人教版八年级数学教案详细含练习题和答案.docx
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人教版八年级数学教案详细含练习题和答案
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第十六章分式
16.1分式
16.1.1从分数到分式
一、教学目标
1.了解分式、有理式的概念.
2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件.
二、重点、难点
1.重点:
理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件.
2.难点:
能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件.
三、课堂引入
1.让学生填写P4[思考],学生自己依次填出:
,,,.
2.学生看P3的问题:
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
请同学们跟着教师一起设未知数,列方程.
设江水的流速为x千米时.
轮船顺流航行100千米所用的时间为小时,逆流航行60千米所用时间小时,所以=.
3.以上的式子,,,,有什么共同点?
它们与分数有什么相同点和不同点?
五、例题讲解
P5例1.当x为何值时,分式有意义.
[分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解
出字母x的取值范围.
[提问]如果题目为:
当x为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?
这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.
(补充)例2.当m为何值时,分式的值为0?
(1)
(2)(3)
[分析]分式的值为0时,必须同时满足两个条件:
分母不能为零;
分子为零,这样求出的m的解集中的公共部分,就是这类题目的解.
[答案]
(1)m=0
(2)m=2(3)m=1
六、随堂练习
1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式?
9x+4,,,,,
2.当x取何值时,下列分式有意义?
(1)
(2)(3)
3.当x为何值时,分式的值为0?
(1)
(2)(3)
七、课后练习
1.列代数式表示下列数量关系,并指出哪些是正是?
哪些是分式?
(1)甲每小时做x个零件,则他8小时做零件个,做80个零件需小时.
(2)轮船在静水中每小时走a千米,水流的速度是b千米时,轮船的顺流速度是千米时,轮船的逆流速度是千米时.
(3)x与y的差于4的商是.
2.当x取何值时,分式无意义?
3.当x为何值时,分式的值为0?
八、答案:
六、1.整式:
9x+4,,分式:
,
2.
(1)x≠-2
(2)x≠(3)x≠±2
3.
(1)x=-7
(2)x=0(3)x=-1
七、1.18x,,a+b,,;整式:
8x,a+b,;
分式:
2.X=3.x=-1
课后反思:
16.1.2分式的基本性质
一、教学目标
1.理解分式的基本性质.
2.会用分式的基本性质将分式变形.
二、重点、难点
1.重点:
理解分式的基本性质.
2.难点:
灵活应用分式的基本性质将分式变形.
三、例、习题的意图分析
1.P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母(或分子),乘以或除以了什么整式,然后应用分式的基本性质,相应地把分子(或分母)乘以或除以了这个整式,填到括号里作为答案,使分式的值不变.
2.P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是:
约分是要找准分子和分母的公因式,最后的结果要是最简分式;通分是要正确地确定各个分母的最简公分母,一般的取系数的最小公倍数,以及所有因式的最高次幂的积,作为最简公分母.
教师要讲清方法,还要及时地纠正学生做题时出现的错误,使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.
3.P11习题16.1的第5题是:
不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题,但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变.
“不改变分式的值,使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一,所以补充例5.
四、课堂引入
1.请同学们考虑:
与相等吗?
与相等吗?
为什么?
2.说出与之间变形的过程,与之间变形的过程,并说出变形依据?
3.提问分数的基本性质,让学生类比猜想出分式的基本性质.
五、例题讲解
P7例2.填空:
[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式,使分式的值不变.
P11例3.约分:
[分析]约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式,使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式,约分的结果要是最简分式.
P11例4.通分:
[分析]通分要想确定各分式的公分母,一般的取系数的最小公倍数,以及所有因式的最高次幂的积,作为最简公分母.
(补充)例5.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
,,,,。
[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号,其中两个符号同时改变,分式的值不变.
解:
=,=,=,=,=。
六、随堂练习
1.填空:
(1)=
(2)=
(3)=(4)=
2.约分:
(1)
(2)(3)(4)
3.通分:
(1)和
(2)和
(3)和(4)和
4.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
(1)
(2)(3)(4)
七、课后练习
1.判断下列约分是否正确:
(1)=
(2)=
(3)=0
2.通分:
(1)和
(2)和
3.不改变分式的值,使分子第一项系数为正,分式本身不带“-”号.
(1)
(2)
八、答案:
六、1.
(1)2x
(2)4b(3)bn+n(4)x+y
2.
(1)
(2)(3)(4)-2(x-y)2
3.通分:
(1)=,=
(2)=,=
(3)==
(4)==
4.
(1)
(2)(3)(4)
课后反思:
16.2分式的运算
16.2.1分式的乘除
(一)
一、教学目标:
理解分式乘除法的法则,会进行分式乘除运算.
二、重点、难点
1.重点:
会用分式乘除的法则进行运算.
2.难点:
灵活运用分式乘除的法则进行运算.
