18 2特殊的平行四边形.docx
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182特殊的平行四边形
18.2特殊的平行四边形
第1课时
教学内容
矩形.
教学目标
1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系.
2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.
3.渗透运动联系、从量变到质变的观点.
教学重点
矩形的性质.
教学难点
矩形的性质的灵活应用.
教学过程
一、导入新课
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形,因此平行四边形除具有四边形的性质外,还有它的特殊性质,同样对于平行四边形来说,也有特殊情况即特殊的平行四边形,堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形.
二、新课教学
1.矩形
教师向学生展示下列图形,引导学生知道矩形也是常见的图形.门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等都有矩形的形象.
活动:
制一个活动的平行四边形教具,堂上进行演示图,使学生注意观察四边形角的变化,当变到一个角是直角时,指出这时平行四边形是矩形,使学生明确矩形是特殊的平行四边形(特殊之处就在于一个角是直角,深刻理解矩形与平行四边形的联系和区别).
如下图,当平行四边形的一个角为直角时,这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.
思考:
因为矩形是平行四边形,所以它具有平行四边形的所有性质.由于它有一个角为直角,它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢?
2.矩形的性质
既然矩形是一种特殊的平行四边形,就应具有平行四边形性质,同时矩形又是特殊的平行四边形,比平行四边形多了一个角是直角的条件,因而它就增加了一些特殊性质.
继续演示教具,当它变成矩形时,学生容易看到它的四个角都是直角;它的对角线也相等(写出这两个结论),指出观察出来的结论不能做为定理,需要证明.引导学生利用平行四边形角的性质证明得出.
矩形性质定理1:
矩形的四个角都是直角.
矩形性质定理2:
矩形的对角线相等.
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
思考:
如下图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.我们观察Rt△ABC,在Rt△ABC中,BO是斜边AC上的中线,BO与AC有什么关系?
根据矩形的性质,我们知道,BO=
BD=
AC.由此,我们得到直角三角形的一个性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(这实际上是
△的一个重要性质,即
△斜边中点到三顶点的距离相等,它在求线段长或线段部分关系时经常用到)
例如下图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4.求矩形对角线的长.
解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC与BD相等且互相平分.
∴OA=OB.
又∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形.
∴OA=AB=4.
∴AC=BD=2OA=8.
注意:
教师要强调这种计算题的解题格式,防止学生离开几何元素之间的关系,而单纯进行代数计算.
三、课堂练习
教材第53页练习1、2、3.
四、布置作业
习题18.2第1题.
第2课时
教学内容
矩形.
教学目标
1.掌握矩形的判定定理.
2.使学生能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题,进一步培养学生的分析能力.
教学重点
矩形的判定.
教学难点
矩形的判定及性质的综合应用.
教学过程
一、导入新课
什么叫做平行四边形?
什么叫做矩形?
矩形有哪些性质?
矩形与平行四边形有什么共同之处?
有什么不同之处?
矩形是有一个角是直角的平行四边形,在判定一个四边形是不是矩形,首先看这个四边形是不是平行四边形,再看它两边的夹角是不是直角,这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法(这体现了定义作用的双重性、性质和判定).除此之外,还有其他几种判定矩形的方法,下面就来研究这些方法.
二、新课教学
1.矩形判定定理
思考1:
我们知道,矩形的对角线相等.反过来,对角线相等的平行四边形是矩形吗?
思考2:
前面我们研究了矩形的四个角,知道它们都是直角.它的逆命题成立吗?
即四个角都是直角的四边形是矩形吗?
进一步,至少有几个角是直角的四边形是矩形?
教师引导学生分析、猜测,得出矩形的判定定理.
矩形判定定理1:
对角线相等的平行四边形是矩形.
矩形判定定理2:
有三个角是直角的四边形是矩形.
教师可指导学生证明这两个判定定理.完成后,归纳矩形的判定方法:
(1)一个角是直角的平行四边形.
(2)对角线相等的平行四边形.
(3)有三个角是直角的四边形.
2.矩形判定方法的实际应用
工人师傅在做门窗或矩形零件时,不仅要测量两组对边的长度是否分别相等,常常还要测量它们的两条对角线是否相等,以确保图形是矩形.这就应用了矩形的判定定理.
除教材中所举外,还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值.
3.矩形知识的综合应用
例如下图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=50°.求∠OAB的度数.
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=
AC,OB=OD=
BD.
又OA=OD,
∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
∴∠DAB=90°.
又∠OAD=50°,
∴∠OAB=40°.
三、课堂小结
1.矩形的判定方法l、2都是有两个条件:
①是平行四边形,②有一个角是直角或对角线相等.
判定方法3的两个条件是:
①是四边形,②有三个直角.
2.要注意不要不加考虑地把性质定理的逆命题作为矩形的判定定理.
四、布置作业
习题18.2第2、3题.
