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最新初高中数学衔接优秀名师资料
初高中数学衔接
(一)绝对值
绝对值的代数意义:
正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零(即
aa,0,,,
||0,0,aa,,,
,,aa,0.,
绝对值的几何意义:
一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离(
b两个数的差的绝对值的几何意义:
a,b表示在数轴上,数和数之间的距离(a
例1、解不等式:
||x,1
例2、解不等式:
|1|2x,,
xx,,,13例3、解不等式:
4(
练习
1(填空题:
x,5x,,4
(1)若,则x=_________;若,则x=_________.
a,,1a,b,51,c,2
(2)如果,且,则b,________;若,则c,________3(化简:
|x,5|,|2x,13|(x,5)(
4(解下列不等式:
xx,,,,3233xx,,,,,134
(1)
(2)
1,
(二)乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
22
(1)平方差公式;()()ababab,,,,
222
(2)完全平方公式(()2abaabb,,,,我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
2233
(1)立方和公式;()()abaabbab,,,,,
2233
(2)立方差公式;()()abaabbab,,,,,
2222(3)三数和平方公式;()2()abcabcabbcac,,,,,,,,
33223(4)两数和立方公式;()33abaababb,,,,,
33223(5)两数差立方公式(()33abaababb,,,,,对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明(
22例1计算:
(
(1)
(1)
(1)
(1)xxxxxx,,,,,,
222abc,,,4abbcac,,,4abc,,例2已知,,求的值(
练习:
1(填空题:
111122abba,,,()
(1)();9423
22
(2));(4m,)164(,,,mm
2222)(3)(
(2)4(abcabc,,,,,,
12kxmxk,,(4)若是一个完全平方式,则等于2
22babab,,,,248a(5)不论,为何实数,与0的大小关系?
2,
(三)二次根式
(1)
一般地,形如的代数式叫做二次根式(根号下含有字母、且不能够aa(0),
222开得尽方的式子称为无理式.例如,等是无理式,而32aabb,,,ab,
22222,,等是有理式(a21xx,,xxyy,,22
1(分母(子)有理化
把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化(为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念(两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,
a例如与,3a与,36,与36,,2332,与2332,,22
x等等(一般地,axaxb,axb,与,与,与互为axby,axby,
有理化因式(
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式;而对于二次根式的除法,通常先写成ababab,,,(0,0)
分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式(
22(二次根式a的意义
aa,0,,,2aa,,,,,aa,0.,
例1将下列式子化为最简二次根式:
624(0)xyx,12b
(1);
(2);(3)(aba(0),
计算:
例2(3(33),,
例3试比较下列各组数的大小:
21110,226,1211,
(1)和;
(2)和.64,
3,
练习:
1(将下列式子化为最简二次根式:
224
(1)
(2)18b27ab
22(计算:
22,
3(比较下大小:
57,和1113,
(四)二次根式
(2)
20042005例4化简:
((32)(32),,,
12xx,,,,2(01)5化简:
(1)945,;
(2)(例2x
3232,,22例6已知,求的值(353xxyy,,xy,,,
3232,,
练习
1(填空题:
13,
(1),_____;
13,
2(5)(3)(3)5,,,,,xxxx
(2)若,则x的取值范围是_____;
4246543962150,,,,(3)_____;
5xxxx,,,,,,1111x,(4)若,则________(,,2xxxx,,,,,,1111
xx,(5)等式成立的条件是。
x,2x,2
(6)比较大小:
2,35,4(填“,”,或“,”)(
22aa,,,11ab,b,2(若,求的值(a,1
4,
(五)分式
1(分式的意义
AAAB,0形如的式子,若B中含有字母,且,则称为分式(当M?
0时,分式具有BBB
下列性质:
AAM,;,BBM,
AAM,(,BBM,
上述性质被称为分式的基本性质(
2(繁分式
a
mnp,,b像,这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式(2mcd,
np,
54xAB,例1(若,求常数的值(AB,,,xxxx
(2)2,,
111(
(1)试证:
(其中n是正整数);例2,,nnnn
(1)1,,
111
(2)计算:
;,,,?
1223910,,,
1111(3)证明:
对任意大于1的正整数n,有(,,,,?