三、例、习题的意图分析
1.P13本节的引入还是用问题1求容积的高,问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍,这两个引例所得到的容积的高是,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.引出了分式的乘除法的实际存在的意义,进一步引出P14[观察]从分数的乘除法引导学生类比出分式的乘除法的法则.但分析题意、列式子时,不易耽误太多时间.
2.P14例1应用分式的乘除法法则进行计算,注意计算的结果如能约分,应化简到最简.
3.P14例2是较复杂的分式乘除,分式的分子、分母是多项式,应先把多项式分解因式,再进行约分.
4.P14例3是应用题,题意也比较容易理解,式子也比较容易列出来,但要注意根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a2-2a+1 四、课堂引入 1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高,问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍. [引入]从上面的问题可知,有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手,类比出分式的乘除法法则. 1.P14[观察]从上面的算式可以看到分式的乘除法法则. 3.[提问]P14[思考]类比分数的乘除法法则,你能说出分式的乘除法法则? 类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论. 五、例题讲解 P14例1. [分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简,还应注意在计算时跟整式运算一样,先判断运算符号,在计算结果. P15例2. [分析]这道例题的分式的分子、分母是多项式,应先把多项式分解因式,再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式,而是多个多项式相乘是不必把它们展开. P15例. [分析]这道应用题有两问,第一问是: 哪一种小麦的单位面积产量最高? 先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积,再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量,分别是、,还要判断出以上两个分式的值,哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a2-2a+1 六、随堂练习 计算 (1) (2)(3) (4)-8xy(5)(6) 七、课后练习 计算 (1) (2)(3) (4)(5)(6) 八、答案: 六、 (1)ab (2)(3)(4)-20x2(5) (6) 七、 (1) (2)(3)(4) (5)(6) 课后反思: 16.2.1分式的乘除 (二) 一、教学目标: 熟练地进行分式乘除法的混合运算. 二、重点、难点 1.重点: 熟练地进行分式乘除法的混合运算. 2.难点: 熟练地进行分式乘除法的混合运算. 三、例、习题的意图分析 1.P17页例4是分式乘除法的混合运算.分式乘除法的混合运算先把除法统一成乘法运算,再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式,最后进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式. 教材P17例4只把运算统一乘法,而没有把25x2-9分解因式,就得出了最后的结果,教师在见解是不要跳步太快,以免学习有困难的学生理解不了,造成新的疑点. 2,P17页例4中没有涉及到符号问题,可运算符号问题、变号法则是学生学习中重点,也是难点,故补充例题,突破符号问题. 四、课堂引入 计算 (1) (2) 五、例题讲解 (P17)例4.计算 [分析]是分式乘除法的混合运算.分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算,再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式,最后进行约分,注意最后的计算结果要是最简的. (补充)例.计算 (1) =(先把除法统一成乘法运算) =(判断运算的符号) =(约分到最简分式) (2) = (先把除法统一成乘法运算) = (分子、分母中的多项式分解因式) = = 六、随堂练习 计算 (1) (2) (3)(4) 七、课后练习 计算 (1) (2) (3)(4) 八、答案: 六. (1) (2)(3)(4)-y 七. (1) (2)(3)(4) 课后反思: 16.2.1分式的乘除(三) 一、教学目标: 理解分式乘方的运算法则,熟练地进行分式乘方的运算. 二、重点、难点 1.重点: 熟练地进行分式乘方的运算. 2.难点: 熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 三、例、习题的意图分析 1.P17例5第 (1)题是分式的乘方运算,它与整式的乘方一样应先判 断乘方的结果的符号,在分别把分子、分母乘方.第 (2)题是分式的乘除与乘方的混合运算,应对学生强调运算顺序: 先做乘方,再做乘除.. 2.教材P17例5中象第 (1)题这样的分式的乘方运算只有一题,对于初学者来说,练习的量显然少了些,故教师应作适当的补充练习.同样象第 (2)题这样的分式的乘除与乘方的混合运算,也应相应的增加几题为好. 分式的乘除与乘方的混合运算是学生学习中重点,也是难点,故补充例题,强调运算顺序,不要盲目地跳步计算,提高正确率,突破这个难点. 四、课堂引入 计算下列各题: (1)==() (2)==() (3)==() [提问]由以上计算的结果你能推出(n为正整数)的结果吗? 五、例题讲解 (P17)例5.计算 [分析]第 (1)题是分式的乘方运算,它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号,再分别把分子、分母乘方.