电大经济数学基础形成性考核册答案新版.docx
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电大经济数学基础形成性考核册答案新版
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电大经济数学基础形成性考核册及参考答案
(1)
填空题
2.设f(x)xk,1,:
0,在x0处连续,则k——.答案:
1
5.设f(x)xsinx,贝Sf(n).答案:
-
22
(2)单项选择题
1.函数y2x1的连续区间是(D)
2.
xx2
Af(x。
)
处可微
5.当x0时,下列变量是无穷小量的是(C).
cosx
A.2xB.sin^xC.ln(1x)D
x
(3)解答题
1.计算极限
(1)
lxmi
x23x2
原式
lim
x1
(X1)(X2)
(x1)(x1)
lim
x1
(2)
x25x61
lim厂
x2x6x82
原式刑迸図
(3)
1x1lim
x0
=xmo
(4)
x23x51
lim—
x3x2x43
1
原式二-
3
sin3x3
(5)lim
x0sin5x5
sin3x
原式=即叫snix=5
5x
(6)肌壮4
原式=lim―2—
x2sin(x2)
x2
Hm2(x2)
解:
(1)limf(x)b,limf(x)1
x0x0
当ab1时,有limf(x)f(0)1
x0
(2).当ab1时,有limf(x)f(0)1
x0
函数f(x)在x=0处连续.
3.
计算下列函数的导数或微分
(1)yx22xlog2x22,求y
答案:
y2x2xln2—
xln2
(2)y3,求ycxd
1
(4)
y
、.xxex,
求y
答案
1XX\
y(exe)
2;x
1x
2xe
(5)
y
eaxsinbx,
求dy
y
(eax)(sinbx
eax(sinbx)
答案
:
••
ax
aesinbx
beaxcosbx
eax(sinbxbcosbx)
二dy
eax(asinbx
bcosbx)dx
(6)
y
1
exx•.x,
求dy
答案
:
ty
113L
2ex—
x22
dy
(31x
(」X2ex
)dx
2x
(7)
y
i
cos、xe
",求dy
答案:
ty
sin..xC.x)
x22
e(x)
3
2
xxe
|(3x
2
I
sinx
2xex
dy(
sinx
2x
2xe%)dx
(8)y
・nv
sinx
sinnx,
答案:
n1
nsin
cosxncosnx
(9)y
ln(x
1x2),
答案:
2(x1
x2)
x.1x2(1
1X2)
cot丄
(10)y2x
1
1x2
上1_x2_
1x2
2x,求y
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cos]122_
y2xln2(cos—)(x2x6、2)
答案:
x
1
1cosx111
22xln2sin——35
xx2、x6x
4.下列各方程中y是x的隐函数,试求y或dy
(1)方程两边对x求导:
2x2yyyxy30
(2yx)yy2x3因•此dy-2x3dx
2yx
(2)方程两边对x求导:
cos(xy)(1y)exy(yxy)4
[cos(xy)xexy]y4cos(xy)yexy
因此y4cos"y)浮cos(xy)xexy
5.求下列函数的二阶导数
2x
1x2
(1)yln(1x2),求y
y2(1
2
x)2x2x
2
2x2
(1
22
x)
(1
x2)2
1
1
1
x
3
1i
x2
⑵y
(x
2
x2)
2
2
2
y
3
x
5
2
13
x2
4
4
答案:
(1)
y
y
(1)
作业
(二)
(一)填空题
1.若f(x)dx2x2xc,贝卩f(x).答案:
2xln22
2.(sinx)dx.答案:
sinxc
3.若f(x)dxF(x)c,贝卩xf(1x2)dx.答案:
丄F(1x2)c
2
4.设函数2e|n(1x2)dx.答案:
0
dx1
0AA
5.若P(x)x』亏dt,则P(x).答案:
}——龙
气;1t2<1x2
(二)单项选择题
1.下列函数中,(D)是xsinx2的原函数.
A.-cosx2
2
B.
