等角螺线及其它.docx
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等角螺线及其它
等角螺线及其它
▪何谓等角螺线
▪等角螺线的方程式
▪趣史一则
▪等角螺线上的相似性质
▪黄金分割与等角螺线
▪等角螺线的弧长
▪等角螺线的再生性质
▪其它螺线举例
几何学是一门源远流长的数学分支,在十七世纪以前,几何学一词甚至可说是数学的同义词,它以往的风光可想而知。
曾几何时,因为某些内在与外在的因素,几何学的地位似乎已逐渐没落;在中小学的数学教材里,几何题材一次又一次地被删除。
这种现象使我们感到忧心,因为自然环境中隐藏着许多几何原理,不了解这些几何知识,不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗?
笔者从事数学教育工作多年,又是现行高中数学教科书的编者之一,对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏,实在感到忧心忡忡。
在无力对教科书作大幅度修改的情况下,只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。
基于上述想法,笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。
在内容方面,笔者首先选上曲线。
因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一,而且许多曲线都会在自然现象中出现,它们的性质也往往能提供重要的应用。
例如:
天文望远镜的设计,不就是根据拋物线的反射性质吗?
本文介绍等角螺线。
何谓等角螺线
在一片空旷的草地上,甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。
狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。
一声令下,四只狗以相同的速度同时冲向目标。
假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标,那么,这四只狗所跑过的路径是什么形式呢?
假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1(见图一),则根据四只狗的行动一致所产生的对称性,可知
也是正方形,而且它的中心也就是正方形
的中心O。
更进一步地,由于在A1点的甲狗系冲向在B1点的乙狗,所以,甲狗在此一时刻的速度方向在向量
上。
或者说,甲狗所跑的路径在A1点的切线与直线OA1形成45°的夹角。
同理,
图一
乙狗所跑的路径在B1点的切线与直线OB1形成45°的夹角等等。
一般而言,若一曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量
夹成一定角,且定角不是直角,则此曲线称为一等角螺线(equiangularspiral),O点称为它的极点(pole)。
前面所提的四狗追逐问题中,每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分,此等角螺线中的定角是
(或
,因为切向量可选成相反方向),而其极点是正方形
的中心O。
等角螺线的方程式
在坐标平面上,若极坐标方程式
表示一等角螺线(
),其极点是原点O,定角为α(
),则因在点
的切向量为
所以,可得
即
由此可得下述结果:
换言之,此等角螺线的极坐标方程式为
在前面所提的四狗追逐问题中,若中心O是极点而点A的极坐标为
,则甲、乙、丙、丁四只狗所跑的路径分别在下述四等角螺线上:
前面所提的
,就是等角螺线的极坐标方程式。
由于在导出此方程式的过程中曾经引用了自然对数,所以,等角螺线也称为对数螺线(logarithmicspiral)。
趣史一则
等角螺线的性质,笛卡儿(R.Descartes,1596~1650)在1638年就已经考虑过,但没有获得特殊结果。
托里拆利(E.Torricelli,1608~1647年)却在1645年发现有关等角螺线弧长的一项性质,这项性质在下文中将会介绍。
对于等角螺线的探讨,以伯努利(J.Bernoulli,1654~1705年)的成果最为丰硕。
他发现将等角螺线作某些变换时,所得的曲线仍是全等的等角螺线。
这些变换包括:
求等角螺线的垂足曲线(pedalcurve);求等角螺线的渐屈线(evolute);求等角螺线反演曲线(inversivecurve);求等角螺线的焦线(causticcurve);将等角螺线以其极点为中心作伸缩变换(dilation),由于这些变换都可以使等角螺线再生,这个现象使伯努利大为欣慰,所以,临殁遗言要将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上,同时题上一句话:
「Eademmutataresurgo」(虽然某些状况改变了,我却保持不变)。
这是继阿基米德(纪元前三世纪)之后,另一位在墓碑上表现其成果的数学家。
等角螺线上的相似性质
根据等角螺线的方程式
,可以看出:
对每个θ值,都有一个对应的r值;而且不同的θ值所对应的r值也不同(因为
)。
这种现象表示:
从等角螺线上某个点出发,随着θ值的无限制增大与无限制减小,此曲线会环绕它的极点形成无数多圈,一面是愈绕愈远,一面是愈绕愈聚集在极点附近。
若
,则当
时,曲线聚集在极点附近。
若
,则当
时,曲线愈绕越远。
图二是等角螺线的一部分
。
图二
图三
若辐角
…构成一个等差数列,则由指数的性质,对应的向径
,
,
,…就构成等比数列。
若令Pn表示极坐标
的点,则上述结果表示
…构成一个等比数列。
又因
,所以可知
与
相似。
由此可知:
构成一个等比数列。
若上述等差数列
…的公差是
,P1,P2,P3,…等乃是过极点的一射线与等角螺线的交点。
可见:
过极点作任意射线,则此射线与等角螺线的交点必以等比数列的形式排列在射线上。
对于一般的几何图形,若我们选定某个点做为伸缩中心将图形放大或缩小,则可得到一个相似的图形,在等角螺线的情形中,若伸缩中心是它的极点,则不论放大或缩小多少倍,所得的不只是相似图形而已,它是与原等角螺线全等的一个等角螺线。
为什么呢?
