第四章 归纳与发现.docx

第四章 归纳与发现.docx

《第四章 归纳与发现.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章 归纳与发现.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第四章归纳与发现

第四章 归纳与发现

归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．

　　例1如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点（相邻两边公用一个点）；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？

这个点阵共有多少个点？

分析与解我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．第一层有点数：

1；

第二层有点数：

1×6；

第三层有点数：

2×6；

第四层有点数：

3×6；

……

第n层有点数：

（n-1）×6.

　　因此，这个点阵的第n层有点（n-1）×6个．n层共有点数为

　　例2在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：

（1）这n个圆把平面划分成多少个平面区域？

（2）这n个圆共有多少个交点？

　　分析与解

（1）在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个（取这n个特定的圆），观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？

为此，我们列出表18．1．

　　由表18．1易知

S2-S1=2，

S3-S2＝3，

S4-S3＝4，

S5-S4＝5，

……

　　由此，不难推测

Sn-Sn-1＝n．

　　把上面（n-1）个等式左、右两边分别相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋…＋n，

　　因为S1=2，所以

下面对Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明．

　　因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

（2）与

（1）一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．

　　由表18．2容易发现

a1＝1，

a2-a1＝1，

a3-a2＝2，

a4-a3＝3，

a5-a4＝4，

……

an-1-an-2＝n-2，

an-an-1＝n-1．

　　n个式子相加

　　注意请读者说明an=an-1＋（n-1）的正确性．

　　例3设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果b=n（n是自然数），试问这样的三角形有多少个？

　　分析与解我们先来研究一些特殊情况：

（1）设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，…．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．

（2）设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．

　　这时满足条件的三角形总数为：

1+2=3．

　　（3）设b=n=3，类似地可得表18．4．

　　这时满足条件的三角形总数为：

1＋2＋3=6．

　　通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

　　这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n个值（1，2，3，…，n），对应于a的每个值，不妨设a=k（1≤k≤n）．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个（n，n＋1，n＋2，…，n＋k-1）．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

　　例4设1×2×3×…×n缩写为n！

（称作n的阶乘），试化简：

1！

×1＋2！

×2＋3！

×3＋…＋n！

×n.

　　分析与解先观察特殊情况：

（1）当n=1时，原式=1=（1＋1）！

-1；

（2）当n=2时，原式=5=（2＋1）！

-1；

　　（3）当n=3时，原式=23=（3＋1）！

-1；

　　（4）当n=4时，原式=119=（4＋1）！

-1．

　　由此做出一般归纳猜想：

原式=（n+1）！

-1.

　　下面我们证明这个猜想的正确性．

　　1+原式=1+（1！

×1＋2！

×2＋3！

×3+…+n！

×n）

　　　　　=1！

×2＋2！

×2＋3！

×3+…+n！

×n

　　　　　=2！

+2！

×2＋3！

×3＋…+n！

×n

　　　　　=2！

×3+3！

×3+…＋n！

×n

　　　　　=3！

+3！

×3+…+n！

×n＝…

　　　　　=n！

+n！

×n=（n＋1）！

，

　　所以原式=（n+1）！

-1.

　　例5设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．

　　分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有

x3＜x2+x+2．①

　　设x=10，则有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

　　设x=100，则有x3＞x2+x+2．

　　观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：

当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．

　　那么自然会想到：

当x=？

时，x3=x2+x+2呢？

如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．为此，设x3=x2＋x＋2，则

x3-x2-x-2＝0，

（x3-x2-2x）＋（x-2）=0，

（x-2）（x2+x+1）=0．

　　因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样

（1）当x=2时，x3=x2+x+2；

（2）当0＜x＜2时，因为

x-2＜0，x2+x+2＞0，

　　所以（x-2）（x2＋x+2）＜0，

即

x3-（x2＋x+2）＜0，

　　所以x3＜x2＋x＋2.

　　（3）当x＞2时，因为

x-2＞0，x2+x+2＞0，

　　所以（x-2）（x2+x+2）＞0，

　　即

x3-（x2＋x＋2）＞0，

　　所以x3＞x2＋x＋2．

　　综合归纳

（1），

（2），（3），就得到本题的解答．

练习七

　　1．试证明例7中：

　　2．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行（即每两条直线都相交），也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：

（1）这n条直线共有多少个交点？

（2）这n条直线把平面分割为多少块区域？

　　然后做出证明.）

　　3．求适合x5=656356768的整数x．

　　（提示：

显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：

505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．）