2334
(1)2,,,nn
c22e,例3设,且e,1,2c,5ac,2a,0,求e的值(a
练习:
11.对任意的正整数n,,;nn
(2),
22xy,x,2.若,则,;xy,3y
xy,22xy,3(正数满足,求的值;xyxy,,2xy,
1111,,,,...4(计算(12233499100,,,,
5,
阶段复习1(填空题:
1819
(1),________;(23)(23),,
22
(2)若
(1)
(1)2,,,,aa,则的取值范围是________;a
11111(3)________(,,,,,
1223344556,,,,,
23aab,11(4),b,,则;a,,2232352aabb,,
22xxyy,,322(5)若,则;,xxyy,,,2022xy,
2(解不等式:
(1)x,,13;
(2);xx,,,,327
(3)xx,,,,116(
333.
(1)已知,求的值(xy,,1xyxy,,3
yy11xy,,,
(2)已知:
,求的值(,23xyxy,,
1122()3()10xx,,,,,(3)解方程(2xx
1111(4)试证:
对任意的正整数n,有,(,,,?
4123234
(1)
(2),,,,,,nnn
6,
(六)分解因式因式分解的主要方法有:
十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,
另外还应了解求根法及待定系数法(
1(十字相乘法
例1分解因式:
22
(1)x,3x,2;
(2)x,4x,12;
22(3);(4)(xyxy,,,1xabxyaby,,,()
练习:
把下列各式分解因式:
2x,5x,6,
(1)__________________________________________________。
2x,5x,6,
(2)__________________________________________________。
2x,5x,6,(3)__________________________________________________。
2x,5x,6,(4)__________________________________________________。
2(5)__________________________________,,x,a,1x,a,
2273xx,,,(6)。
2672xx,,,(7)。
2273xx,,,(8)。
7,
(七)分解因式
(二)2(提取公因式法与分组分解法
例2分解因式:
3222
(1);
(2)(xxx,,,9332456xxyyxy,,,,,
23(关于x的二次三项式ax+bx+c(a?
0)的因式分解(
2若关于x的方程的两个实数根是、,则二次三项式xxaxbxca,,,,0(0)122就可分解为.axxxx()(),,axbxca,,,(0)12
把下列关于x的二次多项式分解因式:
例3
222xx,,21
(1);
(2)(xxyy,,44
练习
1(分解因式:
2
(1)x,6x,8=________________33
(2)8a,b=________________
2(3)x,2x,1=________________
(4)=________________4
(1)
(2)xyyyx,,,,
22(5)=________________126xxyy,,
2(6)=_______________6,,,,2p,q,11q,2p,3
22、,,,,x,4x,,x,3x,
2a,b,3、若,,,,则,。
x,ax,b,x,2x,4
8,
习题
1(分解因式:
3
(1)=________________a,1
42
(2)=________________4139xx,,
22(3)=________________bcabacbc,,,,222
22(4)=________________35294xxyyxy,,,,,
2(在实数范围内因式分解:
2
(1)=________________xx,,53
2
(2)=________________xx,,223
22(3)=________________34xxyy,,
222(4)=________________
(2)7
(2)12xxxx,,,,
222b,ABC,ABCabcabbcca,,,,,3(三边,,满足,试判定的形状(ac
224(分解因式:
x,x,(a,a)(
9,
(八)根的判别式
2我们知道,对于一元二次方程ax,bx,c,0(a?
0),用配方法可以将其变形为
2bbac,42(?
()x,,224aa2因为a?
0,所以,4a,0(于是2
(1)当b,4ac,0时,方程?
的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根
2,,,bbac4x,;,122a2
(2)当b,4ac,0时,方程?
的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根
bx,x,,;122a
b22()x,(3)当b,4ac,0时,方程?
的右端是一个负数,而方程?
的左边一定大于2a或等于零,因此,原方程没有实数根(22由此可知,一元二次方程ax,bx,c,0(a?
0)的根的情况可以由b,4ac来判定,我们22把b,4ac叫做一元二次方程ax,bx,c,0(a?
0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示(2综上所述,对于一元二次方程ax,bx,c,0(a?
0),有
(1)当Δ,0时,方程有两个不相等的实数根
2,,,bbac4x,;,122a
(2)当Δ,0时,方程有两个相等的实数根
bx,x,,;122a
(3)当Δ,0时,方程没有实数根(
例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,
写出方程的实数根(22
(1)x,3x,3,0;
(2)x,ax,1,0;22(3)x,ax,(a,1),0;(4)x,2x,a,0(
练习:
1.解下列方程:
2221360xx,,,4410xx,,,
(1)
(2)
223570xx,,,mxx,,,210x(3)(4)解关于的方程:
10,
(九)根与系数的关系(韦达定理)
(1)2若一元二次方程ax,bx,c,0(a?
