初中数学精品资料全等三角形1.docx
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初中数学精品资料全等三角形1
年级
初二
学科
数学
内容标题
全等三角形1
编稿老师
陈孟伟
一、学习目标:
1.通过实例理解全等图形的概念和特征,并能找出全等图形.
2.能叙述全等三角形的定义及相关概念,并能找出两个全等三角形的对应边和对应角.
3.掌握全等三角形的性质,会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算,解决一些实际问题.
二、重点、难点:
重点是全等三角形的概念,难点是全等三角形的对应顶点要对应写,对应关系要明确.
三、考点分析:
本讲所涉及的考点是全等三角形的概念与全等三角形的性质.在这里,全等三角形的概念属于了解范畴,而全等三角形的性质属于掌握范畴,对其性质还要求会运用.这两个知识点不会单独出大题,只会以小题的形式出现,或在大题中用到.所以,大家只要在掌握各概念性质的基础上弄清对应关系即可.
1.全等三角形的基本概念:
(1)全等图形的定义:
能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
(2)全等三角形的定义:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点.重合的边叫做对应边.重合的角叫做对应角.
(3)全等三角形的表示方法:
△ABC≌△A’B’C’(如图1)
2.全等三角形的性质:
(1)全等三角形的对应边相等;
(2)全等三角形的对应角相等.
知识点一:
全等三角形的基本概念
例1.下列说法正确的有()
①用一张底片冲洗出来的10张一寸照片是全等图形
②我国国旗上的4颗小五角星是全等图形
③所有的正方形是全等图形
④全等图形的面积一定相等
A.1个B.2个C.3个D.4个
思路分析:
题意分析:
本题主要考查全等图形定义中对“能够完全重合”的理解.
解题思路:
根据全等图形的定义:
“能够完全重合的两个图形叫做全等图形.”来判断题目中每一句话中所谈到的图形是否能完全重合.
解答过程:
用一张底片冲洗出来的10张一寸照片的形状和大小完全相同,它们是全等图形,所以①正确;我国国旗上的四颗小五角星的形状和大小也完全相同,它们也是全等图形;所以②正确;所有的正方形只是形状相同,但大小不一定相同,所以它们不是全等图形,故③不正确;全等图形的形状和大小完全相同,所以面积一定相等,所以④正确.因此,①②和④是正确的,故选C.
解题后的思考:
在判断全等图形或全等三角形时,一定要根据定义看我们所要判断的图形是否能够完全重合.
例2.已知:
如图2,△ABD≌△CDB,若AB∥CD,则AB的对应边是()
A.DBB.BCC.CDD.AD
思路分析:
题意分析:
本题一方面考查全等三角形的概念,另一方面考查全等三角形的对应顶点、对应边、对应角是否对应.本题通过给出条件AB∥CD,得出∠ADB=∠CBD,从而得出点D和点B是对应顶点.
解题思路:
由于AB和DB、BC、AD都不可能相等,所以不可能是对应边.
解答过程:
由于对应边一定是全等三角形能够重合的边,所以对应边必须相等才可能重合,而DB、BC、AD都不等于AB,所以都不是AB的对应边,故AB的对应边是CD.答案选(C).
解题后的思考:
本题主要考查全等三角形的定义及全等三角形各顶点的对应关系.
例3.观察图3中的各个图形,其中的全等图形为(图形用编号表示):
.
图3
思路分析:
题意分析:
全等图形是指能够完全重合的两个图形,目前要判断两个图形是否全等,一般是通过观察法,看它们经过平移、翻折、旋转之后能不能完全重合.
解题思路:
判断图形是否全等,一般要通过平移、旋转、翻折后看其是否完全重合,在解答本题时,首先找出同类图形,然后看其通过平移、旋转、翻折后能否完全重合.
解答过程:
(1)和(6)通过平移能够重合,所以
(1)和(6)是全等图形;
(2)和(5)通过翻折、平移后能够重合,所以
(2)和(5)是全等图形;(3)和(8)通过旋转、平移后能够重合,所以(3)和(8)是全等图形.因此,本题中的全等形为
(1)和(6),
(2)和(5),(3)和(8).