2cosx2
2
C.-2cosx
12
D.-丄cosx
2
2.下列等式成立的是
(C
)
A.sinxdxd(cosx)
B
.lnxdx
d(-)
x
C.2xdx1d(2x)
ln2
D
1.dx
x
d、x
3.下列不定积分中,
常见分部积分法计算的是(
C).
A.cos(2x1)dx,
B.
x1x2dx
C.xsin2xdx
D.2dx
1x2
4.下列定积分计算正确的是
(
D
).
A.12xdx2
1
B
16
dx15
1
C.(x2x3)dx0
D
sinxdx
0
5.下列无穷积分中收敛的是
(
B).
A1fdxB.
1
1x2dx
C
.exdx
0
D.
1sinxdx
(三)解答题
1.计算下列不定积分
(1)
^dx原式=(3)xdx
ee
3x
-)x
e
e
3x
ex(ln31)
(2)
(1x)2dx答案:
原式=
1
(X。
3
x°)dx
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
答案:
2x2-x2
3
-x2c
5
2
—dx答案:
x2
4xdx答案:
原式二
原式二
(x
2)dx1x
2x
d(12x)
12x
1ln
12x
x2弘答案:
原式=£2W
sinxdx答案:
原式=2sinxdx
x2)
=3(2
*
2cosxc
3
x2)2c
x
xsin—dx
2
T(+)x
(-)1
(+)0
2cos-
2
x
sin
2
•••原式=2xcosf4sinfc
(8)ln(x1)dx
答案:
v(+)In(x1).1.
(-)
二原式=xln(x1)
1dx
xln(x1)(1
=)dx
xln(x1)x
ln(x
1)
2.计算下列定积分
(1)
1xdx
答案:
原式二:
(1x)dx
2
1(X
1)dx=2
Z12
(2x
x)22--
22
(2)
1
x
亍dx
x
答案:
原式二
1
2^(
1x2(
)d-=
x
1
ex
(3)
e*
1
xdInx
dx
答案:
原式二
1
e'
x、1lnxd(1
Inx)=2、1
Inx
(4)2xcos2xdx
o
答案:
(-)1
(+)0
4
11-原式=(?
xsin2xcos2x)2
(5)
e
xlnxdx
1
(-)
2
x
"2
•••原式=苏2阮
e
xdx
1)
e212
x
24
4
(6)o(1xex)dx
又T(+)x
(-)1
(+)0
5e4
故:
原式=55e4
作业三
(一)填空题
1
1.设矩阵A3
2
5
2,则A的元素a23
1
2.设A,B均为3阶矩阵,
3,贝S2ABt
.答案:
72
3.设代B均为n阶矩阵,贝y等式(AB)2A22ABB2成立的充分
必要条件是.答案:
ABBA
4.设A,B均为n阶矩阵,(IB)可逆,则矩阵ABXX的解
1
00
1
00
5.设矩阵A0
20,则A1
.答案:
A0
丄0
2
0
03
1
0
0-
3
(二)单项选择题
1.以下结论或等式正确的是(C).
