浅谈有限覆盖定理的若干应用.docx

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浅谈有限覆盖定理的若干应用

浅谈有限覆盖定理的若干应用

学号:

题目浅谈有限覆盖定理的若干应用

学生

指导教师房维维讲师年级

专业数学与应用数学系别数学系

学院

哈尔滨师范大学学士学位论文开题报告

论文题目:

浅谈有限覆盖定理的若干应用学生姓名:

指导教师:

房维维讲师

年级:

专业:

数学与应用数学

2011年3月

说明

本表需在指导教师和有关领导审查批准的情况下，要求学生认真填写。

说明课题的来源（自拟题目或指导教师承担的科研任务）、课题研究的目的和意义、课题在国内外研究现状和发展趋势。

若课题因故变动时，应向指导教师提出申请，提交题目变动论证报告。

课题来源:

由指导教师提供选题

课题研究的目的和意义:

一元微积分学中最基本的公式—牛顿,莱布尼兹公式表明:

函数在区间上的定积分可通过原函数在这个区间的两个端点处的值来表示.无独有偶,在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式.1,单连通区域的概念2,区域的边界曲线的正向规定

此定理在数学的许多领域中都有广泛的应用，在科学研究及日常生活中也有广泛的应用，从而推动了科学的发展，给人们的生活带来很多便利。

国内外同类课题研究现状及发展趋势:

有限覆盖定理是实数完备性定理中唯一一个反映整体性质的定理，在数学分析中占有重要的地位，在过去的几十年里关于它的研究已经取得了很大的进展，例如天津工程师范学院理学院雷超，从拓扑的观点出发，把有限覆盖定理进行了加强，使得它在证明聚点定理时更加方便，也使其应用起来更加便利。

目前，数学界的几个著名专家正在从不同的角度致力于探讨这一课题，相信这个领域在未来几年里会有一个快速发展。

课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法:

内容:

介绍适用有限覆盖定理的题目类型以及怎样在证明中应用有限覆盖定理。

方法:

收集资料，上网查询，与指导老师探讨。

主要问题:

怎样构造一个与欲证结论有关的覆盖，有限覆盖定理与其它实数基本定理的区别及联系。

解决办法:

请求老师帮助，查阅资料。

课题研究起止时间和进度安排:

1:

选题2011年11月9日——11月10日

2:

收集资料2011年11月11日—11月24日

3:

开题2011年11月25日——12月9日

4:

形成初稿2011年12月10日——2012年3月30日

5:

完成论文2012年4月1日——4月30日

指导教师审查意见:

指导教师（签字）

年月

教研室（研究室）评审意见:

____________教研室（研究室）主任（签字）

年月院（系）审查意见:

____________院（系）主任（签字）

年月

题目浅谈有限覆盖定理的若干应用

学生

指导教师房维维讲师年级

专业数学与应用数学系别数学系

学院

哈尔滨师范大学

2011年4月

摘要..................................................................................................................................................1

关键词..............................................................................................................................................1

一、预备知识...................................................................................................................................1

二、有限覆盖定理的若干应用.......................................................................................................2

应用1、证明半连续及绝对连续函数的有关性质................................................................2

应用2、证明级数在闭区间上的有关性质............................................................................5

应用3、证明闭区间上连续函数的某些性质........................................................................7

应用4、运用反证法利用有限覆盖定理证明问题................................................................9

应用5、证明实数连续性的其它性质..................................................................................10

应用6、证明含参变量积分问题..........................................................................................13参考文献:

.....................................................................................................................................14

英文摘要.........................................................................................................................................15

浅谈有限覆盖定理的若干应用

王欣

摘要:

本文通过半连续函数及函数项级数等有关性质的证明～以及该定理在函数的连续及函数级数中一致收敛证明的实例～介绍了有限覆盖定理的使用方法～并具体列举了几种不同的命题～体现了它在证明命题中的若干技巧。

关键词:

有限覆盖定理,半连续,函数项级数

有限覆盖定理是实数完备性定理中唯一一个反映整体性质的定理，也是一个重要定理。

它揭示了闭区间的一个本质性质:

紧致性，它在极限理论中特别是连续性问题中起着重要作用。

它的着眼点是闭区间的整体，而其它几个等价定理着眼点是一点的局部，因为它们在形式上的这种区别，所以在证明问题中也就具有不同的用途。

有限覆盖定理的作用是从覆盖闭区间的无限个开区间中选有限个开区间也覆盖这个闭区间，由“无限转化为有限”的质的变化。

它对证明函数的某些性质提供了有效的方法。

所以，凡是证明的结论涉及到闭区间的问题，可考虑使用有限覆盖定理。

但是，应用反证法，整体（即闭区间）与局部（即一点）又可以转化，所以否定了局部又回到了闭区间整体，从而也能够应用有限覆盖定理。

本文即从这些问题出发，给予详细地叙述。

一、预备知识

S定义1.1开覆盖的定义:

设为数轴上的点集，为开区间的集合，（即中每一HH

ab,S个元素都是形如的开区间）.若中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称为H，，

SS的一个开覆盖，或简称H覆盖.

定义1.2半连续函数的定义:

有一类函数并不连续，却具有一些连续函数相近的性质，

xx,,0,,0,,0这类函数就是所谓的半连续函数。

任给,总存在,只要恒有0fxfx,，,fxxx,,,，则称在点处上半连续。

相应地，若只要恒有x，，，，，，000

fxfx,,,fx，则称在点处下半连续。

x，，，，，，00

fab,,,0,,0定义1.3绝对连续函数的定义:

设是的函数，若对任意，存在，,,

n

ab,ba,,,使得对于中的任意一组分点:

，只要，ababab,,,,,,？

，，,,,ii1122nni,1

n

fffbfa,,,ab,ab,便有，则称是上的绝对收敛函数，或称在上绝对，，，，,,,,,iii,1

1

收敛。

ab,定理1.1有限覆盖定理:

设为闭区间的一个（无限）开覆盖，则从中可HH,,

ab,选出有限个开区间来覆盖.中的开区间的个数是有限（无限）的，那么就称为HH,,

S的一个有限（无限）覆盖.

二、有限覆盖定理的若干应用

应用1、证明半连续及绝对连续函数的有关性质利用有限覆盖定理可以证明半连续函数的有关性质。

fxab,ab,定理2.1.1若上半连续函数在中的每一点的均值为有限，则在上必为，，,,,,

xab,,fx,,有上界的，即存在实数，使对任何有。

，，,,

Uxxfxfx（）（）（）1,,，xab,,证明:

对每一个，，是包含的开集，因此，x,,,,0000

Ux（）ab,是的开覆盖，由有限覆盖定理知，存在有限个，不妨设为Uxxab（）,,,,,,,,

n

,，，max（）1,,（）1fxfx？

Uxab（）,,，使，令，所以UxUx（）,,（）？

,,,:

1n1nk,1k

fx（）,,,,xab,，有。

,

fx（）gx（）fxgx（）（）,ab,,,0定理2.1.2设，分别在上、下半连续，且，则对任给，,,

'"'"'"xx,,,,,0xxab,,,存在（于无关），使对于，只要恒有。

fxgx（）（）,，,x,,

'"xx,,,xx,,,,,0xab,,证明:

有定义，对及任一点，存在，当，,,0,,xxx

,'"fxgx（）（）,时，恒有，。

由于，从而有fxfx（）（），,gxgx（）（）,,22

,，，'"xxIab,Ixxxab,,（,），记,,，,。

则覆盖了闭区间，根fxgx（）（）,，,,,,,,,xx,,22，，

,,xiab,据有限覆盖定理，可选出有限个子区间III,,,？

min覆盖，设，对于,,,,,,xxx12n1,,in2,,

'"''"'"xxab,,,xx,,,xI,I，当时，必同属于某一个，事实上，设，则xx,,,xxij

1"''"，xxxxxx,,,，,,，,,,,iixxii2

2

"'"xI,即，根据的性质可知，。

Ifxgx（）（）,，,xxii

fxfxgx,定理2.1.3设、gx分别在闭区间ab,上、下半连续,且。

则任，，，，，，，，,,

xab,,xx,,,,,0,,0给,存在（与无关）,使对于，,只要,恒有xx,,2121

fxgx,，,，，，，12

xab,,,,0证明:

由半连续函数的定义,对,及对任意一点,存在,当,,0,,x

xx,,,xx,,,,1x2x

fxfx，,,gxgx,,,fxgx,时恒有，，由于,从而有，，，，，，，，，，，，12

fxfxgxgx,，,，,，,,,，，，，，，，，12

Ixx,,，,,,xab,,IIab,记，，则覆盖了闭区间,根据有限覆盖定理,在，，,,,,,,,,xxxxx

ab,中存在有限个区间覆盖。

III,,,？

,xxx12n

xxab,,,xx,,,设，对于当时，，必同属于,,,,min1,2,,in？

xx,,,,1212x12i

xxxxxx,,,，,,，,,,,某一个I。

事实上，设xI,，则，即xI,，iixx2112x1x2xiiiii

fxgx,，,根据I的性质可知，证毕。

，，，，12xi

'Fxab,Fx,0ab,Fx定理2.1.4设是上的绝对连续函数，且a.e于，则，，，，，，,,,,

为常值函数。

证明我们把证明分成两步:

FbFa,Fx,,0ab,1、先证，对任意，由假设是上的绝对连续函数，所，，，，，，,,

niiii,,,，,,0,,,,,以，对任意有限数，当互不相交区间满足:

时，有n，，,i,1

niiFF,,,,,

（1），，，，,i,1

00'mabE,0,,,,0记，从而，所以对上述，存在开集ExFxxab,,,0,,,,，，,,，，,,

0iiGabE,,,mG,,G且.设为的构成区间族，则,,,,,，，,,

3

iiiimmG,,,,,,,,,,，，，，:

ii

00000hhy,,,,0yyhyh,,，,,,0yabE,,,对任意，存在，使得时,,，，，，

FyFy,，，，，0

（2）,,yy,0

ii000abG,,这时开区间族是的一个开覆盖，根,,,,,,,，,,yhyhyabG,,,,，，，，,,,,

abG,,据有限覆盖定理存在有限个开区间覆盖有界闭集。

设它们是,,

iijj,,,1,2,,,1,2,,inyhyhjm,,,，,？

？

，，，，,,,,iij,,,,1,2,,;1,2,,yinjm,,？

？

对有限点集作适当的增删处理，然后按大小顺序排,,

012nkk,1axxxxb,,,,,,？

xx,ab,列，使之成为的一个分划:

，并且使得任何T,,，，

必属于以下两种情形之一:

ii,,,（i）包含在某个之中;，，

jjjyhyh,，,（ii）包含在某个之中，且有一端点刚好是。

由此y，，

n'",,,kkkkkk111FbFaFxFxFxFxFxFx,,,,,，,，，，，，，，，，，，，，，，，,,,,i1

'",,kk1kk1FxFx,FxFx,其中和分别表示具有形式（i）和（ii）的，，，，，，，，,,

'kk,1,kk1xx,FxFx,,,求和，根据

（1）有，根据

（2）有，，，，，，,

"",kk1,kk1FxFx,,,，xxba,,,,，，，，，，,,

FbFa,由的任意性,即得。

，，，，

xab,,FxFb,ax,ab,2、对任意的，用代替重复1的讨论，便得到。

，，，，,,,,,,

4

证毕。

应用2、证明级数在闭区间上的有关性质

利用有限覆盖定理还可以证明级数在闭区间上的有关性质。

ux（）ab,c,0定理2.2.1设函数项级数在上收敛，且存在常数，使对任何自然,,,kk,1

nn'xab,,ab,数及实数都有，试证ux（）在上一致收敛。

nuxc（）,,,,,,k,kk,1,1k

？

ux（）ab,nN,证明:

