人教版七年级数学下册平面直角坐标系基础典型例题考点讲解+练习含答案doc.docx
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平面直角坐标系(基础)知识讲解
责编:
杜少波
【学习目标】
1.理解平面直角坐标系概念,能正确画出平面直角坐标系.
2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标,掌握点的坐标的特征.
3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.
【要点梳理】
要点一、有序数对
定义:
把有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b).
要点诠释:
有序,即两个数的位置不能随意交换,(a,b)与(b,a)顺序不同,含义就不同,如电影院的座位是6排7号,可以写成(6,7)的形式,而(7,6)则表示7排6号.
要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
1.平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴或纵轴,取向上方向为正方向,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).
要点诠释:
平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
2.点的坐标
平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标,记作:
P(a,b),如图2.
要点诠释:
(1)表示点的坐标时,约定横坐标写在前,纵坐标写在后,中间用“,”隔开.
(2)点P(a,b)中,|a|表示点到y轴的距离;|b|表示点到x轴的距离.
(3)对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x,y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对,在坐标平面内都有唯一的一点与它对应,也就是说,坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.
要点三、坐标平面
1.象限
建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限,如下图.
要点诠释:
(1)坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限.
(2)按方位来说:
第一象限在坐标平面的右上方,第二象限在左上方,第三象限在左下方,第四象限在右下方.
2.坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域:
x轴,y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.这六个区域中,除了x轴与y轴有一个公共点(原点)外,其他区域之间均没有公共点.
要点四、点坐标的特征
1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律
要点诠释:
(1)对于坐标平面内任意一个点,不在这四个象限内,就在坐标轴上.
(2)坐标轴上点的坐标特征:
x轴上的点的纵坐标为0;y轴上的点的横坐标为0.
(3)根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置;反之,根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况.
2.象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等,可表示为(a,a);
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数,可表示为(a,-a).
3.关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b);
P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b);
P(a,b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b).
4.平行于坐标轴的直线上的点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同;
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
【典型例题】
类型一、有序数对
1.如果将一张“13排10号”的电影票简记为(13,10),那么(10,13)表示的电影票是排号.
【思路点拨】在平面上,一个数据不能确定平面上点的位置.须用有序数对来表示平面内点的位置.
【答案】10,13.
【解析】由条件可知:
前面的数表示排数,后面的数表示号数.
【总结升华】在表示时,先要“约定”顺序,一旦顺序“约定”,两个数的位置就不能随意交换,(a,b)与(b,a)顺序不同,含义就不同.
类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
2.如图,写出点A、B、C、D各点的坐标.
【思路点拨】要确定点的坐标,要先确定点所在的象限,再看点到坐标轴的距离.
【答案与解析】
解:
由点A向x轴作垂线,得A点的横坐标是2,再由点A向y轴作垂线,得A点的纵坐标是3,则点A的坐标是(2,3),同理可得点B、C、D的坐标.
所以,各点的坐标:
A(2,3),B(3,2),C(-2,1),D(-1,-2).
【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值,到y轴的距离是这点横坐标的绝对值.
举一反三:
【变式】在平面直角坐标系中,如果点A既在x轴的上方,又在y轴的左边,且距离x轴,y轴分别为5个单位长度和4个单位长度,那么点A的坐标为().
A.(5,-4)B.(4,-5)C.(-5,4)D.(-4,5)
【答案】D.
3.在平面直角坐标系中,描出下列各点A(4,3),B(-2,3),C(-4,1),D(2,-2).
【答案与解析】
解:
因为点A的坐标是(4,3),所以先在x轴上找到坐标是4的点M,再在y轴上找到坐标是3的点N.然后由点M作x轴的垂线,由点N作y轴的垂线,过两条垂线的交点就是点A,同理可描出点B、C、D.
所以,点A、B、C、D在直角坐标系的位置如图所示.
【总结升华】对于坐标平面内任意一点,都有唯一的一对有序数对和它对应;对于任意一对有序数对,在坐标平面内都有唯一的一点与它对应,也就是说,坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
举一反三:
【变式】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知:
A(3,2),B(5,0),则△AOB的面积为.
【答案】5.
类型三、坐标平面及点的特征
4.(2014春•夏津县校级期中)根据要求解答下列问题:
设M(a,b)为平面直角坐标系中的点.
(1)当a>0,b<0时,点M位于第几象限?
(2)当ab>0时,点M位于第几象限?
(3)当a为任意实数,且b<0时,点M位于何处?