0)有两个实数根
22,,,bbac4,,,bbac4,,x,x,212a2a
则有
22,,,,,,,bbacbbacbb442;xx,,,,,,12222aaaa
2222,,,,,,,,bbacbbacbbacacc44(4)4(xx,,,,,12222244aaaaa
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
bc2,如果ax,bx,c,0(a?
0)的两根分别是x,x,那么x,x,,x?
x,(这一关121212aa系也被称为韦达定理(2特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x,px,q,0,若x,x是其两根,由韦达12定理可知
x,x,,p,x?
x,q,1212
即p,,(x,x),q,x?
x,1212222所以,方程x,px,q,0可化为x,(x,x)x,x?
x,0,由于x,x是一元二次方程x1212122,px,q,0的两根,所以,x,x也是一元二次方程x,(x,x)x,x?
x,0(因此有121212
以两个数x,x为根的一元二次方程(二次项系数为1)是122x,(x,x)x,x?
x,0(1212
2560xkx,,,例2已知方程的一个根是2,求它的另一个根及k的值(
22例3已知关于x的方程x,2(m,2)x,m,4,0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值(
练习:
2xmxm,,,,,12301.m为何值时,的两根均为正,,,,,
112,xx,xx,xx,2.已知是方程两个实数根,求:
?
;?
;?
;?
xx,,,520121212xx12
12233xx,,11xx,xx,;?
;?
;?
。
,,,,12121222xx,12
11,
223.已知是方程的两根,且,求的值.xmxm,,,740,,,,,113m,,,,,,,
2k4.已知方程的一个根是,求它的另一根及的值。
560xkx,,,2
25.求作一个方程,使它的根是方程的两根的平方的负倒数.xx,,,780
(十)根与系数的关系(韦达定理)
(2)
例4已知两个数的和为4,积为,12,求这两个数(
2,5x,3,0的两根(例5若x和x分别是一元二次方程2x12
1133
(1)求|x,x|的值;
(2)求的值;(3)x,x(,121222xx12
说明:
一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题,为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律:
2设x和x分别是一元二次方程ax,bx,c,0(a?
0),则12
22,,,bbac4,,,bbac4x,,x,,212a2a
222,,,,,,,bbacbbacbac4424,,?
|x,x|,12222aaa
2bac,,4(,,||||aa
于是有下面的结论:
22若x和x分别是一元二次方程ax,bx,c,0(a?
0),则|x,x|,(其中Δ,b,1212||a4ac)(今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论(
12,
2例6若关于x的一元二次方程x,x,a,4,0的一根大于零、另一根小于零,求实数a的取值范围(
练习
1.填空题:
22
(1)方程xkxk,,,2330的根的情况是。
2
(2)若关于x的方程mx,(2m,1)x,m,0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是。
112(3)若方程x,3x,1,0的两根分别是x和x,则,(,12xx12
(4)以,3和1为根的一元二次方程是(
222(已知,当k取何值时,方程kx,ax,b,0有两个不相等的实数aab,,,,,816|1|0
根,
2(已知方程x3,3x,1,0的两根为x和x,求(x,3)(x,3)的值(1212
习题
1(填空题:
2
(1)已知关于x的方程x,kx,2,0的一个根是1,则它的另一个根是。
22
(2)关于x的一元二次方程ax,5x,a,a,0的一个根是0,则a的值是。
2(3)方程kx,4x,1,0的两根之和为,2,则k,(
222(4)方程2x,x,4,0的两根为α,β,则α,β,(
13,
2(5)已知关于x的方程x,ax,3a,0的一个根是,2,则它的另一个根是(
2(6)方程2x,2x,1,0的两根为x和x,则|x,x|,(1212222(7)若m,n是方程x,2010x,1,0的两个实数根,则mn,mn,mn的值等于(23223(8)如果a,b是方程x,x,1,0的两个实数根,那么代数式a,ab,ab,b的值
是(
2(9)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x,8x,7,0的两根,则这个直角
三角形的斜边长等于。
xx212(10)若x,x是方程2x,4x,1,0的两个根,则的值为。
,12xx21
222(试判定当m取何值时,关于x的一元二次方程mx,(2m,1)x,1,0有两个不相等的实
数根,有两个相等的实数根,没有实数根,
23(求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x,7x,1,0各根的相反数(
24(若关于x的方程x,x,a,0的一个根大于1、另一根小于1,求实数a的取值范围(
25(已知关于x的方程x,kx,2,0(
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两根为x和x,如果2(x,x),xx,求实数k的取值范围(121212
26(关于x的方程x,4x,m,0的两根为x,x满足|x,x|,2,求实数m的值(1212
27(已知x,x是关于x的一元二次方程4kx,4kx,k,1,0的两个实数根(12
3
(1)是否存在实数k,使(2x,x)(x,2x),,成立,若存在,求出k的值;若不存在,12122
说明理由;
xx12
(2)求使,,2的值为整数的实数k的整数值;xx21
x1,,,(3)若k,,2,,试求的值(x2
14,
2(十一)二次函数y,ax,bx,c的图像和性质
2二次函数y,ax,bx,c(a?