在上收敛，，当时，对一切,,，,,0,（,）Nx？

,,k0k1,

np，,,xab,,及任意的自然数均有。

现取，则任何p（）x,ux（）,,,,0,00k4C2kn,

np，

xxxxx,,，,,（）,（）把中值公式应用于函数ux（）得到，，,k0000kn,

npnpnp，，，

,xx,uxuxuxx（）（）（）（）,，,,，，，，0,,,00kkkknknkn,,,

npnp，，',，,uxuxx（）（）,,,00kkknkn,,

,,，,2C,42C

nNxpab,,,（,）,1,2,,,,,？

xab,,其中。

显然开区间集，xxxx,，,,,，，,,，，，，，，,,0

ab,xxxxxxxx,，,，,,,,,,,,？

覆盖，从而必有有限子覆盖，，，，，，，，，,,，，，，1111zzzz

NN,（）,，N（）,NNxNx,max,,,,,,？

,,0nN,取，则，于是，，当时，，，，，,,1z

np，,zab,,ux（）ab,对一切及任意的自然数均有，此即在上一致收pux（）,,,,,,,,kk,k1kn,

敛。

fxab,由此可见，有限覆盖定理将无限转化为有限，从而把函数在闭区间上的局，，,,

ab,部性拓广为闭区间上的整体性。

,

fx定理2.2.2（狄尼定理）设能取到适当，使由函数以及点所作出的sx，，

u，，,ufxufxus,，，,,20,hh，满足条件:

对某正数，使在上，为可积，，，，，，,,u

5

fx和绝对可积，那么的傅里叶级数在点收敛于。

xs，，

,0xab,,sxsxNNx,证明:

任给，任取。

由于收敛于，必有使，，，，，，,,,,0n000

1sxsx,x,0，与都在点连续，必有，使当sxsx,,,x，，，，，，，，，，n0n0003

11xxx,,,xab,,且时，有，。

sxsx,,,,,,sxsx，，,,，，，，，，，，00NN0033

sxsxsxsxsxsxsxsx,,,，,，,从而，，，，，，，，，，，，，，，，NNNN0000

111,，，,,,,,333

sxnNNx,,由于是单调数列，所以当时，也有，，，，,,n0

sxsxsxsx,,,,,，，，，，，，，nN

xab,,;,xx,对于每个，都可以做出的一个满足上述要求的邻域。

这些开区x，，,,，，0000

ab,间的全体覆盖了。

据有限覆盖定理知，从中必可选取有限个开区间，,,

;,;,;,xxxxxx,,,,,,？

ab,，它们覆盖了。

，，，，，，,,，，，，，，1122nn

NNxNxNx,max,,,？

nN,xab,,取，那么当时，对任何必有，i，，，，，，,,,,12n

sxsx,,,xxx,;,,nNNx,,sxab,使，又，有。

所以在上，，，，，，，，，，,,，，,,niiin

sx一致收敛于。

，，

uxab,定理2.2.3设函数项级数在上收敛,且存在常数使得对任何自然数Mn，，,,,k,k1

n,'xab,,uxM,uxab,及实数,恒有。

试证在上一致收敛。

，，，，,,,,,,kk,,k1k1

uxab,ab,证明:

因为在上收敛,所以任给正数,对于中的任一点,必存在x,，，,,,,,k0,k1

np，np，,p,1,2,？

Nx,,nNx,,,ux,Sxux,正整数,使得，，。

设，，，，，，，，，，，,,000kk2kn,kn,

xab,,,,0xxxxxx,,，,,,。

对,总存在,对于任意,恒有,,，，，，,,，，，，000004M

npnpnpnpnp，，，，，

uxuxuxuxSxSxux,,，,,，，，，，，，，，，，，，，，,,,,,kkkkk0000knknknknkn,,,,,

npnp，，,'',,，,,，Sxxuxuxx,,，，，，，，,,000kk2knkn,,

6

np，n,,,'',,,，,，,uuxxM2,,,，，，，,,0kk242M11kk,,

p,1,2,？

nNx,,,其中，。

，，0

显然,开区间族覆盖了闭区间ab,,由有限覆盖定理xxxxxab,，,,,,,,,，，，，,,，，,,

xxxxxxxx,，,，,,,,,,,,？

知,必存在有限个开区间,它们覆盖，，，，，，，，，，，，1111mmmm

NNxNxNx,,,,,max,,,,,,？

nN,,ab,了。

取,则时,对任意，，，，，，，，，，,,，，12m

np，

p,1,2,？

xab,,都有ux,,，，，,,,kkn,

ab,于是,由柯西一致收敛准则知,函数级数ux在上一致收敛。

，，,,,k,k1

',sxsxsxx,,,,注:

在以上的证明中用了微分中值定理，其中在与xx，，，，，，，，000之间。

应用3、证明闭区间上连续函数的某些性质

ff定理2.3.1（有界性定理）若函数在闭区间上连续，则在上有界（,,a,b,,a,b

注:

该命题也是由函数在点的局部性质推及到其在闭区间上的整体性质，所以适宜用有限覆盖定理直接证明。

,证明:

由连续函数的局部有界性，对每一点都存在邻域及正数U（x;,）x,,,a,b,,x

f（x）M,xU（x;,）:

,a,b.,,，使得，考虑开区间集M,,,xxx

,,,,,H,U（x;,）x,a,b,x

显然是的一个无限开覆盖（由有限覆盖定理，存在的一个有限子集,,,,a,b

*,,，，,,,,Ux;,x,a,b,i,1,2,？

k覆盖了，且存在正数，使得M,M,？

M,,a,biii12k

M,maxM,，，fx,M,i,1,2,？

k.对一切，，,,有令则对任何x,Ux;,:

a,biiii1,i,k

，，，，fUx;,,fx,M,M，必属于某（即证得在上有界（xx,,,a,b,,a,biii

ff定理2.3.2（一致连续性定理）若函数在闭区间上连续，则在上一致连,,a,b,,a,b

续（

注:

一致连续性定理将每一个点的局部性质推广到函数在整个闭区间上的整体性质，因

7

此适合用有限覆盖定理直接证明。

f,,0证明:

由在上的连续性，任给，对每一点，都存在，使,,,,0a,bx,,,a,bx

,,得当时有。

考虑开区间集合，，，，，，fx,fx,x,Ux;,x2

,,,,x,,Uxx,ab,,,,,,,,2,,,,

显然H是的一个开覆盖。

由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集,,a,b

,,,,*i,,Uxi,k,1,2,？

,,,,i2,,,,

,,*i,,,,,,,,x,x,,xx覆盖了。

记。

对任何,,,必属于中某,,a,b,min,0x,,,a,b,,,1,i,k2,,

,,,ii,,开区间,设，即。

此时有x,x,xUx,;,,ii22,,

,,iii,,,,,,x,x,x,x，x,x,,，,，,,iii222

,,,,,,fxfx故由，同时有和，由此得，，，，fx,fx,,,，，，，fx,fx,，，，，ii222,,,，，，，ffx,fx,,。

所以在上一致连续。

,a,b

ab,定理2.3.3（最大（小）值定理）在闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。

,

fxfxab,下面只证明在闭区间上的连续函数有最大值，同理可证明有最小值。

，，，，,,

fxab,fx证明:

因为在上连续，所以有界。

设（有Mfxxab,,sup,，，，，,,，，,,,,

'xxab,,fxM,fxab,界函数必有上确界），即对所有，有，因为在中任意一点，，，，,,,,

1''''x连续，故。

由于,故存在的邻域I,使对所有limfxfx,fxfxM,，，，，，，，，，'，，'xxx,2

1'''xxIab,,,ab,,有。

当取遍的一切值时,组成了一个开区间fxfxM,，,,,,'，，，，，，x2

ab,III,,,？

集I,I覆盖了闭区间。

由有限覆盖定理,存在有限个这样的开区间覆,,''',,xxxn12

'''xab,,ab,盖。

令,由于属于某个区间,,,max,,,fxfxfx？

,,,，，，，，，,,n12

111'Ikn1,,fxab,,所以,故是在fxfxMM,，,，,,，M，，，，,,，，，，，，'，，，，kk222

8

1xab,,fxM,的一个上界。

但这是不可能的,因为,因此必有,使得。

，,MM，，,,，，002

应用4、运用反证法利用有限覆盖定理证明问题

局部和整体是可以转化的，在证明一些函数的性质时，通过反证法可利用有限覆盖定理

推出矛盾，达到解决问题的目的。

因为用反证法时，这些由整体到局部的命题又颠倒过来，

变成由局部到整体以至推出矛盾，因此还是适合用有限覆盖定理。

定理2.4.1（致密性定理）若数列a有界，则它存在收敛的子数列。

,n

，,abR,证明:

用反证法，由有限覆盖定理推出矛盾。

已知数列anN,