第三章《三角恒等变换教材分析》教案新人教B版.docx

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第三章《三角恒等变换教材分析》教案新人教B版

数学：

第三章《三角恒等变换教材分析》教案（新人教B版必修4）

必修4第三章三角恒等变换教材分析

（一）编写特色

1．用向量证明和角公式，引导学生用向量研究和差化积公式。

2．建立和角公式与旋转变换之间的联系。

3．融入算法，引导学生找出求正弦函数值的算法。

4．引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、积化和差公式。

5．和角公式在三角恒等变换及三角计算中的应用。

（二）内容结构

1．内容编排

本章的主要内容是和角公式、倍角公式和半角公式、三角函数的积化和差公式与和差化积公式，为了引起学生学习本章的兴趣，同时为了加强三角变换的实际应用，本章的开篇从一个实际问题出发，通过数学化，得到一个必须通过三角变换才能解决的数学问题，从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。

全章共分三大节。

第一大节，首先利用向量的方法证明了两角差的余弦公式，接着导出两角和的余弦公式，再利用诱导公式推出两角和、差的正弦公式，又利用同角三角函数关系式推出两角和、差的正切公式；

第二大节，推导出倍角公式和半角公式。

第三大节，推导出积化和差与和差化积公式，并通过例题讲解以上各公式的应用。

2，地位与作用

变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一。

代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。

在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换。

在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换，通过本章学习，学生的推理能力和运算能力将得到进一步提高。

