概率论与数理统计第三四章答案DOC.docx
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概率论与数理统计第三四章答案DOC
第三章习题参考答案
1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。
12
p0胡g,…“=3
解:
由习题二第2题计算结果
3
122
E=01
333
般对0-1分布的随机变量
2.用两种方法计算习题二第
30题中周长的期望值,一种是利用矩形
长与宽的期望计算,另一种是利用周长期望的分布计算。
解:
方法一:
先按定义计算长的数学期望
E=290.3300.5310.2二29.9
和宽的数学期望
=190.3200.4210.3=20
再利用数学期望的性质计算周长的数学期望
E二E(22)=229.9220二99.8
方法二:
利用习题二地30题的计算结果(见下表),按定义计算周长
的数学期望
96
98
100
102
104
p
0.09
0.27
0.35
0.23
0.06
E=960.09980.271000.351020.231040.06=98.8
3.对习题二第31题,
(1)计算圆半径的期望值;
(2)E(2R)是否
等于2ER?
(3)能否用二(ER)2来计算远面积的期望值,如果不能
用,又该如何计算?
其结果是什么?
解
(1)ER=100.1110.4120.3130.2=11.6
(2)由数学期望的性质有
E(2二R)=2二ER二232
(3)因为ECR2)=二E(R)2,所以不能用二E(R2)来计算圆面积的期望值。
利用随机变量函数的期望公式可求得
222222
E(「:
R)=■-E(R)=■-(100.1110.4120.3130.2)=135.4■:
或者由习题二第31题计算结果,按求圆面积的数学期望
E=100二0.11210.41440.31690.2)=135.4
4.连续随机变量的概率密度为
(x)-
kxa,0:
:
x:
:
1(k,a0)
0,其它
又知E=0.75,
求k和a的值
-be1
「(x)dx二ikxadx1
0a1
E:
=0kxxadx=
k_3
a24
解得a=2,k=3
5.计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差(参看习题二第
1,.x-eHx|
■-:
:
2
16题)。
解因为奇函数在对称区域的积分为零,所以同样由偶函数在对称区域积分的性质可计算
1
D=E()=x2—e」x|dx=x2e"dx
.20
2—x[丄c■■峠-—xic
-xe|02xedx=2
o
6题目略
解
(1)15辆车的里程均值为
1274
(9050150)91.33
153
(2)记•为从188辆汽车中任取一辆记录的里程数,则的分布
表如下表所示(a=188)
匕
10
30
50
70
90
110
130
150
170
p
5/a
11/a
16/a
25/a
34/a
46/a
33/a
16/a
2/a
故E=10空30工仃0-4520:
96.仃
18818818847
7题目略
解记为种子甲的每公顷产量,为种子乙的每公顷产量,则
E二45000.1248000.3851000.454000.1二4944
E=45000.2348000.2451000.354000.23=4959
&一个螺丝钉的重量是随机变量,期望值10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差个为多少(假设每个螺丝钉的重量都部首其他螺丝钉重量的影响)?
解设i为一盒中第i个螺丝钉的重量(i二1,2,…,100),则题设条件为
Ei=10g,\Dl=1g,且「2,…,100相互独立。
设一盒螺丝钉的重量
100
为随机变量i,则期望和标准差分别为
i勻
E=E('J八E;=1000(g)
iAi_1
10011001
D二[DLi)]2二CDJ2『10012=10(g)
i1i_1
注此题不能认为=100=因为这意味着所有螺丝钉的重量完全一
样,这是不符合实际情况的•因此
D(100)=J002D=100(g)
9.已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中次品数的期望值。
解设为5个产品中的次品数,则的分布率为
k5上
VC10C90
p(二k)二一(—0,123,4,5)
C100
于是期望值为
尹;C:
0c9;50
E八k专0.5
k=0C100100
10.—批零件中有9个合格品和3个废品,在安装机器时,从这些零件中任取1个,如果取出的是废品就不再放回去。
求在取得合格品以前,已经取出的废品数的数学期望和方差。
解设为取得合格品之前取出的废品数,贝S服从如下表所示的分
布,于是
0
1
2
3
p
9
29
329
321
——X——
——XX——
——XX
12
1211
121110
121110
“39Q13
=031—293130.3
44422022010
E
(2)=0312—2293'
444220
11•假定每人生日在各个月份的机会是同样的,求3个人中生日在第1个季度的平均人数。
解设3人中生日在第1季度的人数为•,贝「的分布律为
3木(k71,2,3)
故平均人数为
k=0
kC3(4)(;)
1-e®xa0
12.有分布函数F(x),求E及D
10,其匕
解的密度函数为
或者利用伽马函数的性质
+比1+比r1
Ex—0—x-
(2)
E
(2)=。
\2「&=丄。
’刈鼻讥‘
D二E
(2)-(E)2二号-(丄)2二丄
13.〜(X)二二J一
0,其它
x?
