人教高考数学理二轮复习考前增分策略B22doc.docx
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考题例证
[第一招]缺步解答
【例1】(2014-湖南卷)如图,O为坐标原点,椭圆G:
寺+缶=
l(Qb>0)的左、右焦点分别为伤,F2,离心率为即双曲线C2:
寺一彩=1的左、右焦点分别为尸3,尸4,离心率为e2.已知eie2=¥,且IF2F4I=羽一1・
(1)求C1,C2的方程;
(2)过Fi作G的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线
OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.
标准答案
(1)因为勺幺2=寺,
即a-b4=^a\因此圧=2圧,(2分)从而尸2(加),F伸b,0),于^b-b=\F2F4\=y[3-l9所以b=\,/=2.
22
故Ci,C2的方程分别为y+y2=l,y—/=1.(4分)
(2)因A3不垂直于y轴,且过点Fi(—l,O),故可设直线AB的方程为x=my—\.
得(rn+2)j2—2my—1=0.(5分)
易知此方程的判别式大于0.
设A(xi9刃),Bg,力),
则刃,乃是上述方程的两个实根,
“,2m—1
所以刃十力=2丄》刃歹2=2丄v
丿丿m十2八m+2
一4
因此X1+兀2=rn(y{+力)—2=肿+2,
—zm
于是AB的中点为忖巨,齐J,(6分)故直线PQ的斜率为一给
PQ的方程为y=—yx,
即/nx+2y=0.(7分)
my=_亍,
2得(2—m2)^2—4,
X21
E=1'
4
所以2-m2>0,且"=百尹犷=口丹
/加2+4
从而|PQ=2何孑=2\^芦忌(9分)设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,
“亠c,»闪+2刃|+|/处2+2加
所以2d=寸玮•
因为点A,B在直线2y=0的异侧,
所以(mxi+2ji)(/^2+2j2)<0,
于是|mxi+2y11+\mx2+2匕|=|加兀1+2y〕一tnx^—2y2|,…「(/+2)也一力|
从而2*心2+4•
又因为M一)£=7(刃+力)2—4刃乃
_2^/^.寸]+加2
=m2+2'
2yl2'\l1+/?
?
2
所以2〃=寸讣+4•⑴分)
故四边形APBQ的面积S=
2匹寸-1+三
而0<2—肿W2,故当加=0时,S取得最小值2.
综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.(13分)
考场策略本题有一定难度,要想得到全分很难,这就应该学会缺步解答.在第二问中,要求四边形APBQ的面积的最小值应表示出其面积,其难度较大,若两次把直线方程和椭圆方程联立,转化为关于兀
或y的一元二次方程,由根与系数的关系及弦长公式求出PQ长,这是一些学生能够完成的.即使剩余的步骤全部放弃,考生也可得9分左右.
[第二招]跳步解答
【例2】已知抛物线G:
x2=4y的焦点F也是椭圆C2:
$+$=l(a>b>0)的一个焦点,Ci与C2的公共弦的长为2&・
(1)求C2的方程;
(2)过点F的直线/与G相交于A,B两点,与C2相交于C,。
两
—>—>点,且AC与同向.
1若\AC\^\BD\,求直线/的斜率;
2设G在点A处的切线与x轴的交点为M.证明:
直线/绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.
标准答案
(1)由Ci:
?
=4y知其焦点F的坐标为(0,1)・
因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以1.①
又C1与C2的公共弦的长为2甫,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,
联立①,②得a=9,Z?
2=8.
22
故C2的方程为卷+〒=1・(6分)
设A(%i,刃),B(x2,乃),C(x3,旳),£)(x4,为)・
—>—>
①因AC与BD同向,且\AC\=\BD\9
所以ac=bd9
从而占―兀1=兀4—兀2,
即尢1一也=兀3—尢4,(利用向量坐标运算)于是(X]+x2)2—4尤1兀2=(兀3+x4)2—4兀3兀4•③设直线/的斜率为人则/的方程为y=kx+\.
[y=kx-\-1_
由|2,得4尬一4=0.
k=4y
而Xi,兀2是这个方程的两根,
所以兀]+兀2=4比,X\X^=—4.@)
y=kx+1,
由<丘+疋_]得(9+8&)/+i6尬—64=0,
而兀3,也是这个方程的两根,
64
x3x4=—9+8/(韦达定理)⑤
将④,⑤代入③,
得16伙?
