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概率例题
第四章
4.1
例1设射击手甲与乙在同样条件下进行射击,其命中的环数是一随机变量.假如有历史记录可得它们分别有下面的分布律(其中0表示脱靶).
例2将3个球随机地放入3个盒子中去,球与盒子均可区分,以X表示空盒子数目,求E(X)例3分组验血:
在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此要抽验N个人的血,
可以有两种方法进行.
(1)将每个人的血分别去验,这就需要N次.
(2)按k个人一组进行分组,把从k个人抽来的血混合在一起进行检验,如果这混合血液呈阴性反应,就说明k个人的血都呈阴性反应,这样,这k个人得血就只需验一次.若呈阳性,则再对这k个人的血液分别进行化验.这样,R个人的血总共要化验R+1次.假如每个人化验呈阳性的概率为P且这些人的试验反应是相互独立的.试说明当p较小时,选取适当的k,按第二种方法可以减少化验的次数.并说明k取什么值时最适宜.
例4设随机变量X的密度函数为%,0<%<1
f(x)=<2-x,1 求E(X) 0,其它 例5如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金,想投资于某项目,预估成功的机会为30%,可得利润8万元,失败的机会为70%,将损失2万元.若存入银行,同期间的利率为5%,问是否作此项投资? 例6设随机变盘的分布律为 X -1 0 2 P 0.2 0.3 0.5 求+1) 例7设随机变量(X*)的联合概率密度 例8设二维随机变量(X”)的联合分布律为 xyo12 00.10.250.15 10.150.20.15求随机变量Z=sin/T(X+r)的数学期望。 例9国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位: 吨),它服从[2000,4000]上的均匀分布.设每售出这种商品一吨,可为国家挣得外汇3千元,但如果销售不出二积压于仓库,则每吨需花费保养及其它各种损失费用1千元,问需要组织多少货源,才能使国家的收益期望最大? 例10—机场班车载有20位旅客自机场开出旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有祐下车就不停车以X表示停车的次数求0X)(设每位旅客在各个车站F车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立). 4.2 例1设X为掷一颗骰子出现的点数,试求D(X) 例2: 设随机变量X具有数学期望方差D(X)=bG0,= 证明: E(X*)=0,D(X*)=1,称X*为X的标准化变量b 例3赵〜N(50,l),Y〜N(60,4),X与Y独立,=3X-2丫一10,求P{Z>10} 例4设活塞的直径(以cm计)X〜N(22.40,0.03‘), 气缸的直径丫〜N(22.50,0.042),X,Y相互独立任取一只活塞任取一只气缸求活塞能装入气缸的概率 例5设X』独立同分如N(2,4),试求: (1)X-丫的分布 (2)E\X-Y\^3)D\X-Y\ 4.3 例1设(X,Y)〜N趴心试求X与丫的 相关系数 例2已知随机变耿分别服从/V(l,32),/V(0,4‘), Pxy=—\【2,设Z=X/3+y/2. 例3设随机变童(x,y)具有概率密度 社2严0 f^y)=[0'其它求E(X),E(Y),C"(X』),Q“ 第五章 5.1 **厶徹第tutI 求I=£g(xXx的值 我们介绍均值法,步骤是 1)产生在(0,1)上均匀分布的随机数G 2)计算g(R,〃=1,2,…“ 3)用平均值近似积分值 _1“ 即 ! MIH回 例1设有一大批种子,其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中,良种所占比例与1/6比较上下小于1%的概率. 例2设每次试验中,事件4发生的概率为0.75,试用Chebyshev不等式估计,//多大时,才能在“次独立重复试验中,事件4出现的频率在0.74~0.76之间的概率大于0.90? 5.2 例1炮火轰击敌方防御工事100次,每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望 为2,均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100次轰击 (1)至少命中180发炮弹的概率; ⑵命中的炮弹数不到200发的概率. 例2—加法器同时收到20个噪声电压匕• (R=1,2,…20),设它们是相互独立的随n变量, 且都在区间(0,1)上服从均匀分布记V=空匕, k=l 求P{V>105}的近似值 例3某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的槪率. 例4对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布・ (1)求参加会议的家长数X超过450的概率; (2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 例5售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了100份报时过路人的数目,求P(280 例6检验员逐个检査某产品,每査一个需用10秒钟.但有的产品需重复检査一次,再用去10秒钟.若产品需重复检査的概率为0.5,求检验员在8小时内检査的产品多于1900个的概率. 例7某车间有200台车床,每台独立工作,开工率为0.6.开工时每台耗电童为「千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产? 例8设有一批种子,其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中,良种比例与1/6比较上下不超过1%的概率. 例9设随机变量相互独立且 在区间(-1,1)±服从均匀分布(i=l,2,…,“),试 证当"充分大时,随机变量Zn=-±X;近似服从 "1=1 正态分布,并指出其分布参数 第四、五章习题 例1 设X服从几何分布它的分布律为 P{X=R}=(1-p)ip,*=1,2,,求E(X)和D(X)・ 例2从数字0,1,2,…,〃中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望. 