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AHP层次分析法示例说明
AHP(层次分析法)示例说明
(TheAnalgticHierarachyProcess——AHP)
一・AHP预备知识
为了更好地理解AHP,需要准备一些矩阵方而的知识,以下知识都可以从《线性代数》中找到。
1.1特征根与特征向量
设A=(a..)/iixii为"阶方阵,若存在常数兄和非零“维向量g=(g「g2,…,g“),使得衍=恋
(1)
则称,几是矩阵A的特征根(或特征值),非零向量g是矩阵A关于特征根2的特征向量。
1.2特征根的求法
由
(1)得4鸟一耘=0=>(A-AE)g=O,这是一个"元一次线性齐次方程组,该方程组如果有非零解,则其充分必要条件为:
系数行列式为零,即
\A-AE\=O
(2)
称
(2)式为矩阵A的特征方程,它是一个一元"次方程,由线性代数基本泄理知,该方程有且只有"个根。
1.3重量模型
设…,"“为"个物体,重量分别是g],g2,…,g”。
但是,我们并不知道物体的重量,只知两两之间重量比的比值:
U厂gjgj
设准则C为比较重量,问题是:
已知在准则C下对元素©,“2,…,"”排序,也就是按其重量大小排序已知。
kg】・・・
对于以下三个特性:
(1)佝>0
(勺)显然满足
(1)与
(2),但是,(3)式通常不被满足(因为统计或构造这么完整的数据很难),满足
(1)、
(2)的矩阵A为正互反矩阵;满足
(1)、
(2)并且(3)也成立时的矩阵A称为一致性判断矩阵。
问题是:
已知判断矩阵A,在准则C下对n个物体排序。
即按重量大小排序。
如果,均=¥是,g「gj是重量的精确值,此时(3)式必泄成立,即A是一致性判断矩阵。
gj
令
g=(g|g2…g)
则带入计算,Ag=ngo显见“是方阵A的特征根,g是A的与A=n对应的特征向量:
事实上此时不难验证:
"是方阵人=(呦)的最大特征根,其余个特征根全为零,而g是A的与最大特征根”对应的特征向量。
(证明见附录)g的”个分量是物体的相对重量,因此,可按此对妁,也,…,知排序。
如果对矩阵A有一个小的扰动,即呦不再是真实重量的比值,这时显然A不满足一致性条件,此时A的最大特征根/Uax不再是”:
因扰动很小,自然Anax离“不远,这时兄max对应的特征向量虽然不会是”个物体的真实重=U,,g2,--^J\但是,变动也不会太大。
我们设想:
如果扰动不大,则Anax离”就不远,此时Anax对应的特征向量Q与g差不多,如果Q不改变g的各分戢的大小次序,则g'同样给岀”个物体听,“2,…,叫按重星大小的真实排序。
这样,对不满足一致性的正互反矩阵A=(Uij)nx„,我们求英最大特征根Zmax,再求与/Imax对应的特征向量g,则可按g对"个物体山,“2,…,"”按重量大小排序。
但是,这一番理论有几个疑点:
①当月不满足一致性时,月还有没有最大正的特征根;②既使£有最大特征根,那么,这个最大特征根/Imax对应的特征向量的全部分量能否还是正数(重疑不可能为负数)?
这两个问题可以用矩阵代数中Perro—Frobineus定理回答©
Perro-Frobineus定理:
正矩阵存在重数为1重的正特征根,其它特征根的模均小于这个正特征根,该正特征根对应的特征向量可以全部由正分量组成,经“归一化”处理后该特征向量是惟一的。
(证明见itac的ecmp平台文档库中Proof_Of_PF_Theorem.pdf)
Perron理明白地告诉我们,对正互反矩阵A,既使它不满足一致性,也一泄存在最大正的实特征根,它对应的特征向量的各个分量都可以是正数,并且“归一化”后是惟一的。
但是,我们能否按这个“归一化”后是惟一的特征向量对〃个物体按重量大小排序呢?
或说这个“归一化”后的特征向量是否会改变扰动前的一致性矩阵A的最大特征根Amax=n对应的特征向量的各分量间大小的排序呢?
这个问题太难了,人们简直难于正面明确地回答,而只能给岀一个并不是十分令人满意的简接回答。
那就是对判断矩阵A=(知)的一致性满意程度进行检验:
我们说过,由于对A不大的扰动,最大特征根离”不应太远,所以一致性检验自然与“有关。
我们可以证明:
只要A的一致性不被满足,那么A的最大特征根九一定比“大,即九3厂心0。
(对于正互反矩阵最大特征根随扰动的变大而变大的证明没有找到,忘补充)
令〃一1
显然,我们希望C./•尽量小;但是,C./.小到什么程度,才能使几-X与n对应的特征向量“归一化”后各分量大小次序不被破坏呢?
这仍是一个非常非常困难的问题,可以说,人们难以正而回答这个问题。
为此,AHP发明者Saaty给出了平均一致性检验值5我们重复1000次,对随机判断矩阵A的最大特征根进行讣算后求取算术平均值得到如下平均随机一致性检验指标如下:
阶数1234567891
R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.581.59
CI
令C.R.=—
R.I.
当C.R.<0.1时,认为判断矩阵A的一致性是可以被接受的。
亦即当C.R.<0」即C.I.<0.1/?
./.