第 (2)题是分式的乘除与乘方的混合运算,应对学生强调运算顺序: 先做乘方,再做乘除. 六、随堂练习 1.判断下列各式是否成立,并改正. (1)= (2)= (3)=(4)= 2.计算 (1) (2)(3) (4)5) (6) 七、课后练习 计算 (1) (2) (3)(4) 八、答案: 六、1. (1)不成立,= (2)不成立,= (3)不成立,=(4)不成立,= 2. (1) (2)(3)(4) (5)(6) 七、 (1) (2)(3)(4) 课后反思: 16.2.2分式的加减 (一) 一、教学目标: (1)熟练地进行同分母的分式加减法的运算. (2)会把异分母的分式通分,转化成同分母的分式相加减. 二、重点、难点 1.重点: 熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 2.难点: 熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 三、例、习题的意图分析 1.P18问题3是一个工程问题,题意比较简单,只是用字母n天来表示甲工程队完成一项工程的时间,乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天,两队共同工作一天完成这项工程的.这样引出分式的加减法的实际背景,问题4的目的与问题3一样,从上面两个问题可知,在讨论实际问题的数量关系时,需要进行分式的加减法运算. 2.P19[观察]是为了让学生回忆分数的加减法法则,类比分数的加减法,分式的加减法的实质与分数的加减法相同,让学生自己说出分式的加减法法则. 3.P20例6计算应用分式的加减法法则.第 (1)题是同分母的分式减法的运算,第二个分式的分子式个单项式,不涉及到分子变号的问题,比较简单,所以要补充分子是多项式的例题,教师要强调分子相减时第二个多项式注意变号; 第 (2)题是异分母的分式加法的运算,最简公分母就是两个分母的乘积,没有涉及分母要因式分解的题型.例6的练习的题量明显不足,题型也过于简单,教师应适当补充一些题,以供学生练习,巩固分式的加减法法则. (4)P21例7是一道物理的电路题,学生首先要有并联电路总电阻R与各支路电阻R1,R2,…,Rn的关系为.若知道这个公式,就比较容易地用含有R1的式子表示R2,列出,下面的计算就是异分母的分式加法的运算了,得到,再利用倒数的概念得到R的结果.这道题的数学计算并不难,但是物理的知识若不熟悉,就为数学计算设置了难点.鉴于以上分析,教师在讲这道题时要根据学生的物理知识掌握的情况,以及学生的具体掌握异分母的分式加法的运算的情况,可以考虑是否放在例8之后讲. 四、课堂堂引入 1.出示P18问题3、问题4,教师引导学生列出答案. 引语: 从上面两个问题可知,在讨论实际问题的数量关系时,需要进行分式的加减法运算. 2.下面我们先观察分数的加减法运算,请你说出分数的加减法运算的法则吗? 3.分式的加减法的实质与分数的加减法相同,你能说出分式的加减法法则? 4.请同学们说出的最简公分母是什么? 你能说出最简公分母的确定方法吗? 五、例题讲解 (P20)例6.计算 [分析]第 (1)题是同分母的分式减法的运算,分母不变,只把分子相减,第二个分式的分子式个单项式,不涉及到分子是多项式时,第二个多项式要变号的问题,比较简单;第 (2)题是异分母的分式加法的运算,最简公分母就是两个分母的乘积. (补充)例.计算 (1) [分析]第 (1)题是同分母的分式加减法的运算,强调分子为多项式时,应把多项事看作一个整体加上括号参加运算,结果也要约分化成最简分式. 解: = = = = (2) [分析]第 (2)题是异分母的分式加减法的运算,先把分母进行因式分解,再确定最简公分母,进行通分,结果要化为最简分式. 解: = = = = = 六、随堂练习 计算 (1) (2) (3)(4) 七、课后练习 计算 (1) (2) (3)(4) 八、答案: 四. (1) (2)(3)(4)1 五. (1) (2)(3)1(4) 课后反思: 16.2.2分式的加减 (二) 一、教学目标: 明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算. 二、重点、难点 1.重点: 熟练地进行分式的混合运算. 2.难点: 熟练地进行分式的混合运算. 三、例、习题的意图分析 1.P21例8是分式的混合运算.分式的混合运算需要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序: 先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式. 例8只有一道题,训练的力度不够,所以应补充一些练习题,使学生熟练掌握分式的混合运算. 2.P22页练习1: 写出第18页问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应,也解决了本节引言中所列分式的计算,完整地解决了应用问题. 四、课堂引入 1.说出分数混合运算的顺序. 2.教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 五、例题讲解 (P21)例8.计算 [分析]这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序: 先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式. (补充)计算 (1) [分析]这道题先做括号里的减法,再把除法转化成乘法,把分母的“-”号提到分式本身的前边.. 解: = = = = (2) [分析]这道题先做乘除,再做减法,把分子的“-”号提到分式本身的前边. 解: = === 六、随堂练习计算 (1) (2) (3) 七、课后练习1.计算 (1) (2) (3) 2.计算,并求出当-1的值. 八、答案: 六、 (1)2x (2)(3)3七、1. (1) (2)(3)2.,- 课后反思: 16.2.3整数指数幂 一、教学目标: 1.知道负整数指数幂=(a≠0,n是正整数). 2.掌握整数指数幂的运算性质. 3.会用科学计数法表示小于1的数. 二、重点、难点 1.重点: 掌握整数指数幂的运算性质. 2.难点: 会用科学计数法表示小于1的数. 三、例、习题的意图分析 1.P23思考提出问题,引出本节课的主要内容负整数指数幂的运算性质. 