+1)=
16%
(9+8^)2
4X64
9+80
即16&+1)=
162X9(Z:
2+1)
(9+8^)2
所以(9+8Z?
)2=16X9,解得£=土普,
即直线/的斜率为土普・(9分)
②由x2=4y得y,=|,
所以Ci在点A处的切线方程为y—yi=^(x—xi),
2
即y=T~4-
令y=0得x=寸,即M才,0,
所以FM=号,—1
—>
而FA=(xl9Ji—1),
TT22
于是E4・FM=^—yi+1=乎+1>0・(数量积ab=x\X2-\-y\yi)因此ZAFM是锐角,
从而ZMFD=180。
一ZAFM是钝角・
故直线/绕点F旋转时,总是钝角三角形.(12分)
考场策略本题第
(1)问较易,考生不难解答,第
(2)问中①由于计算大,考试时间有限,是对考生能力的一种挑战,但②却较易解答,所以考生也可以先做②保障本题的得分率,若考试时间充足可以继续做①,这是解决本题的一个明智之举.
[第三招]辅助解答
【例3】(2015-广东卷)设a>\,函数沧)=(1+x2)ex-6z.
⑴求心)的单调区间;
(2)证明:
沧)在(-oo,+s)上仅有一个零点;
(3)若曲线y=J{x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,/i)处的切线与直线OP平行(0是坐标原点),证明:
mW寸a-1=1.
标准答案
(1)由题意f(x)=2xex+(1+x2)eA=(%+1)2ex0且不恒为0,所以函数的增区间为(一8,+°°),没有减区间.(4分)
(2)由⑴知该函数为单调增函数,又X0)=l-f/<0,»=(l+€zV—d=a(ae"—l)+e">0,所以该函数只有一个零点.(利用单调性及零点存在性定理)(8分)
(3)令(无)=0解得x=-l,
(2)
所以P—1,~~a,
\e丿
2
由题意得f()n)=a—-,c
02
即伽+1)%"=^—-,
e
设g(x)=ev-(l+x),gf(x)=ex-l,
令(x)=eA—1=0,
解得x=0为函数极小值点,
所以g(x)=ex-(l+x)^g(0)=0,eA^l+x.
2
故(加+1)红"=0—-上(加+1)\
e
从而加Wa—~—1.(14分)
考场策略第
(2)问证明沧)在(一8,+<-)仅有一个零点,可辅助第
(1)问的结果,借助于夬兀)的草图进行解答,否则考生可能没有思路而不得分.
[第四招]逆向解答
【例4】(2015•洛阳模拟)已知f(x)—x\nx,g(x)——x+ax—3.
(1)求函数.几r)的最小值;
(2)对一切xe(0,+->),幼恒成立,求实数a的取值范围;
1?
(3)证明:
对一切xe(0,+°°),都有1眦>7一忑成立.
标准答案⑴f(x)=lnx+l,(1分)
(n
当0,-时,f(x)<0,几x)单调递减;
\D丿
(\\
当炸(?
,+°°J时,/'(x)>0,j[x)单调递增.
⑴1
所以几¥)的最小值为f~=—匚.(3分)
(2)2xlru$—X+oy—3,
3
则aW2hix+x+—.
x
、3
设h(x)=21ru+x+_(x>0),
1.(x+3)(x—1)、
则F(x)=-——分——,(4分)
X
1当%e(O,l)0寸,F(x)<0,加无)单调递减;(5分)
2当xe(i,+®)时,//(x)>0,/z(x)单调递增,
所以/?
(x)min=/?
(l)=4.
因为对一切x£(0,+°°),2/(x)恒成立,所以aW/l(X)min=4,
即Q的取值范围为(-OO,4].(7分)
Y2
(3)证明:
问题等价于证明x\wc>~—~(x(0,+°°))・(8分)ee
由⑴可知X^)=xlnx(xe(0,+®))的最小值是一丄,当且仅当兀=丄时
Cv
取到.(9分)
Y2
设m(x)=^—-(%e(0,+°°)),
则m'(%)=—^厂,
易知m(x)max=加
(1)=一£,(11分)
1?
从而对一切%E(0,+°°),都有hir>r——成立.(12分)
eex
考场策略解答本题第三问利用了逆向解答,把不等式lar>A-2巧
eex
Y2
妙地转化为x\nx>-^—-9不等式左边是夬兀),右边看作一个新的函数加⑴,只需说明Xx)min>rn(x)max即可.
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