数学排列组合公式.docx
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数学排列组合公式
公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。
N-元素的总个数
R参与选择的元素个数
!
-阶乘,如 9!
=9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r
举例:
Q1:
有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数?
A1:
123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的,既属于“排列P”计算范畴。
上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之类的组合,我们可以这么看,百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,个位数则应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8*7个三位数。
计算公式=P(3,9)=9*8*7,(从9倒数3个的乘积)
Q2:
有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”?
A2:
213组合和312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的,属于“组合C”计算范畴。
上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例1 设有3名学生和4个课外小组.
(1)每名学生都只参加一个课外小组;
(2)每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法?
解
(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有种不同方法.
(2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有种不同方法.
点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算.
例2排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少种?
解 依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出:
∴符合题意的不同排法共有9种.
点评 按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”是一种具有直观形象的有效做法,也是解决计数问题的一种数学模型.
例3 判断下列问题是排列问题还是组合问题?
并计算出结果.
(1)高三年级学生会有11人:
①每两人互通一封信,共通了多少封信?
②每两人互握了一次手,共握了多少次手?
(2)高二年级数学课外小组共10人:
①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?
②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?
(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:
①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?
②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?
(4)有8盆花:
①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?
②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法?
分析
(1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关,所以是组合问题.其他类似分析.
(1)①是排列问题,共用了封信;②是组合问题,共需握手(次).
(2)①是排列问题,共有(种)不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法.
(3)①是排列问题,共有种不同的商;②是组合问题,共有种不同的积.
(4)①是排列问题,共有种不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法.
例4 证明.
证明 左式
右式.
∴等式成立.
点评 这是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质,可使变形过程得以简化.
例5 化简.
解法一 原式
解法二 原式
点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的两个性质,都使变形过程得以简化.
例6 解方程:
(1);
(2).
解
(1)原方程
解得.
(2)原方程可变为
∵,,
∴原方程可化为.
即,解得
第六章 排列组合、二项式定理
一、考纲要求
1.掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.
2.理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的问题.
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论证一些简单问题.
二、知识结构
三、知识点、能力点提示
(一)加法原理乘法原理
说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础,掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.
例1 5位高中毕业生,准备报考3所高等院校,每人报且只报一所,不同的报名方法共有多少种?
解:
5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名,因而每个学生都有3种不同的报名方法,根据乘法原理,得到不同报名方法总共有
3×3×3×3×3=35(种)
(二)排列、排列数公式
说明 排列、排列数公式及解排列的应用题,在中学代数中较为独特,它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同,内容抽象,解题方法比较灵活,历届高考主要考查排列的应用题,都是选择题或填空题考查.
例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有( )
A.60个 B.48个 C.36个 D.24个
解 因为要求是偶数,个位数只能是2或4的排法有P12;小于50000的五位数,万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后,中间3个位数的排法有P33,得P13P33P12=36(个)
由此可知此题应选C.
例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?
解:
将数字1填入第2方格,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种,即2143,3142,4123;同样将数字1填入第3方格,也对应着3种填法;将数字1填入第4方格,也对应3种填法,因此共有填法为
3P13=9(种).小学二
(2)班班规
一、安全方面
1、每天课间不能追逐打闹。
2、中午和下午放学要结伴回家。
3、 公路上走路要沿右边走,过马路要注意交通安全。
4、 不能在上学路上玩耍、逗留。
二、学习方面
1、每天到校后,不允许在走廊玩耍打闹,要进教室读书。
2、每节课铃声一响,要快速坐好,安静地等老师来上课。
3、课堂上不做小动作,不与同桌说悄悄话,认真思考,积极回答问题。
4、养成学前预习、学后复习的好习惯。
每天按时完成作业,保证字迹工整,卷面整洁。
5、考试时做到认真审题,不交头接耳,不抄袭,独立完成答卷。
三、升旗排队和两操方面
1、升旗时,要快速出教室排好队,做到快、静、齐,安静整齐地排队走出课室门,班长负责监督。
2、上午第二节后,快速坐好,按要求做好眼保健操。
3、下午预备铃声一响,在座位上做眼保健操。
四、卫生方面
1、每组值日生早晨7:
35到校做值日。
2、要求各负其责,打扫要迅速彻底,打扫完毕劳动工具要摆放整齐。
3、卫生监督员(剑锋,锶妍,炜薪)要按时到岗,除负责自己的值日工作外,还要做好记录。
五、一日常规
1、每天学生到齐后,班长要检查红领巾。
2、劳动委员组织检查卫生。
3、每天负责领读的学生要督促学生学习。
4、上课前需唱一首歌,由文娱委员负责。
5、 做好两操。
6、 放学后,先做作业,然后帮助家长至少做一件家务事。
7、 如果有人违反班规,要到老师处说明原因。
班训:
坐如钟 站如松 快如风 静无声
班规:
课堂听讲坐如钟,精神集中认真听;
排队升旗站如松,做操到位展雄风;
做事迅速快如风,样样事情记得清;
自习课上静无声,踏实学习不放松;
个人努力进步快,团结向上集体荣;
我为领巾添光彩,标兵集体记我功。
加分标准
序号
考核项目
加分值
备注
1
单元考试满分
+2
2
单元考试85分以上
+1
3
课堂小测满分
+1
4
期中、期末考试满分
+3
5
在红领巾广播站投稿一次
+2
6
在校级活动中获奖
+5
7
作业十次全对得一颗星
+3
8
课堂上得到表扬
+1
9
班干部工作认真负责
+1
10
做好事、有利于班集体和学校的事
+2
11
进步比较明显
+2
12
连续一周该组值日卫生达标
本组值日生每人加2分
扣分标准
序号
考核项目
扣分值
备注
1
没交作业、不做晚作业
-1
2
忘带书本、学具
-1
3
迟到
-1
4
在课堂上被老师点名
-2
5
不穿校服,不戴红领巾
-1
6
吃零食、带钱、带玩具
-2
7
说脏话、打架
-3
请家长,写保证书
8
座位周围有垃圾
-2
9
课间操、眼保健操不认真做
-1
10
升旗时违反纪律
-2
11
来学校不进教室,在走廊聊天打闹
-1
12
体育课打闹说话、排队不整齐
-2
注:
每人基本分60分起,学期末核算总分,作为学期评先依据。
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- 关 键 词:
- 数学 排列组合 公式