|x^1,求D和E
解由奇函数在对称区间的积分为零知
或者
JI
石sint,cost
dt=
于是
14.计算习题二第22题中的」期望与方差。
解由习题二第33题求得的」分布可求得其数学期望和方差
E()=334r10
d()罟-e臥
15.计算习题二第23题中的-期望与方差。
解由习题二第34题求得的.-分布可求得其数学期望和方差
E(!
」J一2](_¥)—012—1
331261218
E[C」)2]=4116—0-4
39126
16.如果■和独立,不求出.的分布,直接从的分布和的分布能否计算出DC),怎样计算?
解由•与独立,知2与2独立,根据数学期望的性质有
E()=(E)(E),E()2=(E2)(E2)
故D()二E[()]-[E()]2=(E2)(E2)-(E)2(E)2
17.随机变量是另一个随机变量的函数,并且=eC0),若
E存在,求证对于任何实数a都有pT一a}乞xEe.
证明:
不妨设•是连续型随机变量,其密度函数为(x),注意到当
x-a时,有e'Z-1(0),于是
p{-
若为离散型随机变量,则将推倒的积分换成级数求和同样成立。
18.证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.
证明设为一次试验中A发生的次数,则服从0-1分布,P二P(A)则E=p
D=(1-p)2P(0-p)2(1-p)=p(1-p)(0乞p乞1)11
而函数p(1-p)在[0,1]上的最大值为丄,故D-
44
19.证明对于任何常数c,随机变量有
D=E[(_c)2]_(E-c)2
证明因为E[(-c)2]=E(2-2cc2)=E
(2)-2cE()c2
(E-c)2=(E)2-2cE()c2
所以两式的差为E「2)-(EJ2二D
或者
D=Df-c)二E[(-c)2]-[E(-c)]2=E[(-c)2]-(E-c)2
20.(,)的联合概率密度为(x,y^^(xy)(x,y0),计算它们的
协方差cov(,)
解先求和的边缘密度函数
1(x)=°e'xy)dy=e"(x0)
2(y)二0e'xy)dx二e—y(y0)
由(x,y^\(x)2(y)知•与相互独立,故•与不相关,
即cov(,)=0
21.计算习题二第22题与的协方差。
解由习题二第22题的计算结果可列出其联合分布和边缘分布表(见
F表),于是
1
1
(i)
P
1
0
1/3
1/3
2
1/3
1/3
2/3
(2)
Pj
1/3
2/3
125
ET323=3,E
E()=102(1—)4—
3312
o5
吹,)泪)-£()£(I"弋)2
22.计算习题二第23题•与的相关系数。
解习题二第23题求出的分布表(见下表),可求得
匕n
0
1/3
1
(1)
Pi
-1
0
1/12
1/3
5/12
0
1/6
0
0
2/12
2
5/12
0
0
5/12
(2)
Pj
7/12
1/12
4/12
—Q—22—
121212
13
E十1)存0存2存12,E
(2)%1)2
25
12
D=25_(A)2=275,E.QZ.1±14
12121441231212
271212437
E
(2)=Q(―)212
12312121Q8
36
37
108
275
1296
E()=0
-(-1)1(-1)
1233
丄
12
13
36
cov(,)
132513
361236
221
432,
=cov(?
)221
_丹「275275
221
275
23.(,)的联合概率分布如下表所示,计算■与的相关系数,
判断•与是否独立?