0)具有下列性质:
2bacb4,2
(1)当a,0时,函数y,ax,bx,c图象开口向上;顶点坐标为,对(,),24aa
bbb称轴为直线x,,;当x,时,y随着x的增大而减小;当x,时,y随着x的,,2a2a2a
24acb,b增大而增大;当x,时,函数取最小值y,(,2a4a
2bacb4,2
(2)当a,0时,函数y,ax,bx,c图象开口向下;顶点坐标为,(,),24aa
bbb对称轴为直线x,,;当x,时,y随着x的增大而增大;当x,时,y随着x,,2a2a2a
24acb,b的增大而减小;当x,时,函数取最大值y,(,2a4a
上述二次函数的性质可以分别通过图2(2,3和图2(2,4直观地表示出来(因此,在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题(
2ybacb4,yb(,),Ax,,24aa2a
OxOx
2bacb4,b(,),Ax,,24aa2a
图2.2-4图2.2-32A(,y例1求二次函数y,,3x,6x,1图象的开口方向、对称
轴、顶点坐标、最大值(或最小值),并指出当x取何值时,y1,4)随x的增大而增大(或减小),并画出该函数的图象(
D(0,1)
BCOx
x,,1图2.2,
5
15,
例2某种产品的成本是120元/件,试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表所示:
X/元130150165
Y/件705035
若日销售量y是销售价x的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为多少元,此时每天的销售利润是多少,
2例3把二次函数y,x,bx,c的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到函2数y,x的图像,求b,c的值(
2例4已知函数y,x,,2?
x?
a,其中a?
2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值(
练习
1(填空题
2
(1)二次函数y,2x,mx,n图象的顶点坐标为(1,,2),则m,,n,(
2
(2)已知二次函数y,x+(m,2)x,2m,当m,时,函数图象的顶点在y轴上;当m
时,函数图象的顶点在x轴上;当m,时,函数图象经过原点(
2(3)函数y,,3(x,2),5的图象的开口向,对称轴为,顶点坐标
为;当x,时,函数取最值y,;当x满足
时,y随着x的增大而减小(
2(求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y随x的变化情况,并画出其图象(22
(1)y,x,2x,3;
(2)y,1,6x,x(
23(已知函数y,,x,2x,3,当自变量x在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值:
(1)x?
2;
(2)x?
2;(3),2?
x?
1;(4)0?
x?
3(
16,
(十二)二次函数的三种表示方式
二次函数可以表示成以下三种形式:
21(一般式:
y,ax,bx,c(a?
0);
22(顶点式:
y,a(x,h),k(a?
0),其中顶点坐标是(,h,k)(
3(交点式:
y,a(x,x)(x,x)(a?
0),其中x,x是二次函数图象与x轴交点的横坐标(1212
今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题(
例1已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y,x,1上,并且图象经过点(3,,1),求二次函数的解析式(
例2已知二次函数的图象过点(,3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式(
例3已知二次函数的图象过点(,1,,22),(0,,8),(2,8),求此二次函数的表达式(
练习
1(填空:
2
(1)函数y,,x,x,1图象与x轴的交点个数是
12
(2)函数y,,(x,1),2的顶点坐标是2
(3)已知二次函数的图象经过与x轴交于点(,1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设
为y,a(a?
0)(2(4)二次函数y,,x+23x,1的函数图象与x轴两交点之间的距离为(2(根据下列条件,求二次函数的解析式(
(1)图象经过点(1,,2),(0,,3),(,1,,6);
17,
(2)当x,3时,函数有最小值5,且经过点(1,11);
(3)函数图象与x轴交于两点(1,2,0)和(1,2,0),并与y轴交于(0,,2)(
x,1(4)函数图象关于对称,且与轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0)x
(十三)一元二次不等式解法
(1)
2二次函数y,x,x,6的对应值表与图象如下:
x,3,2,101234
y60,4,6,6,406
由对应值表及函数图象(如图2.3,1)可知2当x,,2,或x,3时,y,0,即x,x,6,0;
2当x
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