y)/P(X),60=£(F)-a0E(X) 使均方误罢•达到圮小.: 证明I .重点题型 例8T殳(XC)的联合概率分布为: ¥ 工 "T~ 工 1 0 3/8 3/8 0 3 1/X 0 0 ]/« 求E(X\E{Y\E(XY). 解要求E(X)和F(r),需先求出X和F的边缘分布.关于x和y的边缘分布为 X 13 Y 101 2 3 p 3/41/4 P 1/83/8 3/8 1/8 则冇 EW=lx|+3xl=l E(Y)=Ox丄4-lx-+2x-+3xl=- 88882 一、a33 £(X-y)=(lxO)x()+(lxl)x-+(lx2)x-+(lx3)xO 88 +(3x0)x-+(3xl)x0+(3x2)x0+(3x3)x 8 =9/4• 例9设随机变量X在[几兀]上服从均匀分布,求E(X),E(sinX),E(X? )及E\X-E(X)\l. 稱根据随机变愛函数数学期望的计算公式,有 r+x_一・・rK1Hx•—ax=——• 兀2 E(X)=\rxf(x)clx=rJ-8J0 E(sinX)=f+sinxf(x)dx=f^sinx丄厶J—8J07T =^(-cosx)|^=-^,W)訂: 刃(W訂卜2.詁十E[X_E(X)]—E(XV 訂: 卜书M塔 1.设随机变具冇密度函数 r工,ox<1f(r)=\2-x91 I0,其它 求E(X)和D(X). +oc -QC r1r2 xf(x)dx=Ix2+x(2-x)dx JoJ1 =j+(4-l)-j(8-l)=l, r+o>f1f2 x1f{x)dx-xydx+ J_8JoJ1 1217 x2(2-x)dx =43(8~1)~4(16'1)=6, D(X)=E(X2)-(£(X))2=^-1=1 O0 2.设随机变量X的分布律为 ! 12 X -1 0 w Pi 1/3 1/6 1/61/121/4, 试求Y——X+1及Z二 X2 的期望与方差. 解依题可得 X -1 0 1/212 x2 1 0 1/414 X4 1 0 1/16116 Pi 1/3 1/6 1/61/121/4 E(X)=(-l)xl+0xi +丄 x1+lx1+2x 1_ 1 3 6 2 612 4 3 1 1] 11, 1 35 E(X)=Ox—+ 1x _+ +—x—+4x 9 6 3 12J 46 4 24 E(X4)=0x丄+ lx- 5—+ 1x—= 425 6 12 16 64 96 陀)冷心)备等 E(F)=E(-X+1)=1-E(X)=1--=-,33 D(F)=D(-X+1)=D(X)=E(X2)-(E(X))2=|^-|=^ 陀)"(XT D(Z)=D(X2)=E(X4)-(E(X2))2=^ VO 空 -1 0 0 0.1 0.2 0 1 0.3 0.05 0」 2 0.15 0 0.1 例1已如离散型随机向量 (X,Y)的概率分布如右表, 求cov(X,Y). 解容易求得X的槪率分布为 P{X=0}=0.3,P{X=1}=0.45,P{X=2}=0.25;y的概率分布为 P{y=-1}=0.55,P{F=0}=0.25,P{Y=2}=02,于是有E(X)=0x0.3+1x0.45+2k0.25=0.95, E(V)=(-l)x0.55+0x0.254-2x0.2=-0」5・计算得 E(XY)=0x(-l)x0.1+0x0x02-0x2x0 +1x(-1)x0.3+1x0x0.5+1x2x0」 +2x(-1)x0.15+2x0x0+2x2x0.1 =0・ 于 cov(X,F)=£(XK)-£(X)E(r)=0.95x0.15=0.1425・宪 例5己知X〜N(l,32),卩~N(0,4)且X与卩的相关 1VV 系数p^=--・设Z=3~29求D(Z)及Pvz・ 解因D(X)=3\D(K)=4\且 coy(X,Y)=J万面pxr=3x4x 所以 D(Z)=D^-^j=lD(X)+lD(r)-2cov(|,^j =|°(X)+扫⑴-2x|x|cov(X,F)=7, 又因 COV(X,Z)=COV(X9y 牛cov 2/ cov(X,f 考点: 相关系数,协方差、D(X+Y)/D(X-Y) 第五章 考点: 切比雪夫不等式 3.