第二章点直线平面之间的位置关系课后提升练习及答案.docx
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第二章点直线平面之间的位置关系课后提升练习及答案
第二章点直线平面之间的位置关系课后提升练习及答案
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
1.下列符号语言表述正确的是( )
A.A∈lB.A⊂αC.A⊂lD.l∈α
2.若一直线a在平面α内,则图示正确的是( )
3.(2020年安徽)在下列命题中,不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面平行
B.过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面
C.假如一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线都在此平面内
D.假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
4.若点M在直线a上,a在平面α内,则M,a,α间上述关系的集合表示是( )
A.M∈a,a∈αB.M∈a,a⊂α
C.M⊂a,a⊂αD.M⊂a,a∈α
5.如图K211,用符号语言可表达为( )
图K211
A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
6.过四条两两平行的直线中的两条最多可确定的平面个数是( )
A.3B.4C.5D.6
7.E,F,G,H是三棱锥ABCD棱AB,AD,CD,CB上的点,延长EF,HG交于点P,则点P( )
A.一定在直线AC上B.一定在直线BD上
C.只在平面BCD内D.只在平面ABD内
8.下列推理错误的是( )
A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α
B.若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
C.若l∈α,A∈l,则A⊂α
D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α,β重合
9.如图K212,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的序号是________.
图K212
①A,M,O三点共线;②A,M,O,A1四点共面;
③A,O,C,M四点共面;④B,B1,O,M四点共面.
10.如图K213,在正方体ABCDA′B′C′D′中,E,F分别是AA′,AB上一点,且EF∥CD′,求证:
平面EFCD′,平面AC与平面AD′两两相交的交线ED′,FC,AD交于一点.
图K213
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1.下面结论正确的是( )
A.空间四边形的四个内角和等于180°
B.空间四边形的四个顶点能够在一个平面内
C.空间四边形的两条对角线能够相交
D.空间四边形的两条对角线不相交
2.假如两条直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.平行或异面D.相交或异面
3.直线a∥b,b⊥c,则a与c的关系是( )
A.异面B.平行
C.垂直D.相交
4.设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( )
A.若AC与BD共面,则AD与BC共面
B.若AC与BD异面直线,则AD与BC是异面直线
C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC
D.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC
5.如图K214,在长方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为B1O和C1O的中点,长方体的各棱中与EF平行的有( )
图K214
A.一条B.两条
C.三条D.四条
6.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,而α∩β=c,则直线c( )
A.一定与a,b中的两条相交
B.至少与a,b中的一条相交
C.至多与a,b中的一条相交
D.至少与a,b中的一条平行
7.AB,CD是夹在两平行平面α,β之间的异面线段,A,C在平面α内,B,D在平面β内,若M,N分别为AB,CD的中点,则有( )
A.MN=
B.MN>
C.MN<
D.MN≤
8.如图K215是正方体的平面展开图,在那个正方体中,下列命题正确的序号有________.
①BM与ED平行;
②CN与BE是异面直线;
③CN与BM成60°角;
④DM与BN垂直.
图K215 图K216
9.如图K216,过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,如此的直线l能够作________条.
10.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.
(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小;
(2)求直线AB1和EF所成的角的大小.
2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1.若直线m∥平面α,直线n∥平面α,则直线m与直线n的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.异面D.以上皆有可能
2.长方体中ABCDA1B1C1D1,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )
A.3条B.4条
C.5条D.6条
3.b是平面α外一条直线,下列条件中可得出b∥α的是( )
A.b与α内一条直线不相交
B.b与α内两条直线不相交
C.b与α内许多条直线不相交
D.b与α内任意一条直线不相交
4.若三个平面把空间分成6个部分,那么这三个平面的位置关系是( )
A.三个平面共线
B.有两个平面平行且都与第三个平面相交
C.三个平面共线,或两个平面平行且都与第三个平面相交
D.三个平面两两相交
5.关于直线m,n和平面α,下列说法中正确的是( )
A.假如m⊂α,n
α,m,n异面,那么n∥α
B.假如m⊂α,n
α,m,n异面,那么n与α相交
C.假如m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥n
D.假如m∥α,n∥α,m,n共面,那么m∥n
6.已知直线a⊂平面α,直线b与a没有公共点,则( )
A.b⊂αB.b
α
C.b∥αD.以上都有可能
7.若夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.重合D.平行或相交
8.下列四个命题:
①两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行;②两条直线没有公共点,则这两条直线平行;③两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行;④一条直线和一个平面内所有直线都没有公共点,则这条直线和那个平面平行.其中正确命题的序号是__________.