三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力，本章将通过三角恒等变形揭示一些问题的数学本质。

3．重点与难点

本章的重点是掌握和角公式的推导过程；难点是理解和角公式的几何意义。

4．本章知识结构

（三）课时分配

本章教学时间约8课时，具体分配如下：

3．1和角公式

3．1．1两角和与差的余弦2课时

3．1．2两角和与差的正弦1课时

3．1．3两角和与差的正切1课时

3．2倍角公式和半角公式

3．2．1倍角公式1课时

3．2．2半角的正弦、余弦和正切1课时

3．3三角函数的积化和差与和差化积1课时

本章小结1课时

课题3．1．1两角和与差的余弦

（一）

（一）教学目标：

知识目标：

理解并掌握两角和、差的余弦公式及其推导过程，理解公式的使用条件；会用公式求值

能力目标：

培养学生观察分析、类比、联想能力；推理能力及交流探讨能力。

情感目标：

通过问题的引入及对问题的探讨解决激发学生学习数学的兴趣，通过公式的推导培养数学思想方法和良好的思维品质。

（二）教学重点和难点：

本节课的重点是掌握公式结构，会用公式求值；难点是两角差的余弦公式的推导

（三）教学方法：

教师通过问题的创设启发学生探讨解决问题的途径和方法；教师启发式的讲授以及师生、生生间的探讨为一体的教学方式

（四）教学过程：

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图复习引入

首先复习两个向量的数量积的两种形式的运算公式；

引入新课：

利用课本本章开头的问题引入新课。

先让学生阅读书中的问题，并思考如何将其中的实际问题转化成数学问题？

进而思考你是否能够用你储备的知识解此数学问题吗？

就此提出是否成立？

师生共同探讨。

从而引出本章节的所研究的内容，即如何用，，，表示的三角函数呢？

本节课我们首先研究的余弦函数。

以旧引新、对实际问题出发的思考探讨得到数学问题，从而激发学生对本章的学习兴趣。

教学过程

1、公式推导和理解：

问题1、已知：

点，，，求的大小？

问题2、已知：

点，，，

求的大小？

引导学生用向量方法求的余弦值。

师问：

由余弦值的表达式你能发现什么？

生答：

师问：

如果定义直线与轴的正方向的夹角为，直线与轴的正方向的夹角为，那么上式又揭示了什么结论呢？

此时如何用，表示？

师生共同探讨得出公式：

此时让学生看书有关公式的具体证明过程。

通过求两个已知向量的夹角问题以及三角函数定义的应用得出新的结论，使学生体会和认识到"温故而知新"的研究数学问题的思想方法。

教学过程

2、公式的深化：

师问：

对公式的思考

（1）观察结构特点；

（2）公式的使用条件；（3）如何得出

使学生牢记公式并再一次亲身体会利用旧知识推出新结论的过程，同时培养学生的化归的数学思想方法。

教学过程

3公式的应用

例1，例2练习B中1；

教师讲评

通过练习总结出以下内容：

（1）将一般的角转化为特殊角的和或差，可以不查表；

（2）在运用公式时，不仅会正用而且要善于逆用；

（3）让学生编出相应的题目。

训练学生正用和逆用公式，加深对公式结构的记忆，同时培养学生逆向思维方法。

让学生认识到求一个一般角的余弦值可以转化为特殊角的和或差的余弦值的数学转化思想归纳小结

让学生谈收获和体会布置作业

看书复习，并预习例2和例3并尽所能的做练习A\、B中的习题备注：

三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力，课本的题目应适当拓展。

课题3.1.1两角和与差的余弦

（2）

（一）教学目标

1、知识目标：

会用公式求值和证明。

2、能力目标：

培养学生分析问题解决问题的能力，推理，联想能力。

3、情感目标：

发展学生的正向，逆向思维能力，前后知识灌溉和呼应的能力，培养良好、严谨的数学思维品质。

（二）教学重点，难点

重点是运用公式求值，证明，并建立与原有知识（诱导公式），方法（旋转变换）的联系。

难点是公式的变形和逆向应用。

（三）教学方法

教师按照例题设计的思路适度引导学生自发地思考问题，通过提问，讨论等形式来促使学生自己思考，自发学习，获得解决问题的途径，同时构建基于旧有知识的更新结构体系。

同时，通过切身的尝试和参与来实现思维能力的提升，以达到对这一公式熟练掌握和灵活运用的目的。

（四）教学过程

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图复习引入

复习公式

让学生默写两角和与差的余弦公式。

同时，从公式形式出发，让学生总结提炼该公式的本质思想：

讨论角的余弦和单角的正弦，余弦函数间的关系，于是，利用这一公式我们可以用已知特殊角来求得某些角的余弦。

温习所学，引导学生积极思考，进而由简渐繁，强化应用。

设置例题，

复习强化P135A,2

（2）（3）

学生练习，板演，教师讲评。

是对公式的简单应用。

在第二个问题的处理上要用到诱导公式。

也是为下一步工作的开展做铺垫。

形式出发，小作提升

教材例2。

分析，解决完此问题之后，通过练习B中题目2来巩固该方法和步骤。

思考：

由公式形式来看，对其应用是不是仅仅局限于特殊角？

由对公式的理解我们知道：

由公式出发，比特殊角更广泛的角可以加入进来。

前提是只要知道其正，余弦值。

看教材中的例2。

提问：

欲求其值，打算用何工具？

题目中是否具有了该工具可行的条件？

该条件能否实现？

如能，怎么实现？

通过学生讨论，找到解决问题的办法--利用和角余弦公式，通过判断各象限角的正，余弦的符号这一部分内容完成题目的瓶颈问题。

再利用公式得结果。

在以上过程中感受解决此类问题的思想，步骤。

进一步，通过学生对练习B中题目2的练习达到巩固这一类问题的目的。

小议证明，建立联系教材例3思考：

通过已有的知识，能否判断该等式成立？

依据是什么？

通过对上问题的思考温习诱导公式部分的内容以及方法（是用单位圆以及对称性来实现的）。

进一步问题：

还有没有其他的方法来说明这件事情？

引导学生从形式的角度结合新获得的工具来看待这个问题。

公式的左边可以看作两角和的余弦值，从而想到用两角和的余弦公式尝试证明。

具体而言，即用来代替公式中的，则不难推出等式成立。

问题：

能否用推出其他余弦形式的诱导公式？

既完成了旧知识的复习又巩固了新知识。

从实际操作得出：

证明结论的途径不唯一。

在该例题的结论上，不难推广到一般，建立起诱导公式与的联系，知道诱导公式是的特例，引导学生探究由推出其他余弦形式的诱导公式。

体会数学内在的和谐，联系之美。

灵活逆用，巩固新知B,4

（2），5

（1）

引导学生用整体的观点来看待变量从而达到方便处理的目的：

形式上看是两个角，但此处视为一整体。

同时化简的过程又是公式逆用的形式；在第二个证明上，可以从右往左推，利用公式展开即可，也可以从左往右，先写成具体的再用公式。

也是公式逆用的一个练习。

公式的应用不只局限在从左到右的正用，还要锻炼从右到左的逆用。

有助于活跃思维，简化问题，提高数学素养。

归纳小结

总结用该公式可以解决哪些类型的问题，主要的方法和步骤是什么。

公式的贡献主要体现在"求值"和"证明"；而证明过程中所用到的方法又是不唯一的，在不同的工具之间又可以建立联系。

及时小结，有利于形成解题技巧和知识网络。

布置作业

教材练习：

P135A、2（4）;3

（1）

B、3;5

（2）

课后思考题：

sin15能否不查表而求值?