解题后的思考:
本题一方面考虑到全等图形的定义:
“能够完全重合的两个图形叫全等图形.”另一方面,应考虑到网格图、简笔画图的全等图形一般都是通过对图形的平移、旋转、翻折得到的.
小结:
本题组主要考查了全等图形的基本概念,在判断两个图形是否能够完全重合时,一般要通过平移、翻折、旋转这三种变换.令学生初步渗透初中平面几何中三种全等变换的意识.
知识点二:
全等三角形的性质
例4.如图4,已知△ABD≌△ACE,AB=AC,写出这对全等三角形的对应边和对应角.
图4
思路分析:
题意分析:
要写出全等三角形的对应边和对应角,首先要判断出两个三角形能够重合的边和能够重合的角.另外,要注意在全等三角形中,对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边.
解题思路:
在△ABD与△ACE中,AB=AC,所以AB与AC是对应边,它们所对的角是对应角,即∠ADB与∠AEC是对应角,∠A是公共角,所以∠A与∠A是对应角,剩下的∠B与∠C对应,这些对应角所对应的边是对应边,所以,AD与AE对应,BD与CE对应.
解答过程:
因为AB=AC,所以∠ADB与∠AEC是对应角,因为∠A=∠A,所以∠A与∠A是公共角,根据三角形的内角和定理180°-∠A-∠ADB=180°-∠A-∠AEC,可得∠B=∠C,所以∠B与∠C是对应角;根据对应角所对的边是对应边,可以知道,AD与AE是对应边,BD与CE是对应边.综上可得,∠A与∠A,∠ADB与∠AEC,∠B与∠C是对应角,AB与AC,BD与CE,AD与AE是对应边.
解题后的思考:
本题除了运用前面介绍的方法外,也可用简便的方法来找出对应角、边.对照图4,发现条件中的△ABD≌△ACE是按照对应顶点的顺序写的,所以可按顺序写出它们的对应边:
AB与AC,BD与CE,AD与AE;对应角:
∠A与∠A,∠ADB与∠AEC,∠B与∠C.
例5.如图5甲,已知△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角.
甲乙
图5
思路分析:
题意分析:
已知两个三角形△ABE和△ACD全等,同时知道了两对角相等:
∠1=∠2,∠B=∠C,要找出其他的对应边和对应角.
解题思路:
先将两个全等的三角形分离出来,通过观察,找出能够重合的边和角.
解答过程:
将两个全等的三角形△ABE和△ACD分离出来,如图5乙,因为∠1=∠2,∠B=∠C,所以另一组对应角为∠BAE=∠CAD;又因为∠B和∠C的对边分别是AE,AD,∠1和∠2的对边分别是AB和AC,所以它们的对应边为AB与AC,AE与AD,BE与CD.
解题后的思考:
在复杂图形中找全等三角形的对应边、对应角时,首先要把两个全等的三角形从图形中分离出来,再通过平移、翻折、旋转找出对应顶点,从而找出对应边,对应角.
(变式)如图6,△ABD≌△ACE,试说明∠EBD与∠DCE的关系.
思路分析:
题意分析:
已知两个三角形△ABD和△ACE全等,要求∠EBD与∠DCE的关系,注意找出这两个角与已知全等三角形对应角的关系.
解题思路:
利用全等三角形的对应角相等得到∠D与∠E,再利用对顶角相等得到∠DOC=∠BOE,再利用三角形的内角和等于180°及等式性质得到∠EBD=∠DCE.
解答过程:
因为△ABD≌△ACE,所以∠D=∠E.又因为∠DOC=∠BOE,所以180°-∠D-∠DOC=180°-∠E-∠BOE.即∠EBD=∠DCE.
解题后的思考:
在解决这类问题时,一定要仔细辨析图形,找准全等三角形中的对应元素,并应用全等三角形的性质解决相关问题.