若以极点为伸缩中心将等角螺线
伸缩m倍,则所得的图形是等角螺线
。
因为
,所以可找到一个实数
使得
。
于是伸缩后的图形为
,这个图形其实就是等角螺线
绕极点顺时针旋转
角所得,它自然与原等角螺线
全等。
根据前段的说明,我们可以了解:
等角螺线上的一段弧经伸缩若干倍后,必与该等角螺线上的另一弧全等。
事实上,若等角螺线
经伸缩成
,则在等角螺线
,辐角θ满足
的弧,经伸缩后必与该等角螺线上辐角θ满足
的弧全等。
等角螺线的这项特性,使得自然界中许多物体都呈现等角螺线的形状。
例如:
许多贝壳都很接近等角螺线的形状,因为生活在壳内的动物在成长过程中都是均匀地长大,这就像相似地放大,所以,新生的部分所栖息的空间必与原有空间形状相似。
象鼻、动物的角与毛等都呈等角螺线形。
在植物中,向日葵、菠萝与雏菊上的螺旋纹也都呈等角螺线形。
图四是鹦鹉螺的横截面,这么美的线条,令人不得不佩服造物之奇。
图四
黄金分割与等角螺线
环绕某个定点而相似地缩小,这是等角螺线在其极点附近呈现的形状。
假如我们将多边形环绕一定点而相似地缩小,是不是会与等角螺线生关联呢?
图五
在图五中,
、
、
、
、
、…等是一系列的矩形,这些矩形中每两个都相似(亦即:
边的比值相等),而且后一矩形都是由其前面的矩形挖掉一个正方形而得的。
如:
是由
挖掉正方形
而得的。
此时,上列矩形的第一个顶点A、C、E、G、I、K…等会落在一等角螺线上,此等角螺线的极点是
、
、
、
等共交的点O。
若以O为极点,射线
为极轴,且A的极坐标为
,则此等角螺线的极坐标方程式为
其中
。
此等角螺线通常称为黄金螺线。
为什么会扯上
呢?
原来这个数就是上述相似矩形的长边与短边的长度之比。
因为由
与
可得
若线段
上的一点C满足
,则称C点将
黄金分割。
当C点将
黄金分割时,
(或
)的值是
,此数称为黄金分割比。
若一矩形的长边与短边的比值为
,则此矩形称为黄金矩形。
由黄金矩形可引出等角螺线,将矩形改成三角形,也会有同样的结果吗?
在图六中
、
、
、
、
、
、……等是一系列的等腰三角形,这些等腰三角形中每两个都相似,而且后一等腰三角形,都规定是由其前面的等腰三角形挖掉一个等腰三角形而得的。
例如:
是由
挖掉等腰三角形
而得的。
图六
此时,上列等腰三角形的顶点A、B、C、D、E、F、G、H、……等会落在一等角螺线上,此等角螺线的极点是
与
的交点O。
若以O为极点、射线
为极轴、且A的极坐标为
,则此等角螺线的极坐标方程式为
其
。
此等角螺线也称为黄金螺线。
此等角螺线也扯上
,其理由如下:
上述的相似等腰三角形ABC等,可证明其顶角为36°,而底角为72°,所以,
。
此种三角形称为黄金三角形。
等角螺线的弧长
假定我们想计算等角螺线
上,辐角θ满足
那段弧的长,利用前面所提的相似性质,我们可将区间
等分成n等分,设每一等分的长为h,即
。
又令Pi表示极坐标(
)的点,i=0,1,2,…,n,先考虑所得折线的长
+
+…+
。
若这个和在
(或
)时的极限存在,则其极限值就是所欲求的弧长。
上述的折线长怎么计算呢?
因为
与
相似,所以
=
=
由此可得
另一方面,利用余弦定律可求得
再根据微积分中的L'Hospital法则,可得
由此可得
由此可知:
在等角螺线
上,辐角θ满足
那段弧的长为:
此值等于该弧的两端点向径之差与
的乘积。
在
的情形中,因为当
时,可得
,所以,极点可以看成是等角螺线的一个终极位置。
我们也因此可以问:
由点
绕回极点O的长度为多少?
