北师大版九年级上册数学单元知识点.docx
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北师大版九年级上册数学单元知识点
北师大版九年级上册数学单元知识点
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第一章证明
1.等腰三角形
1.定义:
两条等边的三角形是等腰三角形。
2.属性:
1。
等腰三角形的两个底角相等(缩写为“等边角”)
2.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(“三条线合一”)
3.等腰三角形两个底角的平分线相等。
(两腰中线相等,两腰高度相等)
4.等腰三角形底部垂直平分线上的点到两腰的距离相等。
5.等腰三角形的一个腰的高度和底边之间的角度等于顶角的一半
6.等腰三角形底部任意一点到两腰的距离之和等于一腰的高度(可以用等面积法证明)
7.等腰三角形是只有一个对称轴的轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴
3.判断:
在同一个三角形中,两个等角的三角形是等腰三角形。
特殊等腰三角形
等边三角形
1.定义:
三边相等的三角形叫等边三角形,也叫正三角形。
(注:
如果一个三角形的三条边都相等,就说这个三角形是等边三角形,但一般不叫等腰三角形)。
2.性质:
(1)等边三角形的内角都相等,都是60度。
等边三角形每边的中线、高线和各角平分线重合。
(3)等边三角形是一个轴对称图形,它有三个对称轴,对称轴是中线、高线或对角平分线所在的直线。
3.判断:
(1)三条等边的三角形是等边三角形。
三个内角相等的三角形为等边三角形。
60度角的等腰三角形是等边三角形。
(4)两个角等于60度的三角形是等边三角形。
第二,直角三角形全等
1、直角三角形同余判断有五种:
(1)、两个角及其边对应两个三角形的同余;(ASA)
(2)两个等边且夹角全等的三角形;(SAS)
(3)三边相等的两个三角形全等;(SSS)
(4)两个角和一个角的对边对应两个三角形的同余;(原子吸收光谱)
(5)斜边和直角边对应两个三角形的同余;(HL)
2.在直角三角形中,如果内角等于30,那么它所面对的右边等于斜边的一半
3.在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半
垂直平分线:
垂直于并平分线段的直线。
性质:
线段的垂直平分线上的点到该线段的两个端点的距离相等。
判断:
与线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
5.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点到三个顶点的距离相等,交点为三角形的外中心。
6.角平分线上的点到角两边的距离相等。
7.在一个角内,如果从一点到角的两边的距离相等,它就在角的平分线上。
8.角的平分线是所有与角的两边距离相等的点的集合。
9.三角形三个角的平分线相交于一点,交点到三条边的距离相等,交点就是三角形的内心。
10.三角形的三条中线在一点相交,交点就是三角形的重心。
11.三角形的三条高线相交于一点,交点为三角形的垂直中心。
三.平行四边的定义
1.定义:
有两条平行线和对边的四边形叫做平行四边形。
2.性质:
(1)平行四边形的对边相等,
(2)对角线相等,(3)对角线等分。
3.判断:
(1)一组平行且对边相等的四边形是平行四边形。
(2)四面体
(6)一组对边平行且一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。
两个伪命题:
(1)一组对边平行的四边形和另一组对边相等的四边形是平行四边形。
(2)一组对边相等、对角相等的四边形是平行四边形。
四.矩形
1.定义:
直角的平行四边形叫矩形。
矩形是一种特殊的平行四边形。
2.性质:
(1)平行四边形;
(2)对角线相等;(3)四个角都是直角。
(4)矩形是具有两个对称轴的轴对称图形。
3.判断:
(1)三个直角的四边形是矩形。
(2)等对角线的平行四边形是矩形。
动词(verb的缩写)菱形
1.定义:
一组相邻边相等的平行四边形称为菱形。
2.性质:
(1)平行四边形,
(2)四条边都相等,(3)两条对角线互相垂直,每条对角线平分一组对角。
(4)菱形为轴对称图形,每条对角线所在的直线为对称轴。
3.判断:
(1)四条等边的四边形是菱形。
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(3)对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
第六,广场
1.定义:
一组相邻边相等且成直角的平行四边形称为正方形。
2.性质:
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质。
3.判断:
(1)直角的钻石是正方形;
(2)一组相邻边相等的矩形为正方形;
(3)等对角线的钻石为正方形;
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形。
7.梯形的定义:
一组平行对边和另一组不平行对边的四边形称为梯形