-1
0
1
-1
1/8
1/8
1/8
0
1/8
0
1/8
1
1/8
1/8
1/8
解(,)的联合分布和边缘分布如下表所示
-1
0
1
(1)
Pi
-1
1/8
1/8
1/8
3/8
0
1/8
0
1/8
2/8
1
1/8
1/8
1/8
3/8
(2)
Pj
3/8
2/8
3/8
疋323
E』E「=(-1)010
888
/:
卡2)=(-1)2-02-123=3=D
8884
111
日)=0一1)一10
244
cov(,)=E()-E()E()=0[0
91
但p⑴p;2———M,知•与不相互独立。
648
24.两个随机变量•与,已知D=25,D=25,「二0.4,计算
□(+)与□(-).
解cov(,=y=0.456=12
D(+)=DD2cov(,=)8
D(-)=DD-2cov(,)37
第四章习题解答(参考答案)
1.若每次射击靶的概率为0.7,求射击10炮,命中三炮的概率,至少命中3炮的概率,最可能命中几炮。
解:
记射击10炮的命中次数为,则.~B(10,0.7),所求概率为
p(=3^Cw0.730.37二0.009
p(-3)=1-p(=0)-p(=1)-p(=2)
=1-5.9010》-1.3810^-1.4510°=0.9984
最可能的命中炮数为[100.70.7P7炮.
2.在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01,求生产10件产品中
废品数不超过2个的概率.
解记废品数为•,贝「~B(10,0.01),所求概率为
2
p(-2)八C1o0.01k0.9910*
k=0
二0.90440.09140.0042=1.000
3.某车间有20台同型号机床,每台机车开动的概率为0.8,若假定各机床是否开动彼此独立,每台机车开动时所消耗的电能为15个单位,求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率。
解设20台机床中有台开动,则.~B(20,0.8),所求概率为
卫270...
p()=p(=18)p(二19)p(二20)
15
=1900.8180.22200.8190.20.82^0.206
4.从一批废品率为0.1的产品中,重复抽取20个进行检查,求这20个产品中废品率不大于0.1的概率。
解设为20个产品中废品的个数,则~B(20,0.1),所求概率为
p(0.15)=p(乞3)=o.92°200.10.919+1900.1220
0.918+11400.130.917=0.867
5.生产某种产品的废品率为0.1,抽取20件产品,初步检查已发现
0.323
0.608
2件废品,问这20件中,废品不少于3件的概率.
解设为20件产品中废品的个数,贝S~B(20,0.1),所求概率为
P(-3|
P(3)
PG工2)
1-(0.920200.10.919)
1-(0.920200.10.919+1900.120.918)
二0.531
6.抛掷4颗正六面体的骰子,为出现么点的骰子数目,求的概率分布,以及出现么点的骰子的最可能值解设为4颗骰子中出现么点的个数,贝「〜B(4,-),即有分布律
6
p(k)二p(二k)二Cf(£)kd)4來(k=0,1,2,3,4)
66
其分布函数为
0,x0
i
F(x)二'P(k),i乞i1(k二0,1,2,3)
k=S
1,x-4
11
的最可能值为[4—*―]=0
66
7.事件A在每次试验中出现的概率为0.3,进行19次独立试验,求
(1)出现次数的平均值和标准差;
(2)最可能出现的次数。
解设.为19次试验中A出现的次数,贝S•~B(19,0.3),故可求得
(1)E=190.3=5.7
xD=J190.30.7二,3^=1.997
(2)的最可能值=[190.30.3]=6和5(因为190.30.3是整数)
8已知随机变量服从二项分布,E-12,D=8,求P和n
解题设条件为~B(n,p),且
np=12,np(1-p)=8
1
由此解出p二—,n=36
3
9.某柜台上有4个售货员,并预备了两个台秤,若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤,求在一天10小时内,平均有多少时间台秤不够用。
1
解按题设条件可认为在任何时间每个售货员都以-的概率使用台
4
秤,设为任何时刻要用台秤的售货员人数,则〜B(4,-),于是任
4
何时刻台秤不够用的概率为
p
(2)弋记)3(弓G)4今0.05
4444
这个结果也可以解释为营业时间内5%勺时间台秤不够用,故10个小
时内大约有半小时秤不够用。
10.已知试验的成功率为p,进行4重贝努里试验,计算在没有全部失败的情况下,试验成功不止一次的概率.