例3 (1)设随机变量X的分布律为 X 0 2 6 Pk 3/12 4/12 5/12 求E(X),E[ln(X+2)]・ ⑵设X~JT(/l),求E[(X+1)T]. (3)设随机变量X的概率密度为 x,0 0,其他. 求E(X2). 例4设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度 函数为心 [o,其他 求(X,y)的协方差矩阵及相关系数. 例5设随机变量x和y相互独立,且都服从标准 正态分布,求Z=ylx2+Y2的数学期望例6甲、乙两人相约于某地£12: 00〜13「00会面, 设分別是甲、乙到达的时间,且设X和Y相互独 立,己知X,丫的概率密度分别为 其他. 求先到达者需要等待用时间的数学期望例7计算器在进行加法时,将每个加数舍入最靠近它的整数,设所有误差相互独立且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布. (1)将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少? (2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90? 例8售报员在报摊上卖报,己知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了 100份报时过路人的数目,求P(280 例9有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m、现从这批木柱中随机地取100根,求其中至少有30根短于3m的概率. 例10某医院一个月接受破伤孔患者的人数是一 个随机变量,它服从参数2=5的泊松分布,各月 接受破伤风患者的人数®互独立•求一年中前9 个月内接受的患者 (1)40人〜50人;⑵多于30人 的概率. 第_章__ 例3化简事件(丽UC)AC 例1小王参加某智力游戏节目,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0丄求小王 (1)答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2)至少有一类问题能答出的概率 (3)两类问题都答不出的概率 例1中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7,答出第二类问题的概率为0.2,两 类问题都能答出的概率为0丄为什么不是0.7*0.2? 例2设A.B满足P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何条件下,P(AB)取得最大(小)值? 最人(小)值是多少? 例1(分房模型)设有k个不同的球,每个球等可能地落入N个盒子中(k<=N),设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率 (1)某指定的k个盒子中各有一球: (2)某指定的一个盒子恰有川个球(m<=k) (3)某指定的一个盒子没有球; (4)恰有k个盒子中各有一球; (5)至少有两个球在同一盒子中: (6)每个盒子至多有一个球. 例5“分房模型”的应用 生物系二年级有"个人,求至少有两人生口相同(设为事件A)的概率. 例2袋中有d只白球,b只红球,从袋中按不放回与放回两种方式取川个球(m<=a+b),求其中恰有k个(k<=a,k<=m)白球的概率 例3在0,1,23,,9中不重复地任取四个数,求它们能排成首位非零的四位偶数的概率. 例4在1,2,3,,9中重复地任取"(n>=2)个数,求n个数字的乘积能被10整除的概率. 例5在1-2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少? 例6某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的 例8某人的表停了,他打开收音机听电台报时,已知电台是整点报时的,问他等待报时的时间短于十分钟的概率 例9(会面问题)甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(t 例9甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间/(『<丁)后离去•设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率. 例10两船欲停同一码头,两船在一昼夜内独立随机地到达码头.若两船到达后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时,试求在一昼夜内,任一船到达时,需要等待空出码头的概率. 例将15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2)3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少? 例1一盒子装有4只产品,其中有3只一等品、1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是一等品”.试求条件概率P(B|A). 例1一盒子装有4只产品,其中有3只一等品、1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是一等品”.试求条件概率P(B|A). 例3某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.&能用1500小时的概率为0.4,求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率. 例4从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞.求2张都是假钞的概率. 例5盒中装有5个产品,其中3个一等品,2个二等品,从中不放回地取产品,每次1个,求 (1)取两次,两次都取得一等品的概率; (2)取两次,第二次取得一等品的概率; (3)取三次,第三次才取得一等品的概率; (4)取两次,已知第二次取得一等品,求第一次取得的是二等品的概率 例6设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落卞未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落卞未打破,第三次落卞打破的概率为9/10.