培养学生主动思考,沟通知识间联系的一种习惯，同时为下一节课的开展做铺垫。

备注：

（1）在教学安排上，注意了知识之间的前后联系和互相灌溉作用，可以布置较为开放性的题目，使学生自己建立科学又符合自身认知规律的知识体系网；

（2）在题目的设计上，如果能加入向量工具的思想应该更能强化学生对于知识模块间联系的理解。

在这个问题上似乎还需要更深入的探索。

课题3.1.2两角和与差的正弦

一、教学目标

⒈知识目标：

掌握两角和与差公式的推导过程；

⒉能力目标：

培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；

⒊情感目标：

发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。

二、教学重点、难点

重点：

两角和与差公式的应用和旋转变换公式；

难点：

两角和与差公式变aSina＋bCosa为一个角的三角函数的形式。

三、教学方法

温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点

四、教学过程

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

复习：

⑴Cos（αβ）=？

　⑵Sin（π/2－α）=?

　⑶任意角三角函数的定义：

若p（x，y）︱op︱=r

则Sinα=?

Cosα=?

学生回答

为证明Sin（αβ）作好准备。

公式推导及理解

例：

求证：

Sin（α+β）=SinαCosβ+CosαSinβ

证明：

（略）求证：

Sin（α－β）=SinαCosβ－CosαSinβ

分析：

等式两边的特征？

如何由左→右把α+β的正弦化成α、β的正、余弦？

联系所学知识，已学过的哪一个公式可把α+β的三角函数化成α、β的函数形式？

（学生回答）故需要把（α+β）的正弦化成与α+β的相关的余弦形式即可。

问：

Sin（α+β）应化成哪个角的余弦形式？

问：

Cos[－（α+β）]又如何展开才可得到α、β的正、余弦形式？

学生证明

注重分析，使学生理解知识间的相互转化。

巩固Sin（α+β）的推导过程。

公式的深化

（标题）两角和与差的正弦

Sin（α+β）=SinαCosβ+CosαSinβ

Sin（α－β）=SinαCosβ－CosαSinβ

（1）公式的特征及与两角和与差的余弦的区别

（2）公式的作用

正用：

求非特殊角的正弦值。

如：

求

Sin75°=？

Sin15°=？

逆用：

把具有角α、β的正余弦交叉积的形式化简求值。

如Sin22°Cos38°＋Cos22°Sin38°=?

练习：

P138/2⑴-⑸，3

巩固公式

公式的应用

例1：

已知向量=（3，4）逆时针旋转

45°到的位置，求点p'（x'，y'）的坐标。

解：

（略）

例2：

已知点P（x，y）与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到点p'（x'，y'）

求证：

x'=xCosθ－ySinθ

　y'=xSinθ＋yCosθ

证明：

（略）

注：

这个结论叫旋转变换公式

练习：

P139/2

例3：

求函数y=aSinx+bCosx的最大值和最小值，其中a，b是不同时为零的实数。

解：

（略）

注：

凡形如的相关问题，一般提出去处理。

练习：

（1）求y=Sinx＋Cosx的最值和周期

（2）p138例5

问题：

求点p'（x'，y'）的坐标必须知怎样的条件？

由所给点P的坐标可知哪些结论？

师生共同完成解答过程

若把向量=（3，4）改为=（x，y），结论变吗？

再把45°改为θ，对结论有影响吗？

学生证明。

问：

公式的记忆规律？

问题：

欲求函数y=aSinx+bCosx的最值和周期，必须化成什么形式？

已知表达式中的Sinx、Cosx系数变成同一个角θ的余弦、正弦方可。

设P（a，b），则

设以op为终边的一个角为θ，则Cosθ、Sinθ即可用a、b表示

此时需对y=aSinx+bCosx做怎样的变形？

问题：

y=aSinx＋bCosβ还可提吗？

学生练习

学生看书

培养学生的分析能力和运算推理能力

归纳小结

本节所学知识：

Sin（α±β）公式的推导及Sin（α±β）的应用。

师生一起总结

培养学生的归纳整理的学习习惯作业P139/A4，B1，3备注：

⑴注重教学过程，注重探索，应贯穿于每一节课的始终。

⑵充分挖掘知识之间、例题之间、例题与练习之间的内在联系，创设问题情景，激发学生的学习兴趣。

⑶通过不断地提出问题、解决问题，逐步培养学生的分析问题解决问题的能力。

课题3．1．3两角和与差的正切

（一）教学目标

1．知识目标：

掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会用公式求值。

2．能力目标：

培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力（即不能直接套公式，需要变化条件，寻找依据，才能推出结论）；自学能力。