这段弧是辐角θ满足
所对应的部分,它的长度可以分别考虑θ满足
、
、…等部分的弧长,然后相加而得。
因此,由
至O的弧长等于
前面所得的结果,可以做一项有趣的几何解释:
过O作一直线与
垂直,因为过P的切线与
不垂直,所以,上述垂直线与切线交于一点T。
由于
,于是,可得
。
换言之,由P点绕回O点的弧长与
的长相等,这就是托里拆利所发现的性质(见图七)。
图七
前段所提的性质,还可作如下的解释:
设想等角螺线在直线PT上作不滑的滚动,则极点O最后会移动到T,而且在滚动过程中,O点的运动路径就是
。
等角螺线的再生性质
垂足曲线
设C为一曲线而O为一定点,自O向C的所有切线作垂直线,则所有垂足所成的图形称为曲线C对定点O的垂足曲线。
若C是等角螺线
,则C对其极点的垂足曲线是一个全等的等角螺线,为什么呢?
在图七中,若
是在切线PT上的垂足,则
,而
是P的辐角(设
)。
因此,可得
换言之,所有H点构成等角螺线
。
焦线
设C为一曲线而O为一定点,将过O的所有直线都对曲线C作反射,若反射所得的所有直线都是某曲线的切线,则此曲线称为曲线C对定点O的焦线。
若C是等角螺线
,则C对其极点的焦线是一个全等的等角螺线,我们说明如下。
设P是等角螺线C上一点,
是极点O对于过P之法线的对称点,则直线OP对等角螺线C反射,所得的直线就是直线PR(见图七)。
显然,
,而且
是点P的辐角(设
)。
因此,可得
换言之,所有R点构成等角螺线
。
因为此等角螺线过R点的切线与直线OR的夹角等于α,而直线PR正具有这项性质。
也就是说,直线PR就是此等角螺线在R点的切线。
因此,此等角螺线就是原等角螺线
对极点O的焦线。
渐屈线
设C为一曲线,作C的所有法线,若所有法线都是某曲线的切线,则此曲线称为曲线C的渐屈线。
若C是等角螺线
,则C的渐屈线是一个全等的等角螺线,我们说明如下。
设P是等角螺线C上一点,
在过P的法线上而且
(见图七)。
显然,
,而且
是点P的辐角(设
)。
因此,可得
换言之,所有N点构成等角螺线
。
因为此等角螺线过N点的切线与直线ON的夹角等于α,而法线PN正具有这项性质。
也就是说,法线PN就是此等角螺线在N点的切线。
因此,此等角螺线就是
的渐屈线。
曲线C的渐屈线也可定义为「曲线C的每个点的曲率中心所成的图形」。
在图七中,该等角螺线在P点的曲率中心就是N、曲率半径就是
(
)。
习题:
试证图七中的所有T点所成的图形仍是一个全等的等角螺线,称为原等角螺线的渐伸线(involute)。
其它螺线举例
除了等角螺线外,数学上还有许多不同形式的螺线,像阿基米德螺线、双曲螺线(hyperbolicspiral)、拋物螺线(parabolicspiral)、连锁螺线(lituus)等,其中的阿基米德螺线最为有趣,我们略作介绍如下。
向径与辐角的比值是常数时,其轨迹称为阿基米得螺线。
以极坐标表示时,其方程式为
,其中a是常数。
早在古希腊时代,大数学家阿基米德就对这种螺线作过研究,并写成一篇名为《Onspirals》的作品。
在图八中,PQR是一把木匠用的曲尺,其短臂的内侧
之长为a,圆O的半径也为a,A与B是圆O上两点,而且
是直角。
首先,将曲尺上的P与Q分别置于O与B,然后将曲尺的长臂内侧
沿着圆O滚动,则在滚动过程中,P点所经过的路径就是阿基米德螺线
的一部份。
为什么呢?
在图八中,
已经滚动到与O相切于T点。
则
=弧TB的长。
设
。
于是,可得
=
=弧TB的长=
(此处θ系以弪为单位)。
因为向径与辐角成比例,所以,阿基米德螺线可用来将等角速运动转换成等速直线运动,在图九中,有一个心状的图形是由两段全等的阿基米德螺线弧所接合而成,它们的极点都是O,其上的F则连接在一个可上下移动的杆子上。
当心状图形以等角速绕O点转动时,就可带动上面的杆子作等速直线运动。
图八
将阿基米德螺线对其极点作反演变换(inversion),所得的反演曲线是一双曲螺线,所谓反演变换,其意义如下:
设圆O的半径为k,而P是异于O的任意点。
若Q点在射线
上且满足
,则称Q是P对圆O的反演像(inverse)。
若D是极坐标系中的极点,则上式表示P的向径r与Q的向径r'满足rr'=k2。
设C为一曲线,则C上每个点对圆O的反演像所成的图形,称为曲线C对圆O的反演曲线。
根据上述定义,等角螺线
对圆O的反演曲线为
,这是一个全等的等角螺线。
阿基米德螺线
的反演曲线是
,这是双曲螺线。
极坐标方程式为
的曲线称为连锁螺线,它对圆O的反演曲线为
,这曲线称为费马螺线,它是拋物螺线
的特殊情形。
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