9.若A∈α,B∈α,A∈l,B∈l,那么直线l与平面α有________个公共点.
10.图K218是一个正方体(如图K217)的表面展开图的示意图,MN和PQ是两条面的对角线,请在正方体中将MN和PQ画出来,并就那个正方体解答下列问题.
(1)求MN和PQ所成角的大小;
(2)求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比.
图K217 图K218
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面、平面与平面平行的判定
1.若直线与平面没有交点,则这条直线与那个平面内的( )
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C.任意一条直线都不相交
D.三条直线不相交
2.已知a,b是两条相交直线,a∥α,则b与α的位置关系是( )
A.b∥αB.b与α相交
C.b∥α或b与α相交D.b⊂α
3.已知三条互相平行的直线a,b,c,a⊂α,b⊂β,c⊂β,则两个平面α,β的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.平行或相交D.不能确定
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列四对截面彼此平行的一对截面是( )
A.面A1BC1和面ACD1
B.面BDC1和面B1D1C
C.面B1D1D和面BDA1
D.面A1DC1和面AD1C
5.设m,n表示不同直线,α,β表示不同平面,则下列命题中正确的是( )
A.若m∥α,m∥n,则n∥α
B.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β
C.若α∥β,m∥α,m∥n,则n∥β
D.若α∥β,m∥α,n∥m,n
β,则n∥β
6.若a,b是异面直线,过b且与a平行的平面( )
A.不存在B.存在但只有一个
C.存在许多个D.只存在两个
7.如图K221,在长方体ABCDA1B1C1D1的面中:
(1)与直线AB平行的平面是:
________;
(2)与直线AA1平行的平面是:
________;
(3)与直线AD平行的平面是:
________.
图K221 图K222
8.如图K222,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E为PB的中点,O为AC,BD的交点.图中EO与哪个平面平行___________.
9.(2020年山东节选)如图K223,四棱锥PABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.
求证:
CE∥平面PAD.
图K223
10.如图K224,在正方体ABCDA1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC和SC的中点,
求证:
平面EFG∥平面BB1D1D.
图K224
2.2.2 直线与平面平行的性质
1.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是( )
A.α内的所有直线都与直线a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内的直线都与a相交
D.直线a与平面α有公共点
2.a,b是两条异面直线,A是不在a,b上的点,则下列结论成立的是( )
A.过点A有且只有一个平面平行于a,b
B.过点A至少有一个平面平行于a,b
C.过点A有许多个平面平行于a,b
D.过点A且平行a,b的平面可能不存在
3.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD
平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A.平行B.平行和异面
C.平行和相交D.异面和相交
4.α,β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( )
A.α,β都平行于直线l,m
B.α内有三个不共线的点到β的距离相等
C.l,m是α内的两条直线且l∥β,m∥β
D.l,m是两条异面直线且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β
5.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与过点A,E,C的平面的位置关系是________.
6.如图K225已知E,F,G,H为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且EH∥FG.求证:
EH∥BD.
图K225
7.如图K226,已知在四面体ABCD中,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,则与MN平行的平面是____________________.
图K226
8.求证:
假如一条直线和两个相交的平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.
已知:
如图K227,α∩β=l,a∥α,a∥β.
求证:
a∥l.
图K227
9.如图K228,四棱锥PABCD的底面为矩形,E是侧棱PD上一点,且PB∥平面EAC.
求证:
E是PD的中点.