试求 透镜落下三次而未打破的概率. 例7有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%, 三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中 任取一件是次品的概率是多少? 例8每100件产品为一批,已知每批产品中次品数不超过4件,每批产品中有f件次品的概率为 i01234 P0.10.20.40.20.1 从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格,否则就认为这批产品合格.求 (1)一批产品通过检验的概率; (2)通过检验的产品中恰有f件次品的概率. 例9根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试 验具有如下的效果: 若以A表示事件“试验反应为阳性”,以C表示事件“被诊断者患有癌症”,则有P(A\C)=0.95,P(平)=0.95.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌融概率为0.005,即P(C)=0.005,试求P{C\A). 例10(选择题的合理性)现在几乎所有的考试试卷中,都会有选择题.一般地,每个选择题有4个答案,其中只有1个是正确的.当学生不会做时可以随机猜测,假如一个学生会做题与不会做题的概率相等.现在从卷面上看该题答对了,求此学生确实会做该题的概率. 例11对以往数据分析结果表明,当机器调整得 良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%•每天早上机器开动时,机器调整良好的概率知5%.试求己知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整得良好的概率是多少? 例1已知袋中有5只红球,3只白球.从袋中有放回地取球两次,每次取1球.设第i次取得白球为事件如(/=1,2).求 p(A),p(a2|aj, 例3—个均匀的正四面体,其第一面染成红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色•现以A,B,C分别记投一次四面体出现红、白、照颜色朝下的爭件,问A,B,C是否相互独立? 已知事件A,B,C相互独立,证明事件 伽甲、乙两人进行乒乓球: 匕赛,每局甲胜的 概率为p(p>l/2),问对甲而言釆用三局二胜制 有利,还是采用五局三胜制毎0•设各局胜负相 互独立 例5同时抛掷一对骰子,共抛两次,求两次所得点数分别为7与11的概率. 例7甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机被击落的概率. 例8要验收一批(100件)乐器.验收方案如下: 自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的),如呆3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01.如呆已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少? 例3设随机变量X的分布函数为 F(x)=A+Barctgx(-00 试求常数A,B 例4一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离。 试求随机变量X的分布函数第二章 例1从1〜10这10个数字中随机取出5个数字,令X表示取出的5个数字中的最人值.试求X的分布律 例2设一汽车在开往目的妞的道路上需经过四 组信号灯,每组信号灯如的概率禁止汽 车通过以x表示汽车首次停下时;它已通过的信 号灯的组数(设各组信号灯的工作慰目互独立的), 求X的分布律 例3设随机变量X的分布律为 X -123 111 Pk 424 125 求X的分布函数,并求P{X<-},P{- 222 P{1 例4设某人进行射击,每次的命中率为0.4,现独立射击10次,问: (1)命中3枪的概率是多少? (2)至多命中3枪的概率是多少? 例5—根布条上的疵点数X服从参数为2=0.5的泊松分布,试求: (1)此棉条上有2个疵点的概率是多少? (2)此棉条上至少有2个疵点的概率是多少? 例6有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少? 例8设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由四人维护,每人负贵20台;其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的人小. 实例设某批产品的次品率为卩,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数X是一个随机变量,求X的分布律. 例1 设随机变量X具有概率密度 kx90VxV3, 3K4, 其它. (1)确定常 (2)求X的分布函数 7 ⑶求 例设连续型随机变量X的分布函数为 Qx<-a, xF(x)=<4+Baicsin—,-a 1,x>CL 求: (1)系数AB的值; (3)随机变量X的概率密度 .求R的概率密度及R 例3设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在900~1100落在950~1050的概率. 例4设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现 对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值 大于3的概率. 例将一温度调节器放置辄: 存着某种液体的 容器内.调节器整定在d°C,液体的温度X(以。 C计)是一个随机变量,且X〜N(d,0.5) ⑴若d=90、求X小于89的概率 (2)若要求保持液体的温鯉少为8(TC的概率不低于0.99,问d至少为多少。 例设随机变量X的概率密度为 x<0, x>0. 求随机变量Y=X2和Y=2X+3的概率密度 例己知随机变量X的概率密度为f(x)=4»卜1,-co (1)求系数A; (2)求X的分布函数F(x); (3)求Y=X2的概率密度 例设离散型随机变量X的分布函数为 XV—1,-1 1
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