解设为4次试验中成功的次数,则〜B(4,p),所求概率为
1-(1-P)4
P(-"学寻血叮^1-誉弯
p(—0)1-(1-P)1-(1-P)
11.服从参数为2,P的二项分布,已知P「-1)=5/9,那么成功
率为P的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少?
51
解由题设条件~B(2,P)和1一(1一p)2=—,可解出p=-,再设
93
〜B(4,l),贝卩所求概率为P{一1}=1-
(2)4=65
3381
12.一批产品20个中有5个废品,任意抽取4个,求废品数不多于
2个的概率。
解设为所取的4个废品的个数,则.服从参数N=20,M=5,n=4的超几何分布,所求概率为
p(空2)=1-p(=3)-p(=4)
323
1
969
938
969
0.968
13.如果产品是大批的,从中抽取的数目不大时,则废品数的分布可
以近似用二项分布公式计算。
试将下例用两个公式计算,并比较其结果。
产品的废品率为0.1,从1000个产品中任意抽取3个,求废品数为1个的概率。
解记为所取3个产品中的废品数。
(1)设服从参数为N=1000,M=100,n=3的超几何分布,则所求概率为
12
卫C100C90013485
p(=1)但严00.24346
C1o0055389
⑵若.〜B(3,0.1),则所求概率为
p(=1)=30.10.92二0.243
两者的差异仅为0.00046.
14.从一副扑克牌(52张)中发出5张,求其中黑桃张数的概率分布解设为5张中黑桃的张数,由题意知服从N=52,M=13,n=5的超
几何分布,即PT二k}二CCC^(k=0,123,4,5)
C52
由此分布律可列出分布表(见下)
0
1
2
3
4
5
P
0.2215
0.4114
0.2745
0.0815
0.0107
0.0005
15.从大批发芽率为0.8的种子中,任取10粒,求发芽数不少于8例的概率。
解记为10粒种子中发芽的种子数,贝「〜B(10,0.8),所求概率为
p(一8)0.880.22C爲0.890.20.8
二0.3020+0.2684+0.1074=0.6778
16.—批产品的废品率为0.001,用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率,以及不超过2件的概率。
解记为800件产品中的废品数,则.〜B(800,0.001),由于n二800
很大,p=0.001很小,故可用普哇松公式计算本题概率
(=8000.001=0.8)
p{=2}理e^8二0.1438
2!
082
p{乞2}(10.8)e".8二0.9526
17.某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布,平均一件上有0.8
个疵点,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元,疵点数大于1而不多于4为二等品,价值8元,4个以上为废品。
求产品为废品的概率以及产品的平均价值。
解产品上的疵点数为•,贝「~p(),且,二E—0.8,产品为废品
的概率为p{4}=1-(10.8型08匹比』.8二0.00142!
3!
4!
再设产品的价值为,则的分布律为
p{=10}=p{「}=(10.8)e".8=0.8088
p{=8}=p{「£1}=(也08逻)e』8=0.18982!
3!
4!
p{=0}=1-p{=10}-p{=8}=0.0014
故产品的平均价值为
E=0.8088100.18988=9.61(元)
18.一个合订本共100页,平均每页上有两个印刷错误,假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布,计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率。
解设为每页上的印刷错误数,由题设条件知〜PC),且
-E-2,则一页上印刷错误不超过4个的概率为
222324
p{乞4}=(12)e".8二0.9473
2!
3!
4!
于是各页的错误都不超过4个的概率为
[P{空4}]100=0.0045
19.某型号电子管的“寿命”服从指数分布,如果它的平均寿命
E=1000小时,写出的概率密度,并计算p(1000<-1200).
解因为E丿=1000,故的概率密度为
x
12001
p(1000<<1200)=e1000dx
'10001000
1e「1时,x0
x
e"2二0.0667
12001
p(1000v<1200)=e1000dx=eJ
10001000
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