2.P24观察是为了引出同底数的幂的乘法: ,这条性质适用于m,n是任意整数的结论,说明正整数指数幂的运算性质具有延续性.其它的正整数指数幂的运算性质,在整数范围里也都适用. 3.P24例9计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质,教师不要因为这部分知识已经讲过,就认为学生已经掌握,要注意学生计算时的问题,及时矫正,以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的. 4.P25例10判断下列等式是否正确? 是为了类比负数的引入后使减法转化为加法,而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论,从而使分式的运算与整式的运算统一起来. 5.P25最后一段是介绍会用科学计数法表示小于1的数.用科学计算法表示小于1的数,运用了负整数指数幂的知识.用科学计数法不仅可以表示小于1的正数,也可以表示一个负数. 6.P26思考提出问题,让学生思考用负整数指数幂来表示小于1的数,从而归纳出: 对于一个小于1的数,如果小数点后至第一个非0数字前有几个0,用科学计数法表示这个数时,10的指数就是负几. 7.P26例11是一个介绍纳米的应用题,使学生做过这道题后对纳米有一个新的认识.更主要的是应用用科学计数法表示小于1的数. 四、课堂引入 1.回忆正整数指数幂的运算性质: (1)同底数的幂的乘法: (m,n是正整数); (2)幂的乘方: (m,n是正整数); (3)积的乘方: (n是正整数); (4)同底数的幂的除法: (a≠0,m,n是正整数,m>n); (5)商的乘方: (n是正整数); 2.回忆0指数幂的规定,即当a≠0时,. 3.你还记得1纳米=10-9米,即1纳米=米吗? 4.计算当a≠0时,===,再假设正整数指数幂的运算性质(a≠0,m,n是正整数,m>n)中的m>n这个条件去掉,那么==.于是得到=(a≠0),就规定负整数指数幂的运算性质: 当n是正整数时,=(a≠0). 五、例题讲解 (P24)例9.计算 [分析]是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算,与用正整数 指数幂的运算性质进行计算一样,但计算结果有负指数幂时,要写成分式形式. (P25)例10.判断下列等式是否正确? [分析]类比负数的引入后使减法转化为加法,而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论,从而使分式的运算与整式的运算统一起来,然后再判断下列等式是否正确. (P26)例11. [分析]是一个介绍纳米的应用题,是应用科学计数法表示小于1的数. 六、随堂练习 1.填空 (1)-22= (2)(-2)2= (3)(-2)0=(4)20= (5)2-3=(6)(-2)-3= 2.计算 (1)(x3y-2)2 (2)x2y-2·(x-2y)3(3)(3x2y-2)2÷(x-2y)3 七、课后练习 1.用科学计数法表示下列各数: 0.00004,-0.034, 0.00000045,0.003009 2.计算 (1)(3×10-8)×(4×103) (2)(2×10-3)2÷(10-3)3 八、答案: 六、1. (1)-4 (2)4(3)1(4)1(5)(6) 2. (1) (2)(3) 七、1. (1)4×10-5 (2)3.4×10-2(3)4.5×10-7(4)3.009×10-3 2. (1)1.2×10-5 (2)4×103 课后反思: 16.3分式方程 (一) 一、教学目标: 1.了解分式方程的概念,和产生增根的原因. 2.掌握分式方程的解法,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检 验一个数是不是原方程的增根. 二、重点、难点 1.重点: 会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一个数是不是 原方程的增根. 2.难点: 会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一个数是不是 原方程的增根. 三、例、习题的意图分析 1.P31思考提出问题,引发学生的思考,从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因. 2.P32的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法. 3.P33思考提出问题,为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解,而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解,引出分析产生增根的原因,及P33的归纳出检验增根的方法. 4.P34讨论提出P33的归纳出检验增根的方法的理论根据是什么? 5.教材P38习题第2题是含有字母系数的分式方程,对于学有余力的学生,教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似,只是在系数化1时,要考虑字母系数不为0,才能除以这个系数.这种方程的解必须验根. 四、课堂引入 1.回忆一元一次方程的解法,并且解方程 2.提出本章引言的问题: 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 分析: 设江水的流速为v千米时,根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系,得到方程. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 五、例题讲解 (P34)例1.解方程 [分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化 为整式方程,整式方程的解必须验根 这道题还有解法二: 利用比例的性质“内项积等于外项积”,这样做也比较简便. (P
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