时,就是说,当给怎的判断矩阵A=(呦)的一致性指标C.I.不超过平均随机一致性指标R.I.的0.1倍时,认为判断矩阵A=(aij)的一致性是可以被接受的。
言外之意:
此时的勺的几„^对应的特征向疑“归一化”后,能给岀n个物体I—,…,"”按重量大小的真实排序。
明显看出这个回答不是正而的,也有些令人难以垃信。
但是,这已是目前为止最好的回答了,这也是/1HP理论上不够严谨的
问题。
不过,从应用角度讲,当CR.<0.1时,排序的正确性已为所有应用例子所证实。
但是,当
CR.>0.1时,AHP不再适用,这时,只能回头考虑,变更递阶层次结构,或对判断矩阵月重新赋值。
AHP基本步骤
用AHP解决问题,有四个步骤:
1.建立问题的递阶层次结构;
2.构造两两比较判断矩阵;
3.由判断矩阵计算被比较元素相对权垂;
4.计算各层元素组合权重,并进行一致性检验。
下面通过一个应用实例说明AHP的每个步骤的实施。
例:
某闹市区一商场附近交通拥挤。
目标G:
改善该街区交通环境。
有三种方案可供选择:
人:
修夭桥或修高架桥;修地道;比:
商场搬迁。
选择方案的准则有5个:
0:
通车能力:
c2:
方便市民:
C3:
改造费用:
“:
安全性;c5:
市容美观。
决策步骤:
A.建立问题的递阶层次结构:
最高层:
目标层G:
改变交通环境
B.构造两两比较判断矩阵
构造判断矩阵人=(饰),呦,在单准则下分别构造,即在G下对QC2C3C4C5,构造判断矩阵;
分别在5c,c3C4C5下对A,A2A3构造判断矩阵。
在单一准则下,如何具体构造两两比较判断矩阵A=(勺)呢?
即如何具体确左比值切呢?
在AHP中比较常用的是一一1-9比例标度法。
关于1-9比例标度法的说明:
刀个元素5卫”…上「两两比较其重要性共要比较巴匸U次。
第f个元素W与第丿个元素匕
2‘重要性之比为為。
通过使用标度比重,确泄知,一下是标度值:
«y=1表示%与b重呈:
相同,或重要性相同;
tty=3表示%比“丿稍重;
«y=5表示"i比U丿明显重;
呦=7表示心比匕强烈重:
=9表示",比Uj极端重;
数2、4、6、8则为上述判断的中值。
两两比较两个元素的重要性,总是在某种准则(准则层比较是以总目标G为准则,方案层比较,分别以准则层中各元素为准则)下进行的。
至于为什么取1-9比例标度,而不取别的,是因为人们直觉最多只能判断出9个等级的差异,再细的差异,人的直觉是分辨不出来的,而两两比较判断矩阵是领域专家靠感觉去分辨和构造的。
从理论上讲,用1-15比例标度也未尝不可,只是人的直觉分辨不岀。
对n个物体,两两比较其重要性得判断矩阵A=G/..)nxn,显然〜满足:
aij>°'aij='an=1
Clji
共计*
-1)个判断,所以A是正的互反矩阵,且对角线上元素为1,这样的”阶矩阵可表示
为上三角或下三角矩阵。
但月的元素呦通常不具有传递性,即:
aH•你
这是由事物的复杂性和人的认识的局限性造成的。
如果式:
成立,则称A是一致性矩阵。
从判断矩阵A岀发到导出元素在某种准则C下按重要性大小的排
序,矩阵月的一致性起着至关重要的作用。
G
通
方
用
■
费全
C3
安
容
C4
市
车
便
通车
C1
方便
1
3
5
3
5
■
费用
1/3
1
3
1
3
C3
安全
1/5
1/3
1
1/3
3
C4
市容
1/3
1
3
1
3
C5
1/5
1/3
1/3
1/3
1
按着1-9比例标度的上述说明,
具体构造应用举例的六个准则下的两两比较判断矩阵分别为:
道
人2
搬迁
1
1
搬
1
1
/5
/5
1
迁
/5/2
费用
全
安
C3
儿
■
码
儿
人
天桥
天
1
1
4
7
桥
1
1
/2
/3
地道
1
地
1
1
4
道
2
1
a2
/4
a2
搬迁
1
1
搬
/7
1
/4
1
1
迁
3
1
1
1
1
市容
5
A
a2/
天桥
1
1
地道
1/2
/3
■
搬迁
2
1
1
3
1
1
C.由判断矩阵计算被比较元素相对权重对给出的共6个正互反矩阵,分別求:
D.
久max
例如以5作准则的判断矩阵为:
来验证这一点:
再例如以准则门的判断矩阵为:
■
3
5〕
1/3
1
2
(1/5
1/21,
显然力不满足一致性,因为绚2・心3
,1
1
5、
A=
1
1
5
(1/5
1/5
1丿
=(—”+討=3(2—刃
附录:
关于5是方阵加伽)的最大特征根,其余小个特征根全为零,而g是A的与最大特征根n对应的特征向量)的证明:
证明1:
对于一致性正互反举证:
昵阪巴W”…巴W”
••••
•■•■
■■■■巴%%一%…巴並叫用%¥…肥硏一一
很容易看出,每行成比例,因此矩阵的秩=1,非零特征根有1个。
并且£Ai=£如,因此n=£>!
/=兄
证明2:
设两两比较相对重量的精确测度为:
少光%则特征方程IA-述1=0,有一重实根A=n及重0根。
证明:
=B+(-A)fjA)
•••
vv2
0
-2
…0
w
=存(-矿*(-廿
B=
0
0
-2;
“2
0
・・・
0-A
•••£⑷=(-矿'+(")[(一矿2+(_砒/)卜2(-矿)+(_可2入⑷^z,w=(«-2x-/ir,+(-矿加)
/2U)=
9
叱I
W"
n-l
巴
W”
巴一兄
叱,
・・・九(人)=(川一2)(-几)"*+(-兄)"'・(一2+2)
£伉)=(_刃1.(—兄)=0
故2=/?
为一重特征根,兄=0为I重特征根。
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