第3课时
教学内容
菱形.
教学目标
1.掌握菱形概念,知道菱形与平行四边形的关系.
2.理解并掌握菱形的定义及性质1、2;会用这些性质进行有关的论证和计算,会计算菱形的面积.
3.通过运用菱形知识解决具体问题,提高分析能力和观察能力.
4.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系,通过画图向学生渗透集合思想.
教学重点
菱形的性质1、2.
教学难点
菱形的性质及菱形知识的综合应用.
教学过程
一、导入新课
我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形,其实还有另外的特殊平行四边形,请看演示:
(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图,改变平行四边形的边,使之一组邻边相等,从而引出菱形概念.
二、新课教学
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
强调:
菱形是平行四边形;一组邻边相等.
让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子:
一些门窗的窗格、美丽的中国结、伸缩的衣帽架等都有菱形的形象.
思考:
因为菱形是平行四边形,所以它具有平行四边形的所有性质.由于它的一组邻边相等,它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢?
对于菱形,我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究.可以发现并证明(请你自己完成证明),菱形还有以下性质:
菱形的四条边都相等;
菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
如下图,比较菱形的对角线和平行四边形的对角线,我们发现,菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形,而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形.
菱形是轴对称图形,它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
三、实例探究
例1如下图,菱形花坛ABCD的边长为20m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).
解:
∵花坛ABCD的形状是菱形,
∴AC⊥BD,∠ABO=
∠ABC=
×60°=30°.
在Rt△OAB中,
AO=
AB=
×20=10,
∴花坛的两条小路长
AC=2AO=20(m),
BD=2BO=20
≈34.64(m).
花坛的面积
S菱形ABCD=4×S△OAB=
AC·BD=200
≈346.4(m2).
例2 已知:
如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.求证:
∠AFD=∠CBE.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴CB=CD,CA平分∠BCD.
∴∠BCE=∠DCE.又CE=CE,
∴△BCE≌△COB(SAS).
∴∠CBE=∠CDE.
∵在菱形ABCD中,AB∥CD,
∴∠AFD=∠FDC,
∴∠AFD=∠CBE.
四、课堂练习
教材第57页练习1、2.
五、布置作业
习题18.2第5题.
第4课时
教学内容
菱形.
教学目标
1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算;
2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.
3.经历菱形判定条件的探索过程,发展学生的合情推理意识和表述能力.
教学重点
菱形的两个判定方法.
教学难点
判定方法的证明方法及运用.
教学过程
一、导入新课
复习
(1)菱形的定义:
一组邻边相等的平行四边形;
(2)菱形的性质1:
菱形的四条边都相等;性质2:
菱形的对角线互相平分,并且每一条对角线平分一组对角.
(3)运用菱形的定义进行菱形的判定,应具备几个条件?
(判定:
2个条件)
过渡:
要判定一个四边形是菱形,除根据定义判定外,还有其他的判定方法吗?
二、新课教学
与研究平行四边形、矩形的判定方法类似,我们研究菱形的性质定理的逆命题,看看它们是否成立.
思考:
我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?
可以发现并证明菱形的一个判定定理:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
例1如下图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AB=5,AO=4,BO=3.求证:
□ABCD是菱形.
证明:
∵AB=5,AO=4,BO=3,
∴AB2=AO2+BO2.
∴△OAB是直角三角形,
AC⊥BD.
∴□ABCD是菱形.
例2已知:
如图□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.
求证:
四边形AFCE是菱形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC.
∴∠1=∠2.
又∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴△AOE≌△COF.
∴EO=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又EF⊥AC,
∴□AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用,主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法,并会用这些判定方法进行有关的论证和计算.
思考:
我们知道,菱形的四条边相等.反过来,四条边相等的四边形是菱形吗?
可以发现并证明菱形的另一个判定定理:
四条边相等的四边形是菱形.
三、课堂练习
1.教材第58页练习1、2、3.
2.做一做:
设计一个由菱形组成的花边图案.花边的长为15cm,宽为4cm,由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成,前一个菱形对角线的交点,是后一个菱形的一个顶点.画出花边图形.
四、布置作业
习题18.2第6、10题.
第5课时
教学内容
正方形.
教学目标
1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.
3.通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育,提高学生的逻辑思维能力.
教学重点
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.
教学难点
正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.
教学过程
一、导入新课
教师指导学生用一张长方形的纸片折出一个正方形.
学生在动手做中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系.
过渡:
什么样的四边形是正方形?
二、新课教学
1.正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
教师指出:
正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意思:
(1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形);
(2)有一个角是直角的平行四边形(矩形).
2.正方形的性质
正方形有什么性质?
教师引导学生思考、讨论.
由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.
所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.
思考:
正方形有哪些性质?
如何判定一个四边形是正方形?
把它们写出来,并和同学交流一下,然后证明其中的一些结论.