A.若A,B均为零矩阵,则有ABB.若ABAC,且A0,则
2.设A为34矩阵,B为52矩阵,且乘积矩阵ACBT有意义,则
A.0B
三、解答题
1.计算
(1)
21
0
1_
_1
2
5
3
1
0
3
5
0
2
1
1
00
030000
(3)12540=0
1
2
2
1
2.计算1
1
3124
22143
32231
1
2
3
12
解
1
2
2
1
4
1
3
2
2
3
42457
36107
13270
197245
120610
47327
5152
1110
3214
123
3.设矩阵A
112,求AB。
011
解因为AB|AB
232
23
22
112
(1)
(1)
12
010
1
1
1
2
因此ABAB200
1
24
4.设矩阵A
2
1,确定
1
10
12
4
②①
(2)
解:
A2
1
③①
(1)0
11
0
0
的值,使r(A)最小。
24124
47(②,③)014
14047
③②(4)
因此当9时,秩r(A)最小为2
5
3
2
1
8
5
4
3
3的秩。
7
4
2
0
1
1
2
3
2
5.求矩阵A5
1
4
2
5
3
2
1
1
7
4
2
0
②
①
(5)
③
①
(2)
答案:
解:
5A
8
5
4
3
(①,③)
5
8
5
4
3
④
①
(4)
1
7
4
2
0
2
5
3
2
1
4
1
1
2
3
4
1
1
2
3
174
20
1
74
2
0
4
③②(3)
0
27
15
6
3
(②,③)
0
9
5
2
1
④②(3)
0
9
5
2
1
0
27
15
6
3
0
27
15
6
3
0
27
15
6
3
1
7
4
2
0
0
9
5
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
因此秩r(A)=2
6.求下列矩阵的逆矩阵
132
(1)A301
111
113
因此A1237
349
(2)A=
1363
421
211
13
6
3
1
0
0
1
1
4
1
0
7
AI
4
2
1
0
1
0①③7
4
2
1
0
1
0
2
1
1
0
0
1
2
1
1
0
0
1
1
3
0
因此A1
2
7
1。
0
1
2
7.设矩阵
A
12
35
B
1
2
2
3,
求解矩阵方程XAB.
答案:
X
BA
1
1AI
21
0
②①
(3)
1
210②
(1)1210
3
501
0
1310131
①②
(2)
105
2
0'
13
1
1125210
XBA1
233111
四、证明题
1•试证:
若Bi,B2都与A可交换,则BiB2,B1B2也与A可交换。
证明:
TAB1B1A,AB2B2A
a(b1b2)ab1ab2b1ab2a(b1b2)a
A(B1B2)AB1B2B1AB2B1B2A(B1B2)A
即BiB2,B1B2也与A可交换。
2.试证:
对于任意方阵A,AAT,AAT,ATA是对称矩阵。
证明:
T(AAT)TAT(AT)TATAAAT
(AAT)T(AT)T(A)TAAT
(ATA)T(A)T(AT)TATA
二AA,a^t,AA是对称矩阵。
3•设A,B均为n阶对称矩阵,则AB对称的充分必要条件是:
ABBA。
证明:
充分性
TATA,BTB,(AB)TAB
AB(AB)tBtAtBA
必要性
TATA,BTB,ABBA
/.(AB)t(BA)tAtBtAB
即AB为对称矩阵。
4.设A为n阶对称矩阵,B为n阶可逆矩阵,且B1BT,证明
BiAB是对称矩阵。
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证明:
T1T
-AA,BB
/.(B1AB)tBtAt(B1)tB1A(Bt)1B1A(B1)1B1AB
即B1AB是对称矩阵。
作业(
填空题
(1,0)(0,1)
值点.
答案:
x1,x1,小
方程组有唯一解.答案:
(二)单项选择题
A.sinxB
2.
已知需求函数q(p)100
20.4p,当p10时,
需求弹性为
C.xsinxdx0D.(x2x3)dx0
-1-1
4.设线性方程组Am/b有无穷多解的充分必要条件是
(D).
A.424pln2B.41n2C.-4ln2D.-424pln2
3.
下列积分计算正确的是(A).
1XX
A.ejx0
12
1
三、解答题
(1)
1.求解下列可分离变量的微分方程
exy
答案:
原方程变形为:
生exy
dx
分离变量得:
eydyeXdx
两边积分得:
eyd(y)eXdx
原方程的通解为:
eyexC
(2)也鲨
dx3y
答案:
分离变量得:
3y2dyxeXdx
两边积分得:
3y2dyxeXdx
原方程的通解为:
y3xexex
2.