图K228
2.2.3 平面与平面平行的性质
1.下列说法正确的是( )
A.假如两个平面有三个公共点,则它们重合
B.过两条异面直线中的一条能够作许多个平面与另一条直线平行
C.在两个平行平面中,一个平面内的任何直线都与另一个平面平行
D.假如两个平面平行,那么分别在两个平面中的两条直线平行
2.已知α∥β,a⊂α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在许多条与a平行的直线
D.存在唯独一条与a平行的直线
3.已知α∥β,下面正确的是( )
A.若a⊂α,b⊂β,则a∥b
B.若a⊂α,b⊂β,则a,b异面
C.若a⊂α,b∥β,则a∥b
D.若a⊂α,b⊂β,则a∥β,b∥α
4.过平面α外一点P与平面α平行的平面的个数为( )
A.只有一个B.至多一个
C.至少一个D.许多个
5.以下能得到平面α∥平面β的是( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
6.已知点A,B,C不共线,AB∥平面α,AC∥平面α,则BC与平面α的位置关系是( )
A.相交B.平行
C.直线BC在平面α内D.以上都有可能
7.如图K229,一个四面体SABC的六条棱长都为4,E为SA的中点,过点E作平面EFH∥平面SBC.且平面EFH∩平面ABC=FH.则三角形HFE面积为__________.
图K229
8.过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有______条.
9.如图K2210
(1),在透亮塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法:
图K2210
①水的部分始终呈棱柱状;
②水面四边形EFGH的面积不改变;
③棱A1D1始终与水面EFGH平行;
④当容器倾斜如图K2210
(2)时,EB·BF是定值.
其中正确说法的序号是__________.
10.如图K2211,在直三棱柱ABCA1B1C1中,点D是AB的中点.求证:
AC1∥平面CDB1.
图K2211
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
1.下面条件中,能判定直线l⊥平面α的一个是( )
A.l与平面α内的任意一条直线垂直
B.l与平面α内的许多条直线垂直
C.l与平面α内的某一条直线垂直
D.l与平面α内的两条直线垂直
2.假如一条直线垂直于一个平面内的下列情形:
①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条弦;④正六边形的两条边.
不能保证该直线与平面垂直的是( )
A.①③B.①②
C.②③④D.①②④
3.已知直线a,b和平面α,则下列结论错误的是( )
A.
⇒a⊥bB.
⇒b⊥α
C.
⇒a∥α或a⊂αD.
⇒a∥b
4.下列说法中正确的是( )
A.平面外的点和平面内的点之间的线段叫平面的斜线段
B.过平面外一点和平面内一点的直线是平面的斜线
C.过平面外一点的平面的垂线有且只有一条
D.过平面外一点的平面的斜线有且只有一条
5.若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍,则AB与平面α所成的角为( )
A.60°B.45°
C.30°D.120°
6.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
7.在正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图K231,平行四边形的一个顶点A在平面α内,其余顶点在α的同侧,已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2,那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是:
①1;②2;③3;④4.以上结论正确的为__________(写出所有正确结论的序号).
图K231
9.已知:
如图K232,在空间四边形ABCD中,AB=AC,DB=DC,取BC中点E,连接AE,DE,求证:
BC⊥平面AED.
图K232
10.如图K233,已知点P是△ABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两垂直,点H为△ABC的垂心,求证:
PH⊥平面ABC.
图K233
2.3.2 平面与平面垂直的判定
1.在二面角αlβ的棱l上任选一点O,若∠AOB是二面角αlβ的平面角,则必须具有条件( )
A.AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂β
B.AO⊥l,BO⊥l
C.AB⊥l,AO⊂α,BO⊂β
D.AO⊥l,BO⊥l,且AO⊂α,BO⊂β
2.下列说法正确的是( )
A.二面角的大小范畴是大于0°且小于90°
B.一个二面角的平面角能够不相等
C.二面角的平面角的顶点能够不在棱上
D.二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直
3.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中,其中正确的命题是( )
A.m⊥α,n⊂β,m⊥n⇒α⊥β
B.α∥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥n
C.α⊥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥n
D.α⊥β,α∩β=m,n⊥m⇒n⊥β
4.在三棱锥ABCD中,假如AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD是锐角三角形,那么( )
A.平面ABD⊥平面ADC
B.平面ABD⊥平面ABC
C.平面BCD⊥平面ADC
D.平面ABC⊥平面BCD
5.若l为一条直线,α,β,γ为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:
①α⊥γ,β⊥γ⇒α⊥β;
②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β;
③l∥α,l⊥β⇒α⊥β.