三、实例探究
例1求证:
正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知:
如下图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.
求证:
△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2已知:
如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.
求证:
OE=OF.
分析:
要证明OE=OF,只需证明△AEO≌△DFO,由于正方形的对角线垂直平分且相等,可以得到∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO,根据ASA可以得到这两个三角形全等,故结论可得.
证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等).
又DG⊥AE,
∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.
∴∠EAO=∠FDO.
∴△AEO≌△DFO.
∴OE=OF.
四、课堂练习
教材第59页练习1、2.
五、布置作业
习题18.2第12、13题.
第6课时
教学内容
平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关知识.
教学目标
1.进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念以及相互联系.
2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定.
3.会把各种平行四边形的相关知识进行结构化整理.
教学重点
知识体系的结构化整理和选择性应用.
教学难点
知识体系的结构化整理和选择性应用.
教学过程
一、问题导入
本章学习了哪些特殊的四边形?
是按照什么次序来学习的?
你能说出四边形之间的关系吗?
二、复习整理
1.教师有条理地引导学生回顾概念,并建立概念之间的联系,绘制图表进行总结、归纳.
2.各种四边形的性质与判定
(1)平行四边形
性质:
对边分别平行且相等,对角相等;对角线互相平分;是中心对称图形.
判定:
具有两组对边分别平行,两组对边分别相等;一组对边平行且相等;对角相等;对角线互相平分;其中一种的四边形为平行四边形.
(2)矩形
性质:
对边分别平行且相等;四个角全为直角;对角线互相平分且相等;是中心对称也是轴对称图形.
判定:
有三个直角的四边形;有一个直角的平行四边形;对角线相等的平行四边形为矩形.
(3)菱形
性质:
对边平行,四边相等;对角相等;对角线互相垂直平分,且对角线平分对角,既是中心对称图形也是轴对称图形.
判定:
四边相等的四边形;一组邻边相等的平行四边形;对角线互相垂直的平行四边形为菱形.
(4)正方形
性质:
对边平行,四边相等;四个角是直角;对角线互相垂直平分且相等,且对角线平分对角;既是中心对称图形也是轴对称图形.
判定:
有一个直角一组邻边相等的平行四边形,一组邻边相等的矩形;一个角为直角的菱形为正方形.
三、综合应用
例1如下图,已知:
在矩形ABCD中,DF平分∠ADC,交AC于E,交BC于F,∠BDF=15°.
求:
∠DOC和∠COF的度数.
分析:
四边形ABCD是矩形,那么它的两条对角线把它分成了四个直角三角形和四个等腰三角形.
由已知DF平分∠ADC可得∠ADF=∠CDF=45°,∴∠ODC=45°+15°=60°.又∵有OC=OD,∴△ODC是等边三角形,∴∠DOC=60°,∠DCO=60°,∴∠ACB=30°.在△DCF中,∠FDC=45°,∠DCF=90°,故CF=DC=OC,∴△OCF是以∠OCB为顶角的等腰三角形,因此可求得∠COF的度数.
解答:
∵DF平分直角∠ADC,
∴∠BDF=15°,
∴∠ODC=45°+15°=60°.
又∵OC=OD(矩形的对角线相等且互相平分),
∴△ODC是等边三角形.
∴∠DOC=60°,OC=OD=DC,∠DCO=60°,
又∵在Rt△DFC中,∠DFC+∠FDC=90°,
∴∠DFC=45°,
∴CF=DC=OC,
∴
.
∴∠DOC=60°,∠COF=75°.
说明:
矩形的对角线总可以将矩形化为直角三角形和等腰三角形,解题时要注意利用这些特殊三角形的性质.
例2如图,正方形ABCD中,AC、BD交于O点,点M是AC上任意一点,ME⊥AB,MF⊥BC,垂足为E、F.
求证:
△OEF是等腰直角三角形.
分析:
要证明△OEF是等腰直角三角形,只要证OE=OF,∠EOF=90°.观察图可知,OE、OF在△OAE和△OBF中,所以只要证明△OAE≌△OBF即可.
证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB,∠AOB=90°,∠CAB=∠CBD=45°.
∵ME⊥AB,MF⊥BC,
∴∠MEB=∠EBF=∠BFM=90°.
∴四边形MEBF是矩形,
∴ME=BF.
∵ME⊥AB,
∴∠AEM=90°.
∵∠BAC=45°,
∴∠AME=∠BAC=45°.
∴AE=ME,AE=BF.
在△AEO和△BFO中,AE=BF,∠BAC=∠DBC,OA=OB.
∴△AEO≌△BFO.
∴OE=OF,∠AOE=∠BOF.
∵∠EOF=∠BOE+∠BOF=∠BOE+∠AOE=∠AOB=90°,
∴△OEF是等腰直角三角形.
四、布置作业
习题18.2第15、16题.
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