【思路点拨】
(1)利用第四象限点的坐标性质得出答案;
(2)利用第二、四象限点的坐标性质得出答案;
(3)利用第三、四象限和纵轴点的坐标性质得出答案.
【答案与解析】
解:
∵M(a,b)为平面直角坐标系中的点.
(1)当a>0,b<0时,点M位于第四象限;
(2)当ab>0时,即a,b同号,故点M位于第一、三象限;
(3)当a为任意实数,且b<0时,点M位于第三、四象限和纵轴的负半轴.
【总结升华】本题考查点的坐标的确定,正确掌握各象限对应坐标的符号是解题关键.
举一反三:
【变式】(2015•威海)若点A(a+1,b﹣2)在第二象限,则点B(﹣a,b+1)在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】解:
由A(a+1,b﹣2)在第二象限,得
a+1<0,b﹣2>0.
解得a<﹣1,b>2.
由不等式的性质,得
﹣a>1,b+1>3,
点B(﹣a,b+1)在第一象限,
故选:
A.
5.(2016春•宜阳县期中)已知点P(2m+4,m﹣1).试分别根据下列条件,求出点P的坐标.
(1)点P的纵坐标比横坐标大3;
(2)点P在过A(2,﹣3)点,且与x轴平行的直线上.
【思路点拨】
(1)根据横纵坐标的大小关系得出m﹣1﹣(2m+4)=3,即可得出m的值,进而得出P点坐标;
(2)根据平行于x轴点的坐标性质得出m﹣1=﹣3,进而得出m的值,进而得出P点坐标.
【答案与解析】
解:
(1)∵点P(2m+4,m﹣1),点P的纵坐标比横坐标大3,
∴m﹣1﹣(2m+4)=3,
解得:
m=﹣8,
∴2m+4=﹣12,m﹣1=﹣9,
∴点P的坐标为:
(﹣12,﹣9);
(2)∵点P在过A(2,﹣3)点,且与x轴平行的直线上,
∴m﹣1=﹣3,
解得:
m=﹣2,
∴2m+4=0,
∴P点坐标为:
(0,﹣3).
【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质,根据已知得出关于m的等式是解题关键.
举一反三:
【:
第一讲平面直角坐标系1369934练习4(5)】
【变式】在直角坐标系中,点P(x,y)在第二象限且P到x轴,y轴的距离分别为2,5,则P的坐标是_________;若去掉点P在第二象限这个条件,那么P的坐标是________.
【答案】(-5,2);(5,2),(-5,2),(5,-2),(-5,-2).
初中奥数题试题一
一、选择题(每题1分,共10分)
1.如果a,b都代表有理数,并且a+b=0,那么()
A.a,b都是0B.a,b之一是0
C.a,b互为相反数D.a,b互为倒数
2.下面的说法中正确的是()
A.单项式与单项式的和是单项式
B.单项式与单项式的和是多项式
C.多项式与多项式的和是多项式
D.整式与整式的和是整式
3.下面说法中不正确的是()
A.有最小的自然数B.没有最小的正有理数
C.没有最大的负整数D.没有最大的非负数
4.如果a,b代表有理数,并且a+b的值大于a-b的值,那么()
A.a,b同号B.a,b异号C.a>0D.b>0
5.大于-π并且不是自然数的整数有()
A.2个B.3个C.4个D.无数个
6.有四种说法:
甲.正数的平方不一定大于它本身;
乙.正数的立方不一定大于它本身;
丙.负数的平方不一定大于它本身;
丁.负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中,不正确的说法的个数是()
A.0个B.1个C.2个D.3个
7.a代表有理数,那么,a和-a的大小关系是()
A.a大于-aB.a小于-a
C.a大于-a或a小于-aD.a不一定大于-a
8.在解方程的过程中,为了使得到的方程和原方程同解,可以在原方程的两边()
A.乘以同一个数B.乘以同一个整式
C.加上同一个代数式D.都加上1
9.杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了10%,第三天又较第二天增加了10%,那么,第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是()
A.一样多B.多了C.少了D.多少都可能
10.轮船往返于一条河的两码头之间,如果船本身在静水中的速度是固定的,那么,当这条河的水流速度增大时,船往返一次所用的时间将()
A.增多B.减少C.不变D.增多、减少都有可能
二、填空题(每题1分,共10分)
1.19891990²-19891989²=______。
2.1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000=______。
3.当a=-0.2,b=0.04时,代数式a²-b的值是______。
4.含盐30%的盐水有60千克,放在秤上蒸发,当盐水变为含盐40%时,秤得盐水的重是______克。
三、解答题
1.甲乙两人每年收入相等,甲每年储蓄全年收入的
,乙每月比甲多开支100元,三年后负债600元,求每人每年收入多少?