3．情感目标：

发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质

（二）教学重点、难点

重点是公式的结构特点及其推导方法、成立条件，运用公式求值

难点是公式的逆向和变形运用。

（三）教学方法

教师按照课本的知识结构先设计若干问题（即"知识台阶"），课前印发给学生，引导他们阅读课本。

课堂上在教师三导（引导、指导、辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读、议、练、讲，其间教师通过提问、参与讨论，巡视学生练习及板演、观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡之中。

（四）教学过程教学环节

教学内容

　师生互动

　设计意图复习引入

　复习公式和并由此提出问题，引入新课

先让学生默写两角和与差的正弦、余弦公式，然后指出这两个公式是讨论复角与单角的正弦、余弦函数的关系，且此关系对任意角均成立，那么，能否用和来表示呢？

　以旧引新，注意创设问题的情境，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动。

公式的推导入理解

公式的推导及两角和与差的正切公式的"三掌握"

学生阅读课本中"两角和与差的正切"公式的推导，教师板书课题和公式的推导过程。

阅毕思考讨论：

（投影）

（1）公式是如何推导出来的？

有什么限制？

（2）公式有何特点？

如何记忆？

（3）公式有何用处？

有何变形？

由学生回答上述问题，教师点评，结论如下：

（1）由两角和与差的正弦、余弦公式可推导正切公式：

　.通过对三个问题的分析讨论，使学生对公式有一个清晰完整的认识，为公式的灵活运用打下基础，并给学生一个自由的空间，逐步培养他们的自学能力。

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

　由正切函数的定义域可知，公式成立的条件是都不能取。

（2）注意符号与等式的结构特征，可理解记忆，对比记忆。

（3）此公式可用来求值，进行三角变换等（学生的回答可能有很多种，教师择要归纳）注意公式的逆向形式和变形形式。

公式的深化

对两角和与差的正切公式"三想"

（1）特想：

？

有何限制条件？

（2）联想：

如何推导两角各与差的余切公式？

有几种方法？

（3）扩想：

？

由学生推导。

对公式进行深挖掘，显示其"辐射""作用，培养学生的分析、联想能力、优化思维品质

公式的应用

两角和与差的正切公式的"三会用"。

例1求出下列各式的精确值：

（1）;

（2）巩固练习一：

练习A，1，2；练习B，2，3。

例2不查表，求值：

巩固练习二：

练习A3

（1）；练习B，第1题。

例3不查表，求值：

（1）

（2）

例1学生练习、板演、教师讲评，注意几个问题：

（1）将一般角转化为特殊角的和或差，可以不查表求值；

（2）运用公式时，不能仅局限在从左到右的正用，还要善于从右到左的逆用。

例2学生思考、讨论解决，教师巡视指导，然后教师提问，学生回答．

　师：

有几种解法？

如何求解？

　生：

两种，

（一）：

先求出，再求值；

（二）用代换１，再逆用公式．

　师：

哪种解法运算简捷？

　生：

（２）

　师：

此法运用的关键是什么？

　生：

１的代换，配凑公式．

　教师指出，这里运用了观察、联想、转化的数学思想。

　例３　学生思考讨论，教师进行必要的启发引导。

　生：

先求出再求解。

　师：

还有其他解法吗？

（略停顿，启发学生回答）这个式子有什么特点？

；出现有"和""。

师：

好，由此你能联想到什么？

例１是使学生掌握公式的正向和逆向运用，并进一步熟悉公式的特征，为后在的灵活运用作铺垫。

例２是一道典型例题，对它的解法的深入探讨，有益于启发学生思维，提高学生的解题能力；且在解题过程中提炼思想方法，有利于培养学生良好的数学思维品质。

例３通过具体例子显示出灵活运用公式的优越性，必将给学生留下深刻的印象，及时小结，升华公式，有利于学生解题技巧的形成。

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

生：

师：

请试解这一题。

　学生做题，教师巡视指导，并让学生板演．

　点评：

在公式中，体现了，三者之间的关系，通过变形，可得

让学生完成第（２）小题，并板演。

　归纳小结

从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结。

对公式做到三个"三"：

即"三掌握""三想""三会用"

