《状元之路》届高考数学理新课标A版一轮总复习必修部分 开卷速查43 直线平面平行的判定及其性质.docx
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《状元之路》届高考数学理新课标A版一轮总复习必修部分开卷速查43直线平面平行的判定及其性质
开卷速查(四十三) 直线、平面平行的判定及其性质
A级 基础巩固练
1.已知直线a和平面α,那么a∥α的一个充分条件是( )
A.存在一条直线b,a∥b且b⊂α
B.存在一条直线b,a⊥b且b⊥α
C.存在一个平面β,a⊂β且α∥β
D.存在一个平面β,a∥β且α∥β
解析:
在A,B,D中,均有可能a⊂α,错误;在C中,两平面平行,则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面,故C正确.
答案:
C
2.若m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若m,n都平行于平面α,则m,n一定不是相交直线
B.若m,n都垂直于平面α,则m,n一定是平行直线
C.已知α,β互相平行,m,n互相平行,若m∥α,则n∥β
D.若m,n在平面α内的射影互相平行,则m,n互相平行
解析:
A中,m,n可为相交直线;B正确;C中,n可以平行β,也可以在β内;D中,m,n也可能异面.
答案:
B
3.设a,b表示直线,α,β,γ表示不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若a⊥α且a⊥b,则b∥α
B.若γ⊥α且γ⊥β,则α∥β
C.若a∥α且a∥β,则α∥β
D.若γ∥α且γ∥β,则α∥β
解析:
对于A选项,若a⊥α且a⊥b,则b∥α或b⊂α,故A选项不正确;对于B选项,若γ⊥α且γ⊥β,则α∥β或α与β相交,故B选项不正确;对于C选项,若a∥α且a∥β,则α∥β或α与β相交,故C选项不正确.排除A、B、C三选项,故选D.
答案:
D
4.下面四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是( )
①
②
③
④
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
解析:
由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.
答案:
A
5.设x、y、z是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:
①x、y、z均为直线;②x、y是直线,z是平面;③z是直线,x、y是平面;④x、y、z均为平面,其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是( )
A.③④ B.①③
C.②③D.①②
解析:
根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知②、③正确.
答案:
C
6.已知m、n为直线,α、β为平面,给出下列命题:
①
⇒n∥α;②
⇒m∥n;③
⇒α∥β;④
⇒m∥n.其中正确命题的序号是( )
A.③④B.②③
C.①②D.①②③④
解析:
①不正确,n可能在α内.
②正确,垂直于同一平面的两直线平行.
③正确,垂直于同一直线的两平面平行.
④不正确,m、n可能为异面直线.故选B.
答案:
B
7.在四面体ABCD中,M、N分别是面△ACD、△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.
解析:
如图,连接AM并延长交CD
于E,连接BN并延长交CD于F,
由重心性质可知,E、F重合为一点,且该点为CD的中点E,由
=
=
,得MN∥AB,因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
答案:
平面ABC、平面ABD
8.如图所示,ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=
,过P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=__________.
解析:
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
∴MN∥PQ.
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点,AP=
,
∴CQ=
,从而DP=DQ=
,∴PQ=
a.
答案:
a
9.如图所示,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件__________时,有MN∥平面B1BDD1.
解析:
由题意,得HN∥面B1BDD1,FH∥面B1BDD1.
∵HN∩FH=H,∴面NHF∥面B1BDD1.
∴当M在线段HF上运动时,有MN∥面B1BDD1.
答案:
M∈线段HF
10.如图,已知平行四边形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G,H分别是DF,BE的中点.
(1)求证:
GH∥平面CDE;
(2)若CD=2,DB=4
,求四棱锥FABCD的体积.
解析:
(1)证明:
方法一:
∵EF∥AD,AD∥BC,
∴EF∥BC.
又EF=AD=BC,∴四边形EFBC是平行四边形.
∴H为FC的中点.
又∵G是FD的中点,∴HG∥CD.
∵HG⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,
∴GH∥平面CDE.
方法二:
连接EA,∵ADEF是正方形,∴G是AE的中点.
∴在△EAB中,GH∥AB.
又∵AB∥CD,∴GH∥CD.
∵HG⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,
∴GH∥平面CDE.
(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD,
且FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD.
∵AD=BC=6,∴FA=AD=6.
又∵CD=2,DB=4
,CD2+DB2=BC2,
∴BD⊥CD.
∵S▱ABCD=CD·BD=8
,
∴VFABCD=
S▱ABCD·FA=
×8
×6
=16
.
B级 能力提升练
11.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A.不存在
B.有1条
C.有2条
D.有无数条
解析:
由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行.
答案:
D
12.在空间内,设l,m,n是三条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中为假命题的是( )
A.α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则l⊥γ
B.l∥α,l∥β,α∩β=m,则l∥m
C.α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥m,则l∥n
D.α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β或α∥β
解析:
对于A,∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面,∴该命题是真命题;对于B,∵如果一条直线平行于两个相交平面,那么该直线平行于它们的交线,∴该命题是真命题;对于C,∵如果三个平面两两相交,有三条交线,那么这三条交线交于一点或相互平行,∴该命题是真命题;对于D,当两个平面同时垂直于第三个平面时,这两个平面可能不垂直也不平行,∴D不正确.
答案:
D
13.[2015·德州模拟]如图,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,CE⊥BD.
(1)求证:
BE=DE;
(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:
DM∥平面BEC.
解析:
(1)如图,取BD中点O,连接OC,OE,则由BC=CD,知CO⊥BD.
又CE⊥BD,EC∩CO=C,
CO,EC⊂平面EOC,所以BD⊥平面EOC.
所以BD⊥OE.
又因为O是BD中点,所以BE=DE.
(2)如图,取AB的中点N,连接DM,DN,MN,
因为M是AE的中点,
所以MN∥BE.
又MN⊄平面BEC,BE⊂平面BEC,
所以MN∥平面BEC.
又因为△ABD为正三角形,所以∠BDN=30°,
又CB=CD,∠BCD=120°,
因为∠CBD=30°,所以DN∥BC.
又DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN=N,故平面DMN∥平面BEC,
又DM⊂平面DMN,所以DM∥平面BEC.
14.如图,四棱锥PABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,AD=2,E为PC的中点.
(1)求三棱锥APDE的体积;
(2)AC边上是否存在一点M,使得PA∥平面EDM?
若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.
解析:
(1)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD.
又∵ABCD是矩形,∴AD⊥CD.
∵PD∩CD=D,∴AD⊥平面PCD,
∴AD是三棱锥APDE的高.
∵E为PC的中点,且PD=DC=4,
∴S△PDE=
S△PDC=
×
=4.
又AD=2,
∴VA-PDE=
AD·S△PDE=
×2×4=
.
(2)取AC中点M,连接EM,DM,∵E为PC的中点,M是AC的中点,∴EM∥PA.
又∵EM⊂平面EDM,PA⊄平面EDM,
∴PA∥平面EDM.
∴AM=
AC=
.
即在AC边上存在一点M,使得PA∥平面EDM,AM的长为
.
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