第四章平面向量数系的扩充与复数的引入.docx
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第四章平面向量数系的扩充与复数的引入
第一节 平面向量的概念及其线性运算
一、必备知识
1.向量的有关概念
(1)向量:
既有大小又有的量叫做向量,向量的大小叫做向量的.
(2)零向量:
长度为的向量,其方向是的.
(3)单位向量:
长度等于的向量.
(4)平行向量:
方向的非零向量,又叫共线向量.规定:
0与任一向量共线.
(5)相等向量:
长度且方向的向量.
(6)相反向量:
长度相等且方向的向量.
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律:
a+b=
;
结合律:
(a+b)+c=
减法
求a与b的相反向量-b的和的运算
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
λ(μa)=;
(λ+μ)a=;
λ(a+b)=
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得.
二、必记结论
一、思考辨析
判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)0的模为0,没有方向.( )
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.( )
二、牛刀小试
1.若向量a与b不相等,则a与b一定( )
A.有不相等的模 B.不共线
C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量
2.如图,已知D,E,F分别是△ABC的边BC,AB,AC的中点,则下列说法正确的是( )
3.
4.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ=________.
考点一
向量的概念
[例1]
(1)给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则AB―→=DC―→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;
其中正确命题的序号是( )
A.②③ B.①②
C.③④D.①④
(2)设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
解决向量的概念问题应关注五点
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.
(2)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(3)共线向量即平行向量,它们均与起点无关.
(4)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象移动混为一谈.
(5)非零向量a与
的关系:
是a方向上的单位向量.
给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.②两个向量不能比较大小,但它们的能比较大小.③λa=0(λ为实数),则λ必为零.④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中错误的命题的个数为( )
A.1 B.2C.3D.4
考点二
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算是每年高考的重点,题型多为选择题和填空题,难度较小,属中低档题,且主要有以下几个命题角度:
角度一:
考查向量加法或减法的几何意义
[例2] (2012·辽宁高考)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( )
A.a∥b B.a⊥bC.|a|=|b|D.a+b=a-b
角度二:
向量的线性运算
角度三:
与三角形相联系求参数
角度四:
与平行四边形相联系,研究向量的关系
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合平行四边形法则.
(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则.
(3)与三角形联系,求参数的值.求出向量的和或差与已知条件中的和式比较,然后求参数.
(4)与平行四边形联系,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
考点三
共线向量定理的应用
[例6] 设两个非零向量a和b不共线.
[探究2] 若将本例
(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?
2.已知a,b是两个不共线的非零向量,且a与b起点相同.若a,tb,
(a+b)三向量的终点在同一直线上,则t=________.
[课堂归纳——通法领悟]
个等价转化——与三点共线有关的等价转化
个注意点——向量线性运算应注意的问题
(1)作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点.
(2)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个.
(3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
(4)利用向量平行证明直线平行,必须说明这两条直线不重合.
一、选择题
3.下列说法正确的是( )
A.若a,b都是单位向量,则a=b
B.若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
C.若a与b共线,则|a+b|=|a|+|b|
D.若a与b不共线,则|a+b|<|a|+|b|
4.设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使
=
成立的充分条件可以是( )
A.|a|=|b|且a∥bB.a=-b
C.a∥bD.a=2b
5.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( )
A.k=1且c与d同向
B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向
D.k=-1且c与d反向
二、填空题
三、解答题
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
一、必备知识
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数λ1,λ2,使a=.
其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.
2.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模:
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=,a-b=,
λa=,|a|=.
(2)向量坐标的求法:
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔.
二、必记结论
1.若a与b不共线且λa+μb=0,则λ=μ=0.
3.平面向量的基底中一定不含零向量.
一、思考辨析
判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )
(4)设a,b是平面内的一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( )
(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成
=
.( )
二、牛刀小试
1.已知A(x,1),B(2,y),
=(3,4),则x+y=( )
A.3 B.-3C.4D.-4
2.(2015·西宁模拟)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=( )
A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b
3.下列各组向量:
①e1=(-1,2),e2=(5,7);②e1=(3,5),e2=(6,10);③e1=(2,-3),e2=
,能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( )
A.①B.①③C.②③D.①②③
4.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=________.