八、等腰梯形
1.定义:
两个等腰的梯形称为等腰梯形。
2.性质:
等腰梯形同底的两个内角和对角线相等。
3.同底等内角的两个梯形是等腰梯形。
九、三角形的中线
定义:
连接三角形两边中点的线段。
属性:
平行于第三边,等于第三边的一半。
十、梯形中线
定义:
连接梯形两个腰部中点的线段。
属性:
平行于两个底部,等于两个底部总和的一半。
[第2条:
第2单元]
匹配方法的应用
它适用于所有的一元二次方程,但特别是对于二次系数为1,一元系数为偶数的一元二次方程,公式法会更简单。
[匹配方法]
一般步骤:
第一步,让方程的左边是二次项和线性项,右边是常项;
第二步:
将方程的两边同时除以二次项系数;
第三步:
把第一项系数的平方的一半加到方程的两边,把原方程变成新的形式;
第四步:
用直接平方根求解变形方程。
古希腊数学家丢番图(公元250年左右)在《算术》中提到了一元二次方程的问题,但当时古希腊人还没有找到它的根公式,只能用图解法求解。
在欧几里德的《几何原本》中,x2ax=b2(a0,b0)形式的方程的图形解法是:
取a和B为两个直角,作RtABC,然后
注意:
1.一个二次方程的一般形式,在方程的右边是0,在方程的左边是X上的二次代数表达式。
2.“A0”是一个二次方程的重要组成部分,也是它的准则之一,但B和C可以是0。
如果bx不出现,b=0;如果c不出现,则C=0。
3.二次方程的一般形式可以通过“去掉分母,去掉括号,移动项,合并相似项”等步骤得到。
[因式分解法]
一般步骤:
第一步是把已知的方程转换成一般形式,使方程右端为0;
第二步:
将左二次三项式分解为两个线性因子的乘积;
第三步:
方程左边的两个因子分别为0,得到两个线性方程,它们的解就是原方程的解。
[第3条:
三个单位]
I.平行四边形
1、平行四边形定理的性质:
平行四边形的对边相等。
平行四边形的对角相等(邻角互补)。
平行四边形的对角线是等分的。
2.平行四边形的判定方法:
定义:
对边平行的两组四边形是平行四边形。
判断定理:
对边相等的两组四边形是平行四边形。
对边平行且相等的一组四边形是平行四边形。
两组对角相等的四边形是平行四边形。
对角线被二等分的四边形是平行四边形。
第二,长方形
1、矩形定理的性质:
矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等。
2.判断矩形的方法:
定义:
直角平行四边形是矩形。
判断定理:
三个角成直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
(对角线相等且一分为二的四边形是矩形。
)
第三,钻石
1、钻石定理的性质:
钻石的四个边都是相等的。
钻石的对角线相等,每条对角线平分一组对角。
2.钻石的判断方法:
定义:
一组相邻边相等的平行四边形是菱形。
判断定理:
四边相等的四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(对角线互相垂直并平分的四边形是菱形。
)
第四,广场
1、平方定理的性质:
正方形的四个角都是直角,四条边都是相等的。
正方形的两条对角线相等且互相垂直,每条对角线平分一组对角。
2、平方的判断定理:
直角的钻石是正方形。
一组相邻边相等的矩形是正方形。
l有一个直角,一组相邻边相等的平行四边形是正方形。
对角线相等的钻石是正方形。
对角线互相垂直的矩形是正方形。
对角线相等且互相垂直的l平行四边形是正方形。
对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。
第五,等腰梯形
1、等腰梯形的性质定理:
等腰梯形的两条对角线相等。
同底等腰梯形的两个角相等。
2.等腰梯形的判定方法;
定义:
等腰梯形是等腰梯形。
判断定理:
同一基底上两个等角的梯形是等腰梯形。
第六,三角形的中线
1.定义:
连接三角形两边中点的线段称为三角形的中线。
2.属性定理:
三角形的中线与第三条边平行,等于第三条边的一半。
七、其他定理或结论:
1.夹在两条平行线之间的平行线是相等的。
2.三角形的一条中线和第三条边的中线等分。
3.钻石的面积等于其对角线积的一半。
4.四个全等三角形和三个平行四边形是通过连接三角形每条边的中点得到的。
三角形的周长与原三角形的周长相同,面积与原三角形的面积相同。
八、中点四边形
1.通过依次连接四边形各边中点得到的新四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系,即两条对角线相等还是垂直。
2.依次连接任意四边形每条边的中点,得到一个平行四边形。
3.依次连接平行四边形每条边的中点,得到一个平行四边形。
4.依次连接矩形两边的中点,得到一个菱形。
5.依次连接钻石每边的中点,得到一个矩形。
6.依次连接正方形两边的中点,得到一个正方形。
7.依次连接等腰梯形两边的中点,得到菱形。
8.将两条对角线相等的四边形的每一边的中点依次连接起来,得到一个菱形。
9.将对角线相互垂直的两条四边形的每条边的中点依次连接起来,得到一个矩形。
10.将两条对角线相等且相互垂直的四边形的每一边的中点依次连接起来,得到一个正方形。
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- 北师大 九年级 上册 数学 单元 知识点