求解下列一阶线性微分方程
3.求解下列微分方程的初值问题
(1)ye2xy,y(0)0
答案:
原方程变形为:
原方程的通解为:
1(exC)
x
将x1,y0代入上式得:
Ce则原方程的特解为:
y丄(exe)
x
4.求解下列线性方程组的一般解:
x12x3x40
(1)x1x23x32x40
答案:
原方程的系数矩阵变形过程为
1
0
2
1
②①1
0
2
1
1
0
2
1
A
1
1
3
2
③①
(2)0
1
1
1
③②
0
1
1
1
2
1
5
3
0
1
1
1
0
0
0
0
X;2x:
x:
(其中x3,x4为自由未知量)
由于秩(A)=2 4 Xi X2 16 x3x4 355(其中X3,X4为自由未知量) X3X4 555 5.当为何值时,线性方程组 X1 X2 5x3 4x42 2x1 X2 3x3 x41 3x1 2x2 2x3 3x43 7x1 5x2 9x3 10x4 有解,并求一般解答案: 原方程的增广矩阵变形过程为 1 1 5 4 2 ② ① (2) 1 1 5 4 2 ③ ①(3) -2 A 1 3 1 1 ④ ①(7) 0 1 13 9 3 3 2 2 3 3 0 1 13 9 3 7 5 9 10 0 2 26 18 14 ①② 10 8 5 1 ③② (1) ④② (2) 01 13 9 3 00 0 0 0 00 0 0 8 因此当 8时, 秩( a)=2 原方程有无穷多解 其般解为: x118X35x4 X2313x39x4 5.a,b为何值时,方程组 X-IX2X31 x1x22x32 x13x2ax3b 答案: 当a3且b3时,方程组无解; 当a3时,方程组有唯一解; 当a3且b3时,方程组无穷多解。 原方程的增广矩阵变形过程为: 1 1 1 1 ② ① (1) 1 1 1 1 1 1 1 1 A1 1 2 2 ③ ① (1) 0 2 1 1 ③② (2) 0 2 1 1 1 3 a b 0 4 a1 b1 0 0 a 3b3 讨论: (1) 当a 3,b为头数时,秩(A)=3=n-3,方程组有唯 解; (2) 当a 3,b3时,秩(A)=2 (3)当a 3,b 3时,秩(A)=3工秩(A)=2,方程组无解; 6.求解下列经济应用问题: (1)设生产某种产品q个单位时的成本函数为 C(q)1000.25q26q(万元), 求: ①当q10时的总成本、平均成本和边际成本; ②当产量q为多少时,平均成本最小? 位) 边际成本为: C(q)0.5q6 当q 10时的总成本、 平均成本和边际成本分别为 C(10) 100 0.251026 10185(元) C(10) 100 10 0.25106 18.5(万元/单位) C(10) 0.5 10611( 万元/单位) ②由平均成本函数求导得: C(q)r0.25 q 令CQ0得唯一驻点qi20(个),qi20(舍去) 由实际问题可知,当产量q为20个时,平均成本最小 (2).某厂生产某种产品q件时的总成本函数为 C(q)204q0.01q2(元),单位销售价格为p140.01q(元/件), 问产量为多少时可使利润达到最大? 最大利润是多少. 答案: (2)解: 由p14O.OIq 得收入函数R(q)pq14qO.OIq2 得利润函数: L(q)R(q)C(q)10q0.02q220 令L(q)100.04q0 解得: q250唯一驻点 因此,当产量为250件时,利润最大, 最大利润: L(250)102500.022502201230(元) (3)投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为 C(q)2q40(万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低. 解: 当产量由4百台增至6百台时,总成本的增量为 答案: ①产量由4百台增至6百台时总成本的增量为 666_. C4C(x)dx4(2x40)dx(x240x\100(万元) ②成本函数为: 2 C(x)C(x)dx(2x40)dxx40xc 又固定成本为36万元,因此 C(x)x240x36(万元) 平均成本函数为: C(x)x4036(万元/百台) XX 求平均成本函数的导数得: C&1毎 X 令C(x)0得驻点X16,X26(舍去) 由实际问题可知,当产量为6百台时,可使平均成本达到最低。 (4)已知某产品的边际成本C(q)=2(元/件),固定成本为0,边 际收益 R(q)120.02q,求: ①产量为多少时利润最大? ②在最大利润产量的基础上再生产50件,利润将会发生什么 变化? 答案: ①求边际利润: L(q)R(q)C(q)100.02q 令L(q)0得: q500(件) 由实际问题可知,当产量为50
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