考点一
平面向量基本定理的应用
应用平面向量基本定理表示向量的实质
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算,共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后,任一向量的表示都是唯一的.
考点二
平面向量的坐标运算
[例2]
(1)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若
=-3a,则点N的坐标为( )
A.(2,0) B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)
(2)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量
a-
b=( )
A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)
A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解,并注意方程思想的应用.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及向量
的坐标.
考点三
平面向量共线的坐标表示
平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容,多以选择题或填空题的形式出现,难度较小,属容易题,且主要有以下几个命题角度:
角度一:
利用两向量共线求参数
[例3] (2014·陕西高考)设0<θ<
,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),若a∥b,则tanθ=________.
角度二:
利用向量共线求点的坐标
[例4] 已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为________.
角度三:
解决三点共线问题
[例5] 已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为________.
平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,则利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
(3)三点共线问题.A,B,C三点共线等价于AB―→与AC―→共线.
1.(2015·长沙模拟)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ等于( )
A.
B..
C.1D.2
A.k=-2B.k=
C.k=1D.k=-1
[课堂归纳——通法领悟]
个区别——向量坐标与点的坐标的区别
在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA―→=a,点A的位置被向量a唯一确定,此时点A的坐标与a的坐标统一为(x,y),但应注意其表示形式的区别,如点A(x,y),向量a=OA―→=(x,y).
种形式——向量共线的充要条件的两种形式
(1)a∥b⇔b=λa(a≠0,λ∈R);
(2)a∥b⇔x1y2-x2y1=0(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
个注意点——解决平面向量共线问题应注意的问题
(1)注意0的方向是任意的;
(2)若a、b为非零向量,当a∥b时,a,b的夹角为0°或180°,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错;
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成
=
,因为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2-x2y1=0.
一、选择题
1.(2014·北京高考)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=( )
A.(5,7) B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)
2.(2015·南宁模拟)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=( )
A.(-5,-10)B.(-2,-4)C.(-3,-6)D.(-4,-8)
3.设向量a=(x,1),b=(4,x),且a,b方向相反,则x的值是( )
A.2 B.-2 C.±2 D.0
5.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为( )
A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)
6.已知向量a=
,b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则x的值为( )
A.4B.8C.0D.2
二、填空题
9.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为________.
三、解答题
13.已知O(0,0),A(1,2),B(4,5)及
,求:
(1)t为何值时,P在x轴上?
P在y轴上?
P在第二象限?
(2)四边形OABP能否成为平行四边形?
若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.
4.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;
(3)若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=
,求d的坐标.
第三节平面向量的数量积
一、必备知识
1.向量的夹角
(1)定义:
已知两个非零向量a和b,作
,则就是向量a与b的夹角.
(2)范围:
设θ是向量a与b的夹角,则.
(3)共线与垂直:
若θ=0°,则a与b;若θ=180°,则a与b;若θ=90°,则a与b.
2.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量叫做a与b的数量积,记作a·b
投影
叫做向量a在b方向上的投影,
叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b=;
(2)(λa)·b=λ(a·b)=;
(3)(a+b)·c=.
4.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|=
|a|=
夹角
cosθ=
cosθ=
a⊥b的充要条件
二、必记结论
1.当a与b同向时,a·b=|a||b|.
2.当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
3.a·a=a2=|a|2.
4.|a·b|≤|a||b|,当且仅当a与b共线时,等号成立.
一、思考辨析
判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( )
(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )
(3)由a·b=0可得a=0或b=0.( )
(4)(a·b)c=a(b·c).( )
(5)a·b=a·c(a≠0),则b=c.( )
(6)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( )
二、牛刀小试
1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
2.已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于( )
A.9B.4C.0D.-4
3.已知单位向量a,b的夹角是120°,则|a+b|=( )
A.
B.1C.
D.
4.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为________.
考点一
平面向量数量积的运算
[例1]
(1)如图,平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠A=60°,点M在AB边上,且AM=
AB,则
等于( )
A.-
B.