某居民小区共有1000盏电灯,假设夜间每盏灯打开的概率为0.7,各盏灯打开与否彼此独立,估计开灯在650~750盏之间的概率。 第六章(考点: 选择,填空) 三个分布 考点: (1)能辨认三个分布 (2)求自由度 第七章(考点: 两个类型选一个除答题)距估计; 求矩估计的方法 设总体X的分布函数F(x;仇)中含有k个未知 参数…,比,则 1)求总体X的前k阶矩“],・・•,““一般祁是这k个未如参数的函数,亍己为 “产幻(也,…,乞),心1,2,…异; (1) 2)从1)中解得0=巧(“|,・・,“*),/=1,2,…, 3)冉用(7=1,2,A)的估计罟外分别代餐上式中的“八即可侍0(/=1,2,…,斤)的矩估计量: 6j=hj(A、、…、Ak\/=1,2、…、k・ 注: 求儿,…,叫,类似于上述步骤,最后用为,…9心代替 vp•••,vk,求出矩估计(J=l,2,•••,k). 例1设总体X的概卒密度为 [(a+l)xa,0vx<1/(x)=, I0,其它 其中a>-\是耒知参数,X],*2,…,X”是取自X的样本, 坎多数a的*巨估计. 瑶数学期望足一阶原点矩 “[=£(x)=「x(a+i)x"厶 其样本矩为乂=纟也,而&=2U即为a的矩估计.a+21-X例2设总体X在[“,b]上月艮从均匀分布,“,b未如・X|,X2,…,X”崔来自X的样本,试求a,〃的矩估计量.解“产E(X)=(a+b)/2, “2=E(X2)=D(X)+(E(X)]2=(*-a)2/12+(a+A)2/4,即a+力=2“],b_a=J12(“2_“f), 解得“=“]-p'3(“2一“;),"“|+沪仃-一“;)・ 注意剧丄fx,2-x2=-Z(x,-x)2, n/=1w/=1 以/],力2代替讶到4,〃的矩估计"S•分别为 a=41-v3(z42-/lJ)=X-J|z(X.-X)2, b=合+、;3“2一4: )=无+、丄£g-乂亍. «ni=\完 例3设总体X的均值“及方差CT2都存在,且^Tcf2>0,但“,"2均为未知,又设X],*2,…,X”足来自X的样本,试求“,cH的矩估计量. 懈“]=E(X)=“, “2=E(X2)=Z>(X)+[E(X)]2=,+“f,得到“=“1, 以合,上2代瞽“1,“2,傅“和"2的矩估计量分别为 力=已=壬,沪==—乂厂壬)2・ j=l"I=1 注: 本例农明,总体均值与方差的矩估计受•的表达式不因不同的总体分布而异・ 如9X~? V(“,“,0*2未如,则“9"2的矩估计旨为 最大似然估计 求最大似然估计的一般方法 主要步骤: (1)写出似然函数E(0)=<(□,x2,心,0); (2)令"<(&)=°或讥(&)=0,求出驻点; dOdO 注: 因函数In工是乙的单调増加函数,且函数lnZ(0)与函数L(0)右相同的极值点,故常转化为求函数\nL(O)的最大值点较方便. (3)判断并求出垠大值点,在最夫值点的表达式中,用样本值代入即得参数的最人似然估计值. 注: ①当似然函数关于未知参数不可微时,只能按最大似然估计法的基本思想求出最大值点. ②上述方法易推广至多个耒如参数的情形. 例5设X~/>(1,p),X],X2,・・・,X”J^^自总体X的一个样本,试求参数p的最大似然估计. 解设心,*2,…,心是X|,X2,・・・,X”的一个样本值,X的分布讦为 P{X=x}=px(l-p)l-\x=O,l, 故似然函数为 n.n l(p)= Z=1 而ln£(p)=(£xjlnp+(w-f>jln(l-p), 解得p的最大似然估计值 注: 这一估计量与矩估计量是相同的. 例6设总体X服从[0,〃]上的均匀分布,0未如.X],…,X”为X的样本,心,…,心为样本值,试求0的瑕大似然估计・ -T7.,0 解似然函数<(&)={0 0,其它 因L(0)不可导,可按最大似然法的基本思想确定0•欲使£(°)最大,0应尽黃4、但又不能太小,它必须同时满足0>Xi(f=1,•••,w),即 0»耐心],・・・,£), 否则£(0)=0,而0不可能是1(0)的最大值.因此,当〃=max{X[,…,X”}时9£(〃)可达最大. 所以〃的最大似然估计值与最大似然估计量分别为 A
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