第六章 线性空间 习题答案.docx
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第六章线性空间习题答案
第六章线性空间
3.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间:
1)次数等于
(
)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法;
2)设
是一个
实矩阵,
的实系数多项式
的全体,对于矩阵的加法和数量乘法;
3)全体
级实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法;
4)平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法;
5)全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:
,
;
6)平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:
;
7)集合与加法同6),数量乘法定义为:
;
8)全体正实数
,加法与数量乘法定义为:
,
.
解1)不能构成实数域上的线性空间.
因为两个
次多项式相加不一定是
次多项式,所以对加法不封闭.
2)能构成实数域上的线性空间.
事实上,
即为题目中的集合,显然,对任意的
,及
,有
,
,
其中
.这就说明
对于矩阵的加法和数量乘法封闭.容易验证,这两种运算满足线性空间定义的1~8条,故
构成实数域上的线性空间.
3)能构成实数域上的线性空间.
由于矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质,故只需证明对称(反对称,上三角)矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可.而两个对称(反对称,上三角)矩阵的和仍为对称(反对称,上三角)矩阵,一个数
乘对称(反对称,上三角)矩阵也仍为对称(反对称,上三角)矩阵.于是,
级实对称(反对称,上三角)矩阵的全体,按照矩阵的加法和数量乘法,都构成实数域上的线性空间.
4)不能构成实数域上的线性空间.
因为,两个不平行与某一向量
的两个向量的和可能平行于
,例如:
以
为对角线的任意两个向量的和都平行于
,从而不属于题目中的集合.
5)能构成实数域上的线性空间.
事实上,
即为题目中的集合.显然,按照题目中给出的加法和数量乘法都封闭.容易验证,对于任意的
,
,
;
,有
①由于两个向量的分量在加法中的位置是对称的,故加法交换律成立;
②直接验证,可知加法的结合律也成立;
③由于
,故
是
中加法的零元素;
④如果
,则有
,即
为
的负元素;
⑤
;
⑥
;
⑦
;
⑧
,
而
,
即
.
于是,这两种运算满足线性空间定义的1~8条,所以
构成实数域上的一个线性空间.
6)不能构成实数域上的线性空间.
因为
,故不满足定义的第5条规律.
7)不能构成实数域上的线性空间.
因为
,故不满足定义的第7条规律.
8)能构成实数域上的线性空间.
由于两个正实数相乘还是正实数,正实数的指数还是正实数,故
对定义的加法和数量乘法都是封闭的.容易验证,对于任意的
,
,有
①
;
②
;
③
,即
是定义的加法
的零元素;
④
,即
是
的负元素;
⑤
;
⑥
;
⑦
⑧
.
于是,这两种运算满足线性空间定义的1~8条,所以
构成实数域上的一个线性空间.
『方法技巧』直接根据定义逐条验证即可,但是也要注意验证所给的加法和数量乘法是封闭的.
4.在线性空间中,证明:
1)
;
2)
.
『解题提示』利用线性空间定义的运算所满足的规律和性质.
证明1)证法1 由于对任意的向量
,存在负向量
,使得
,故
;
证法2 对于任意的向量
,有
,左右两边再加上
的负向量
,即可得
;
2)利用数量乘法对加法的分配律,得到
,
等式两边再加上
的负向量
,即可得
.
5.证明:
在实函数空间中,
是线性相关的.
『解题提示』只需要说明其中一个向量可以由其他向量线性表出即可.
证明由于在实函数空间中,有
,即
可由另外两个向量线性表出,故
是线性相关的.
7.在
中,求向量
在基
下的坐标,设
2)
.
解法1 设
在基
下的坐标为
,则有
.
2)将向量等式按分量写出,得
解方程组,得
,即为
在基
下的坐标.
解法2 将
和
作为矩阵的列构成一个矩阵
,
对
进行初等行变换,将其化成最简阶梯形矩阵,从而确定
与
的线性关系.
2)对
进行初等行变换,得到
,
于是
.
『方法技巧』解法1,利用了待定坐标法,将线性关系转化成线性方程组,解线性方程组即可;解法2,利用了初等行变换不改变列向量之间的线性关系,将向量组构成的矩阵化成最简阶梯形矩阵,从而观察出向量的坐标.
8.求下列线性空间的维数与一组基:
1)数域
上的空间
;
2)
中全体对称(反对称,上三角)矩阵作成的数域
上的空间;
『解题提示』根据各个线性空间的特点,构造出这些线性空间的一组基,同时也可以给出它们的维数.
解1)
是数域
上全体
级矩阵的全体,按照矩阵的加法和数量乘法,构成的线性空间.对于任意的
,令
表示第
行第
列的元素为1,其余元素均为0的
级矩阵.根据矩阵的线性运算以及矩阵相等的定义,容易验证
,
是线性无关的,且任意
级矩阵
均可由它们线性表出,从而为
的一组基.于是
的维数为
.
2)仍然使用1)中的符号,并记
,
,
.
则,按照矩阵的加法和数量乘法,
分别表示
中全体对称、反对称、上三角矩阵全体构成的线性空间.容易验证
①
,
;
,
,构成线性空间
的一组基,其维数为
.
②
,
,构成线性空间
的一组基,其维数为
.
③
,
;
,
,构成线性空间
的一组基,其维数为
.
『方法技巧』求已知线性空间的基和维数,构造出它的一组基尤为关键,这需要注意观察线性空间元素的特征,利用线性空间中元素之间的关系进行分析.
