小学奥数知识点梳理完整版解读doc.docx
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学而思小学奥数知识点梳理
学而思教材编写组侍春雷
月U百
小学奥数知识点梳理,对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要,不过,对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象,为此,本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班
系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材,力图打破原有体系,重新整合划分,构建十七块体系(其第十七为解题方法汇集,可补充相应杂题),原则上简明扼要,努力刻画小学
奥数知识的主树干。
概述
一、计算
1•四则混合运算繁分数
(1)运算顺序
⑵分数、小数混合运算技巧
一般而言:
%1加减运算中,能化成有限小数的统一以小数形式;
%1乘除运算中,统一以分数形式。
⑶带分数与假分数的互化
⑷繁分数的化简
2-简便计算
⑴凑整思想
⑵基准数思想
⑶裂项与拆分
(4)提取公因数
⑸商不变性质
⑹改变运算顺序
%1运算定律的综合运用
%1连减的性质
%1连除的性质
%1同级运算移项的性质
%1增减括号的性质
%1变式提取公因数
形如:
ai^b±a2+b±±an+b=(ai±a2±.....=an)
3•估算
求某式的整数部分:
扩缩法
4•比较大小
%1通分
b.通分子
%1跟“中介”比
利用倒数性质
n12
2
数论—奇偶性问题
奇奇=偶
4+3+2+1=n
偶=奇奇X偶=偶
偶
偶=偶偶x偶=偶
2-位值原则
形如
abc=100a+10b+c
3-数的整除
特征:
顼士力十
整除数
2
末尾是0、2、4、6、8
3
各数位上数字的和是3的倍数
5木隹是U或b
9各数位上数字的和是9的倍数
11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是11的倍数
4和25末两位数是4(或25)的倍数
8和125末三位数是8(或125)的倍数
奇x奇=奇
71113末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数
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4-整除性质
%1如果c|a、c|b,那么c|(a±b)。
%1如果bc|a,那么b|a,c|a。
%1如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。
%1如果c|b,b|a,那么c|a.
%1a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
5•带余除法
一般地,如果a是整数,b是整数(b砖0),那么一定有另外两个整数q和r,0?
r
使得a=bxq+r
当r=0时,我们称a能被b整除。
当r球0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全
商(亦简称为商)。
用带余数除式又可以表示为a:
b=q„r,0?
r 6.唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即 n=pla1xp2a2x...xpkak 7.约数个数与约数和定理 a1a2ak 设自然数n的质因子分解式如n=p1xp2x...xpk 那么: n的约数个数: d(n)=(a1+1)(a2+1).…(ak+1) n的所有约数和: (1+P1+P1 2+,p1a1)(1+P2+P22+,p2a2),(1+Pk+Pk2+,pka") 8.同余定理 %1同余定义: 若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称ab对于模 m同余,用式子表示为a三b(modm) %1 若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同,则 %1两数的和除以 %1两数的差除以 %1两数的积除以 9-完全平方数性质 %1平方差: a之旧2=(A+B)(A・B),其中我们还得注意A+B,A-B同奇偶性。 %1约数: 约数个数为奇数个的是完全平方数。 约数个数为3的是质数的平方。 %1质因数分解: 把数字分解,使他满足积是平方数。 %1平方和。 10•孙子定理(中国剩余定理) 11-辗转相除法 12•数论解题的常用方法: 枚举、归纳、反证、构造、配对、估计 三、几何图形 1-平面图形 ⑴多边形的内角和 N边形的内角和=(N-2)x180° (2)等积变形(位移、割补) %1三角形内等底等高的三角形 %1平行线内等底等高的三角形 %1公共部分的传递性 %1极值原理(变与不变) ⑶三角形面积与底的正比关系 Si: &=a: b; (4)相似三角形性质(份数、比例) ②Si: &: S2: ⑸燕尾定理 Si: $2=a 2: A2 S=(a+b)2 : b2: ab: ab; SAABG: SABGA: SAAGC: (6)差不变原理 SAAGC=SABGE: SAGEC=BE: EC; SABGC=SAAGF: SAGFC=AF: FC; SABCG=SAADG: SADGB=AD: DB; 知5-2=3,则圆点比方点多3。 ⑺隐含条件的等价代换 例如弦图中长短边长的矣系。 ⑻组合图形的思考方法 %1化整为零 %1先补后去 %1正反结合 2-立体图形 ⑴规则立体图形的表面积和体积公式 ⑵不规则立体图形的表面积 整体观照法 ⑶体积的等积变形 %1水中浸放物体: V耻=V 物 %1测啤酒瓶容积: V=v空气+V 水 ⑷三视图与展开图 最短线路与展开图形状问题 ⑸染色问题 几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。 四、典型应用题 1•植树问题 %1开放型与封闭型 %1间隔与株数的关系 2-方阵问题 外层边长数-2=内层边长数 (外层边长数-Dx4=外周长数 外层边长数2■中空边长数2=实面积数 3-列车过桥问题 %1车长+桥长=速度x时间 %1车长甲+车长乙=速度和x相遇时间 %1车长中+车长乙=速度差x追及时间 列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题 车长=速度和X相遇时间 车长=速度差X追及时间 4-年龄问题 差不变原理 5-鸡兔同笼 假设法的解题思想 6-牛吃草问题 原有草量=(牛吃速度-草长速度)x时间 7-平均数问题 8-盈亏问题 分析差量矣系 9-和差问题 10•和倍问题 11•差倍问题 12•逆推问题 还原法,从结果入手 13•代换问题 列表消元法 等价条件代换 五、行程问题 1•相遇问题 路程和=速度和x相遇时间 2-追及问题 路程差=速度差x追及时间 3流水行船 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速■水速 船速=(顺水速度+逆水速度)-2 水速=(顺水速度-逆水速度)-2 4-多次相遇 线型路程: 甲乙共行全程数=相遇次数x2-1 环型路程: 甲乙共行全程数=相遇次数 其中甲共行路程=单在单个全程所行路程x共行全程数 5-环形跑道 6-行程问题中正反比例关系的应用 路程一定,速度和时间成反比。 速度一定,路程和时间成正比。 时间一定,路程和速度成正比。 7-钟面上的追及问题。 %1时针和分针成直线; %1时针和分针成直角。 8•结合分数、工程、和差问题的一些类型。 9•行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。 六、计数问题 1•加法原理: 分类枚举 2-乘法原理: 排列组合 3-容斥原理: %1总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC %1常用: 总数量=A+B-AB 4•抽屉原理: 至多至少问题 5-握手问题 在图形计数中应用广泛 %1角、线段、三角形, %1长方形、梯形、平行四边形 %1正方形 七、分数问题 1•量率对应 2•以不变量为“V 3-利润问题 4-浓度问题 倒三角原理 95%60% 5-工程问题 %1合作问题 %1水池进出水问题 6-按比例分配 八、方程解题 1•等量关系 %1相关联量的表示法 甲: 乙=3 3xx 例: 甲+乙=100x100-x %1解方程技巧 恒等变形 2-二元一次方程组的求解 代入法、消元法 3-不定方程的分析求解 以系数大者为试值角度 4-不等方程的分析求解 九、找规律 ⑴周期性问题 ①年月日、星期几问题 ②余数的应用 ⑵数列问题 an=ai+(n-1)d a-a 七 n=n11 d* S=~a-Jn ①等差数列 通项公式 求项数: 求和: 2 ②等比数列 求和: s=a(q—1) q1 %1裴波那契数列 ⑶策略问题 %1抢报30 %1放硬币 ⑷最值问题 ①最短线路 a.一个字符阵组的分线读法 b.在格子路线上的最短走法数 ②最优化问题 a.统筹方法 b.烙饼问题 十、算式谜 1•填充型 2-替代型 3-填运算符号 4-横式变竖式 5-结合数论知识点 十一、数阵问题 1•相等和值问题 2-数列分组 ⑴知行列数,求某数 ⑵知某数,求行列数 3-幻方 (1)奇阶幻方问题: 杨辉法罗伯法 ⑵偶阶幻方问题: 双偶阶: 对称交换法 单偶阶: 同心方阵法 十二、二进制 1•二进制计数法 %1二进制位值原则 %1二进制数与十进制数的互相转化 %1二进制的运算 2-其它进制(十六进制) 十三、一笔画 1・一笔画定理: ⑴一笔画图形中只能有0个或两个奇点; ⑵两个奇点进必须从一个奇点进,另一个奇点出; 2-哈密尔顿圈与哈密尔顿链 3-多笔画定理 笔画数=鱼竺 2 十四、逻辑推理 1•等价条件的转换 2•列表法 3-对阵图 竞赛问题,涉及体育比赛常识 十五、火柴棒问题 1•移动火柴棒改变图形个数 2•移动火柴棒改变算式,使之成立 十六、智力问题 1•突破思维定势 2-某些特殊情境问题 十七、解题方法 (结合杂题的处理) 1•代换法 2-消元法 3•倒推法 4•假设法 5-反证法 6-极值法 7-设数法 8-整体法 9•画图法 10•列表法 11-排除法 12•染色法 13•构造法 14•配对法 15•列方程 ⑴方程 ⑵不定方程 (3)不等方程 另外补充说明: 在华校课本六年级中有“棋盘上的数学”三讲,其实是找规律类型,知识点涉及棋盘格,几何,数论等,属于综合性问题。
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