4.一个人以3千米/小时的速度上坡,以6千米/小时的速度下坡,行程12千米共用了3小时20分钟,试求上坡与下坡的路程。
5.求和:
。
6.证明:
质数p除以30所得的余数一定不是合数。
初中奥数题试题二
一、选择题
1.数1是()
A.最小整数B.最小正数C.最小自然数D.最小有理数
2.a为有理数,则一定成立的关系式是()
A.7a>aB.7+a>aC.7+a>7D.|a|≥7
3.3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是()
A.6.1632B.6.2832C.6.5132D.5.3692
4.在-4,-1,-2.5,-0.01与-15这五个数中,最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是()
A.225B.0.15C.0.0001D.1
二、填空题
1.计算:
(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______。
2.求值:
(-1991)-|3-|-31||=______。
3.n为正整数,1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009。
则n的最小值等于______。
4.不超过(-1.7)²的最大整数是______。
5.一个质数是两位数,它的个位数字与十位数字的差是7,则这个质数是______。
三、解答题
1.已知3x2-x=1,求6x3+7x2-5x+2000的值。
2.某商店出售的一种商品,每天卖出100件,每件可获利4元,现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润,根据经验,这种商品每涨价1元,每天就少卖出10件。
试问将每件商品提价多少元,才能获得最大利润?
最大利润是多少元?
3.如图1-96所示,已知CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°。
求证:
DA⊥AB。
4.求方程|xy|-|2x|+|y|=4的整数解。
5.王平买了年利率7.11%的三年期和年利率为7.86%的五年期国库券共35000元,若三年期国库券到期后,把本息再连续存两个一年期的定期储蓄,五年后与五年期国库券的本息总和为47761元,问王平买三年期与五年期国库券各多少?
(一年期定期储蓄年利率为5.22%)
6.对k,m的哪些值,方程组
至少有一组解?
初中奥数题试题三
一、选择题
1.下面给出的四对单项式中,是同类项的一对是()
A.x²y与-3x²zB.3.22m²n3与n3m²
C.0.2a²b与0.2ab²D.11abc与ab
2.(x-1)-(1-x)+(x+1)等于()
A.3x-3B.x-1C.3x-1D.x-3
3.两个10次多项式的和是()
A.20次多项式B.10次多项式
C.100次多项式D.不高于10次的多项式
4.若a+1<0,则在下列每组四个数中,按从小到大的顺序排列的一组是()
A.a,-1,1,-aB.-a,-1,1,a
C.-1,-a,a,1D.-1,a,1,-a
5.a=-123.4-(-123.5),b=123.4-123.5,c=123.4-(-123.5),则()
A.c>b>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a
6.若a<0,b>0,且|a|<|b|,那么下列式子中结果是正数的是()
A.(a-b)(ab+a)B.(a+b)(a-b)
C.(a+b)(ab+a)D.(ab-b)(a+b)
7.从2a+5b减去4a-4b的一半,应当得到()
A.4a-bB.b-aC.a-9bD.7b
8.a,b,c,m都是有理数,并且a+2b+3c=m,a+b+2c=m,那么b与c()
A.互为相反数B.互为倒数C.互为负倒数D.相等
9.张梅写出了五个有理数,前三个有理数的平均值为15,后两个有理数的平均值是10,那么张梅写出的五个有理数的平均值是()
A.5B.8C.12D.13
二、填空题(每题1分,共10分)
1.2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=______。
2.若P=a²+3ab+b²,Q=a²-3ab+b²,则代入到代数式P-[Q-2P-(-P-Q)]中,化简后,是______。
3.小华写出四个有理数,其中每三数之和分别为2,17,-1,-3,那么小华写出的四个有理数的乘积等于______。
4.一种小麦磨成面粉后,重量要减少15%,为了得到4250公斤面粉,至少需要______公斤的小麦。
三、解答题
3.液态农药一桶,倒出8升后用水灌满,再倒出混合溶液4升,再用水灌满,这时农药的浓度为72%,求桶的容量。
4.6.设P是△ABC内一点.求:
P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围。
5.甲乙两人同时从东西两站相向步行,相会时,甲比乙多行24千米,甲经过9小时到东站,乙经过16小时到西站,求两站距离。
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