9.在
中,求由基
到基
的过渡矩阵,并求向量
在所指基下的坐标.设
1)
在
下的坐标;
2)
在
下的坐标;
『解题提示』由于题目是在4维向量空间
中讨论,这里可以采用定义法或借助第三组基求过渡矩阵;对于求
在指定基下的坐标可以采用待定系数法,也可以采用坐标变换法.
解1)由于
为4维单位向量,故
,
在基
下的坐标向量即为
本身,故
即为由基
到
的过渡矩阵.
又由于
在基
下的坐标向量即为
本身,根据坐标变换公式,可知
在
下的坐标为
,
即
2)由于这一题目是在4维向量空间
中讨论,故根据本章教材内容全解的基变换一节求过渡矩阵方法(3)可知,由基
到基
的过渡矩阵为
.
令
,则根据初等矩阵与初等变换的对应,可以构造
矩阵
,对矩阵
实施初等行变换,当把
化成单位矩阵
时,矩阵
就化成了
:
于是,由基
到基
的过渡矩阵为
.
另外,设
为
的单位向量组成的自然基,那么
.
于是
,
因此,
在
下的坐标为
.
类似地,构造矩阵
,并对其进行初等行变换,将
化成单位矩阵
时,矩阵
就化成了
:
,
所以,
在
下的坐标为
.
『方法技巧』利用
维向量空间中的向量构成矩阵,将求过渡矩阵问题转化成求一个矩阵的逆与另一个矩阵(或向量)的乘积问题,注意在计算这样的矩阵乘法时,利用初等变换与初等矩阵的对应,构造一个新的矩阵,利用初等行变换就可求得.
10.继第9题1),求一非零向量
,它在基
与
下有相同的坐标.
解 根据上一题的讨论可知,由
到
的过渡矩阵为
.
设所求向量为
,由于
为4维单位向量,故
在基
下的坐标向量即为
本身,故根据坐标变换公式,可知
在
下的坐标为
.因此,如果
在两组基下的坐标相同,那么
.
左右两边乘以
,可得
,即
,也就是说
是齐次线性方程组
的解.利用消元法求得方程组的解为
,
其中
是任意常数.
于是
,
是非零常数,即为所求向量.
『特别提醒』利用坐标变换公式,将求向量问题转化成了求解线性方程组问题.
11.证明:
实数域作为它自身上的线性空间与第3题8)中的空间同构.
『解题提示』证明两个线性空间是同构的,只需建立这两个空间的一个双射,再验证保持运算.
证法1设
是一个不等于1的实数.那么,显然
是实数集
到
的映射.
如果
,即
,两边取对数,得
,因此
是单射.另外,对于任意的
,存在
,使得
,因此
是满射.所以,
是双射.
对于任意
,
,有
,
,
即
保持加法和数量乘法.
于是
是
到
同构映射,从而
与
同构.
证法2 由于
是自身上的1维线性空间,而根据习题8知,
也是
上的1维空间,于是,根据教材中的定理12,
与
同构.
『方法技巧』证法1是按照同构的定义证明的;而证法2根据维数是线性空间的本质特征,给出了更简洁的证明.
12.设
都是线性空间
的子空间,且
,证明:
如果
的维数与
的维数相等,那么
.
证明 设
.那么
①如果
,则
与
都是零空间,从而,
.
②如果
,任取
的一组基
,由于
,且
的维数相等,故,根据基的定义,
也是
的一组基,于是
.
『方法技巧』这个题目的结论,在证明两个线性空间相等时经常使用.
14.设
,
求
中全体与
可交换的矩阵所成子空间的维数和一组基.
『解题提示』可以待定所求矩阵的元素,利用交换关系、矩阵的相等以及解线性方程组,即可求得.
解设
是与
交换的任意一个矩阵.首先将矩阵
分解成
.
由于单位矩阵
与任何矩阵都可交换,故
与
可交换当且仅当
与
可交换.事实上,由
,
可知
当且仅当
.
将
按元素写出,即为
,
从而
即
这是一个含有9个未知数的线性方程组,取
为自由未知量,依次取值为5维单位向量,得线性方程组的一个基础解系为
,
,
,
,
.
于是
即为所求空间的一组基,且这个空间的维数为5.
『方法技巧』本题中,利用单位矩阵的良好性质,将求与
交换的矩阵的形式转化成一个与相对简单的矩阵
可交换的形式,这能够给计算带来简便.
19.设
与
分别是齐次方程组
与
的解空间,证明
.
证法1由于齐次方程组
的一组基础解系为
,
即为其解空间的一组基,从而
.
另外,齐次方程组
的一组基础解系为
,即为其解空间的一组基,从而
.
又由于向量组
组成的
级矩阵的行列式
,
故
线性无关,从而
,而
,所以,根据习题12可知,
.
于是,
,且
,
故
.
证法2 由于齐次方程组
的一组基础解系为
,
即为其解空间的一组基,从而
.
另外,齐次方程组
的一组基础解系为
,即为其解空间的一组基,从而
.
对于任意的
,不妨设
,则
,
按分量写开,即为
直接解得
,从而
.因此
.
所以
,而显然
,根据习题12可知,
,结合
,有
.
证法3 设
,即
且
,那么
直接解得
,即
.因此
.
另外,对于任意的
,显然有
,
其中
,且
,
.所以
.
结合
,有
.
『方法技巧』证法3的证明更为直接和简便.
20.证明:
如果
,
,那么
.
证法1 由题设
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