例6.如图7,△DAC和△EBC均是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于M、N,有如下结论:
①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN,其中正确结论的个数是()
A.3个B.2个C.1个D.0个
思路分析:
题意分析:
已知两个等边三角形,用学过的方法,即全等三角形的定义判断两个三角形全等:
△ACE≌△DCB,同理可以判断另外两个三角形△MCE≌△NCB,从而得出CM=CN.
解题思路:
由△DAC和△EBC均是等边三角形,得到CA=CD,CB=CE,且∠ACD=∠ECB=60°,从而想到把△ACE绕点C旋转60°后与△DCB重合,把△MCE绕点C旋转60°后与△NCB重合.进一步得到△ACE≌△DCB,△MCE≌NCB.进而得出结论①和②正确;由于CM=CN,∠MCN=60°,所以,△CMN是等边三角形,所以,△CDN不是等边三角形,所以CD≠DN,从而AC≠DN.
解答过程:
∵△DAC和△EBC均是等边三角形,
∴CA=CD,CE=CB,∠ACD=∠ECB=60°,
∴把△ACE绕点C顺时针旋转60°后与△DCB重合,
∴△ACE≌△DCB,
∴∠AEC=∠DBC,
∵∠DCN=60°,∠BCN=∠ECM=60°,
∴180°-∠AEC-∠DCE=180°-∠DBC-∠ECB,
∴∠CME=∠CNB,
又∵CE=CB,
∴把△MCE绕点C顺时针旋转60°后与△NCB重合,
∴△MCE≌△NCB,
∴CM=CN,
∴选B.
解题后的思考:
在没有学习全等三角形的判定方法之前,要会运用全等三角形的定义判定两个三角形全等,从而根据全等三角形的性质得到全等三角形的对应边相等,对应角相等,在运用定义判断两个三角形全等时,会灵活运用平移、旋转、翻折这三种几何变换,注意经过平移、旋转、翻折后的图形与原图形全等.
例7.如图8,△ABC绕顶点A顺时针旋转,若∠B=20°,∠C=50°.
(1)顺时针旋转多少度时,旋转后的△AB’C’的顶点C’与原三角形ABC的顶点B和A在同一直线上;
(2)原△ABC再继续旋转多少度时,C,A,C’在同一直线上(原△ABC是指开始位置).
思路分析:
题意分析:
已知在△ABC中,∠B=20°,∠C=50°,要求△ABC绕顶点A顺时针旋转多少度时,使得点C’落在线段AB上.第二问要使得C,A,C’在同一直线上,即AC’落在CA的延长线上.
解题思路:
要求△ABC绕顶点A顺时针旋转多少度时,使得点C’落在线段AB上,则关键应抓住三角形中的重要线段AC绕A点顺时针旋转多少度时,使得AC’落在AB上,即∠CAC’,根据三角形的内角和求出∠CAC’的度数即可.第二问,要使得C,A,C’在同一直线上,即使得∠CAC’成为一个平角.如图10所示.
解答过程:
(1)如图9所示:
∵∠B=20°,∠C=50°,且∠B+∠C+∠CAB=180°,
∴∠CAB=180°-20°-50°=110°,
∴△ABC绕顶点A顺时针旋转110°时,旋转后的△AB’C’的顶点C’与原三角形ABC的顶点B和A在同一直线上.
(2)如图10所示:
∵C,A,C’在同一直线上,
∴∠CAC’=180°,180°-110°=70°,
∴△ABC绕顶点A再继续旋转70°时,C,A,C’在同一直线上.
解题后的思考:
在运用旋转变换时,注意对应线段的夹角即为旋转的角度.
例8.如图11,若△ABC≌△DCB,且A与D,B与C是对应点,进行怎样的图形变换可使这两个三角形重合呢?
思路分析:
题意分析:
已知两个全等三角形的边角对应关系,判断怎样运用几何变换的方法,使得这两个三角形重合.
解题思路:
根据两个全等三角形的边角对应关系,首先将△ABC沿BC翻折180°,再把△ABC绕点C顺时针旋转180°,最后将△ABC沿着直线BC向左平移|BC|个单位就可使得两个三角形重合.