其中正确的命题有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
6.在空间四边形ABCD中,AB=BC,DC=AD,点E是AC的中点,则平面BDE与平面ABC的位置关系是__________.
7.在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是__________.
8.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,给出下列命题:
①若α∥β,则l⊥m;
②若l⊥m,则α∥β;
③若α⊥β,则l∥m;
④若l∥m,则α⊥β.
其中正确命题的个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.如图K234,在△ABC中,∠ABC=90°,点P为△ABC所在平面外一点,PA=PB=PC,求证:
平面PAC⊥平面ABC.
图K234
10.如图K235,已知斜三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC,D为BC的中点.
(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1,求证:
AD⊥DC1;
(2)求证:
A1B∥平面ADC1.
图K235
2.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质
1.平面α⊥平面β,直线a∥α,则( )
A.a⊥β
B.a∥β
C.a与β相交
D.以上都有可能
2.若两个平面互相垂直,在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b,那么( )
A.直线a垂直于第二个平面
B.直线b垂直于第二个平面
C.直线a不一定垂直于第二个平面
D.过a的平面必垂直于过b的平面
3.已知平面α⊥平面β,则下列命题正确的个数是( )
①α内的直线必垂直于β内的许多条直线;
②在β内垂直于α与β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线;
③α内的任何一条直线必垂直于β;
④过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α.
A.4个B.3个C.2个D.1个
4.在空间,下列命题正确的是( )
A.平行直线的平行投影重合
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
5.如图K236,ABCDA1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是( )
图K236
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1角为60°
6.已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,同时PA=6,AB=3,AD=4,则点P到BD的距离是( )
A.
B.6
C.3
D.2
7.已知△ABC所在平面别处一点V,VB⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VAC平面.
求证:
AC⊥BA.
8.如图K237,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H.则以下命题中:
图K237
①点H是△A1BD的垂心;
②AH垂直平面CB1D1;
③AH的延长线通过点C1;
④直线AH和BB1所成角为45°;
其中正确的命题的序号是____________.
9.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,A到平面B1C的距离为________,A到平面BB1D1D的距离为________,AA1到平面BB1D1D的距离为________.
10.如图K238,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.
图K238
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
1.A 2.A 3.A 4.B 5.A 6.D 7.B 8.C 9.④
10.证明:
∵E,F分别是AA′与AB上一点,∴EF≠CD′.
又∵EF∥CD′,∴四边形EFCD′是梯形,直线ED′和FC相交于一点,设此点为P,
∵P∈ED′⊂平面AA′D′D,P∈FC⊂平面ABCD,
∴P是平面AA′D′D与平面ABCD的公共点.
∵平面AA′D′D∩平面ABCD=AD,∴P∈AD.
∴ED′,FC,AD交于一点P.
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1.D 2.C 3.C 4.C 5.B
6.B 解析:
若c与直线a,b都不相交,由公理4可知三条直线平行,与题设矛盾.故选B.
7.C 解析:
如图D52,连接AD,取AD中点G,连接MG,NG,明显M,N,G不共线,则MG+NG>MN,即MN<
.
图D52
8.③④ 9.4
10.解:
(1)如图D53,连接DC1,
图D53
∵DC1∥AB1,
∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D确实是AB1和CC1所成的角.
∵∠CC1D=45°,
∴AB1和CC1所成的角是45°.
(2)如图45,连接DA1,A1C1,
∵EF∥A1D,AB1∥DC1,
∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.
∵△A1DC1是等边三角形,
∴∠A1DC1=60°,即直线AB1和EF所成的角是60°.
2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1.D
2.C 解析:
如图D54,用列举法知符合要求的棱为:
BC,CD,C1D1,BB1,AA1,故选C.
图D54
3.D 4.C 5.C 6.D 7.D
8.④ 9.许多
10.解:
(1)MN与PQ是异面直线,如图D55,在正方体中,P
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