C.-1 D.1
(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则
的值为________;
的最大值为________.
平面向量数量积的类型及求法
(1)平面向量数量积有两种计算公式:
一是夹角公式a·b=|a||b|cosθ;二是坐标公式a·b=x1x2+y1y2.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
1.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则x=( )
A.6 B.5 C.4 D.3
考点二
平面向量的垂直与夹角问题
[例2]
(1)(2014·重庆高考)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( )
A.-
B.0 C.3 D.
(2)(2014·四川高考)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=( )
A.-2B.-1C.1D.2
[探究1] 在本例
(1)的条件下,若a与c的夹角的余弦值为
,求k的值.
[探究2] 在本例
(1)的条件下,若2a-3b与c的夹角为钝角,求k的取值范围.
平面向量数量积的两个应用
(1)若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得cosθ=
(夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.
1.已知a,b都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为________.
2.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=________.
考点三
平面向量的模及其应用
有关平面向量的模的问题离不开平面向量的数量积,涉及平面向量模的问题是近几年高考的热点.常以选择题、填空题的形式出现,考查求模的最值、求模的取值范围等问题,具有一定的综合性,且主要有以下几个命题角度:
角度一:
求向量的模
[例3] (2014·江西高考)已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cosα=
,若向量a=3e1-2e2,则|a|=________.
角度二:
由向量的模求夹角
[例4] (2013·安徽高考)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为________.
平面向量的模及其应用的类型及解题策略
(1)求向量的模.解决此类问题应注意模的计算公式|a|=
,或坐标公式|a|=
的应用,另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解.
(2)由向量的模求夹角.此类问题的求解其实质是求向量模方法的逆运用.
1.(2015·蚌埠模拟)设非零向量a,b,c,满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,b与c的夹角为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
2.(2013·天津高考)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若
=1,则AB的长为________.
[课堂归纳——通法领悟]
个条件——两个非零向量垂直的充要条件
两个非零向量垂直的充要条件为:
a⊥b⇔a·b=0.
个结论——与向量夹角有关的两个结论
(1)若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0°;
(2)若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或180°.
个注意点——向量运算中应注意的四个问题
(1)在求△ABC的三边所对应向量的夹角时,要注意是三角形的内角还是外角.如在等边三角形ABC中,AB―→与BC―→的夹角应为120°而不是60°.
(2)在平面向量数量积的运算中,不能从a·b=0推出a=0或b=0成立.实际上由a·b=0可推出以下四种结论:
①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,a⊥b.
(3)实数运算满足消去律:
若bc=ca,c≠0,则有b=a.在向量数量积的运算中,若a·b=a·c(a≠0),则不一定有b=c.
(4)实数运算满足乘法结合律,但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.
一、选择题
1.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为
,则|a+b|=( )
A.1 B.
C.
D.2
2.(2015·汕头模拟)已知向量a=(2,1),b=(-1,3),若存在向量c使得a·c=4,b·c=-9,则向量c=( )
A.(-3,2)B.(4,3)C.(3,-2)D.(2,-5)
3.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=( )
A.-4B.-3C.-2D.-1
4.(2015·荆州模拟)在△ABC中,∠C=90°,且CA=CB=3,点M满足
( )
A.2B.3C.4D.6
5.(2015·温州模拟)已知|a|=1,a·b=
,(a-b)2=1,则a与b的夹角等于( )
A.30°B.45°C.60°D.120°
7.(2015·淄博模拟)设单位向量e1,e2的夹角是60°,a=e1+e2,b=e1+te2,若向量a,b的夹角为锐角,则实数t的取值范围是( )
A.(-1,1)∪(1,+∞) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,1)D.(-∞,1)
二、填空题
9.已知向量a,b满足|a|=4,|b|=2,且(a-b)·b=0,则向量a与b的夹角为________.
10.已知向量a=(1,0),b=(1,1),则与2a+b同向的单位向量的坐标表示为______
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- 第四章 平面向量数系的扩充与复数的引入 第四 平面 向量 扩充 复数 引入