使学生对所学内容有一个清晰完整的认识，并点出学习三角公式的基本方法。

布置作业

教材习题３－１Ａ，５

教材习题３－１Ｂ，１

教材习题第６题

巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时给学有余力的学生留出自由发展的空间。

备注补充

　公式变形应用：

　计算

（1）

（2）已知，求证：

（3）课后思考题：

当，并且存在时，与有何关系？

其逆命题成立吗？

课题3.2.1倍角公式

一教学目标

1.知识目标

掌握公式的推导，明确的取值范围；

能运用二倍角公式求三角函数值

2.能力目标

通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力

通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力

3.情感目标

通过公式的推导，了解半角公式间以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点

二教学重点、难点

重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的两种变形；

难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系、诱导公式、和角公式的综合应用。

三、教学方法

本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式，对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。

四、教学过程

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图　复　习　引　入

复习两角和与差的三角函数公式

先让学生回忆两角和与差的正弦、余弦、正切公式的来龙去脉，并请一个同学把这六个公式写在黑板上

学生板演

教师点评这些公式：

一方面要从公式的推导上去理解它，另一方面要从公式的结构特点上去记忆，还要注意公式的正、用、逆用和变用。

今天，我们继续学习二倍角的正弦、余弦和正切公式

温旧知新，让学生明确学习的内容　公　式　的　推　导探索研究

二倍角的

正弦、余弦

和正切公式

请学生想一想，在公式中对如何合理赋值，才能出现sin2,cos2,tan2的表达式，并请同学把对应的等式写在黑板上

学生板演

教师提出问题：

二倍角的正切公式还有没有其它的推导方法

学生课后思考

1.引导学生运用已学过的两角和的三角函数公式推得二倍角公式，使学生理解二倍角公式就是两角和的三角函数公式的特例，这样有助于公式的记忆

2.问题的提出可以让学生了解公式的不同推导方法，有助于学生发散思维的培养　公　式　的　深　化　理　解1.

二倍角的

正切公式

的适用范围

2．二倍角余弦公式的不同表现形式

提出对于公式，我们要注意些什么？

请学生想一想要关注什么？

公式中的有限制吗？

学生回答要使有意义，需分母有意义

师生讨论要使tan2有意义，取值范围

提出对于cos2=cos2-sin2，还有没有其他的形式？

学生板演

教师板书三个公式，并告诉学生公式记号分别为，对二倍角公式大家要注意以下问题：

（1）用单角的三角函数表示复角的三角函数；

（2）有三种形式，是有条件的

使学生掌握二倍角的余弦公式的不同表示形式，并掌握二倍有正切公式的适用范围，以加深对公式的认识和理解，培养严谨的数学思维品质

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

公式的应用例1．已知，

求sin2,cos2,tan2的值

巩固练习一：

练习A，1,2，3。

例2．证明恒等式：

巩固练习二：

习题3-2A,3

（1）

（2）（3）例1．可让学生自己解决，本题也可按其程它的程序来做，并让学生比较方法之优劣。

师：

证明恒等式有哪些途径？

生：

一是由左边证到右边，二是由右边证到左边，三是左右两边同时变形为同一个式子。

师：

针对例2待证恒等式中式子的特点，我们应采取哪种途径？

生：

由左边证到右边

师：

下面同学们自己试着证明该题

完成后学生完成巩固练习二

例1是两倍角公式的应用求值问题，同时复习了同角的三角函数关系及三角函数的符号问题，为学生展示不同的解题方法，可培养学生灵活运用知识解决问题的能力

例2是一个三角恒等式的证明问题，要引导学生运用合理的途径进行证明

归纳小结

（1）说明二倍角的三角函数公式是两角和与差的三角函数公式的特例

（2）中角没有限制条件，而中，有限制条件

（3）要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键

（4）cos2有三种形式，要依据条件，灵活选用公式。

另外，逆用此公式时，更要注意结构形式。

引导学生总结回顾，可采取提问的方式进行

系统地总结回顾本节课所学的内容有助于学生形成清晰的知识网络

布置作业

层次一：

教材练习B，1,2

层次二：

教材练习B，1,2，3,4；教材习题3-2A，4

（2）

作业分三个层次，

第一层次要求所有学生都要完成；

第二层次要求学有余力的学生完成；

通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容，并为有余力的学生的发展提供更加广阔的空间

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

　布置作业

层次三：

.教材练习B，1,2，3

（1）

（2）（3）

第三层次要求学有余力的学生完成

通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容，并为有余力的学生的发展提供更加广阔的空间

　备注

实施新教材，教师该如何"采集"和"创生"有效的教学素材，寻找适合学生的教学设计，使学生获得最优的发展是这节课要体现的设计理念.

1.以旧引新,明确学习内容.―――