解答过程:
先将△ABC沿BC翻折180°,如图12,再将△ABC绕点C顺时针旋转180°,如图13,最后将△ABC沿着直线BC向左平移|BC|个单位长度,如图14,△ABC和△DCB重合.
解题后的思考:
根据两个全等三角形边、角的对应关系及两个三角形的位置关系,正确地选择适当的变换方法,将两个三角形变换到如图14所示的重合位置.
小结:
本题组主要考查了全等三角形的基本性质,在运用全等三角形的基本性质时,其关键是找对应边,对应角,找对应边和对应角通常有以下几种方法:
①全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
②全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;
③有公共边的,公共边是对应边;
④有公共角的,公共角是对应角;
⑤有对顶角的,对顶角是对应角;
⑥两个全等三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).
本节课在讲述全等三角形的概念时,充分强调了能够完全重合;在讲述全等三角形的性质时,充分强调了对应.注意:
对应边,对应角,对边,对角,夹边,夹角这几个概念容易混淆.对应边或对应角是对对应的两个三角形来说的,是两条边之间或两个角之间的关系,而对边、对角是对同一个三角形中的边和角来说的,对边是对某个角来说的,对角是对某条边来说的,夹边是已知两个角的公共边,夹角是已知两条边所形成的角.
(答题时间:
60分钟)
一、选择题
*1.如图,在①AB=AC,②AD=AE,③∠B=∠C,④BD=CE四个条件中,能根据“SSS”证明△ABD与△ACE全等的条件顺序是()
A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④
*2.如图,AC、BD交于点O,BO=DO,AO=CO,那么下列判断中正确的是()
A.只能证明△AOB≌△COD
B.只能证明△AOD≌△COB
C.只能证明△ABD≌△CBD
D.能证明四对三角形全等
3.在下列条件中,不能判定直角三角形全等的是()
A.两条直角边分别对应相等B.斜边和一个锐角分别对应相等
C.两个锐角分别对应相等D.斜边和一条直角边分别对应相等
4.如图,已知AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,则图中的全等三角形有()
A.1对B.2对C.3对D.4对
5.如图18,已知△ABC的六个元素如图所示,则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是()
A.甲、乙B.乙、丙C.只有乙D.只有丙
二、填空题
6.如图,AB=AC,BE=CD,要使△ABE≌△ACD,依据“SSS”,则还需添加条件:
.
**7.如图,AD和A’D’分别是锐角△ABC和锐角△A’B’C’中BC和B’C’边上的高,且BC=B’C’,AD=A’D’,若使△ABC≌△A’B’C’,请你补充条件.(填一个你认为适当的条件)
**8.如图,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D、E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出_____个.
三、解答题
9.已知:
如图,
是
和
的平分线,
.求证:
(1)△OAB≌△OCD;
(2)
.
**10.如图,在△AFD和△CEB中,点A,E,F,C在同一直线上,有下面四个论断:
(1)AD=CB;
(2)AE=CF;(3)∠B=∠D;(4)AD∥BC.请将其中三个论断作为条件,余下的一个作为结论,编一道证明题,并写出证明过程.
一、选择题
1.C2.D3.C4.C5.B
二、填空题
6.AD=AE;7.∠B=∠B';8.4
三、解答题
9.证明:
(1)
∵OP平分∠AOC和∠BOD,
∴∠AOP=∠COP,∠BOP=∠DOP,
∴∠AOP-∠BOP=∠COP-∠DOP,
∴∠AOB=∠COD,
在△AOB和△COD中,∵
∴△AOB≌△COD(SAS),
(2)由
(1)得△AOB≌△COD(SAS),
∴AB=CD.
10.已知,如图,在△AFD和△CEB中,点A,E,F,C在同一直线上,且AD=CB,AE=CF,AD∥BC.求证:
∠B=∠D.
证明:
∵AD∥BC,
∴∠A=∠C,
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE,
在△ADF和△CBE中,∵
∴△ADF≌△CBE(SAS),
∴∠B=∠D.
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