随机过程考试真题考试.docx
- 文档编号:29368807
- 上传时间:2023-07-22
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:194.73KB
随机过程考试真题考试.docx
《随机过程考试真题考试.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《随机过程考试真题考试.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
随机过程考试真题考试
1、设随机过程X(t)=Rt+C,t€(0,oc),C为常数,R服从[0,1]区间上的均匀分布。
(1)求X(t)的一维概率密度和一维分布函数;
(2)求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。
2、设M(t),-处 且对任意的-比 令X(t)=W(t)+R,求随机过程 {x(t), 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程,平均每小时有 180人,即几=180;且每个 顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。 求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为: 『0.3 0 07 (1)求两步转移概率矩阵 0.7 0.2 0、 0.8 0.3丿 p⑵及当初始分布为 P{X0=1}=1, P{Xo=2}=P{X0=3}=0 时,经两步转移后处于状态2的概率。 (2)求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间I={1,234,5},转移概率矩阵为: 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{N(t),tX0}是参数为几的泊松过程,计算E[N(t)N(t+s)]。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。 以Ni记在i第层进入电梯的人数。 假定Ni相互独立, 且叫是均值为的泊松变量。 在第i层进入的各个人相互独立地以概率pij在第j层离开电 梯,2Pij=1。 令Oj=在第j层离开电梯的人数。 j> Oj与Ok的联合分布是什么 &一质点在1,2,3点上作随机游动。 若在时刻t质点位于这三个点之一,则在[t,t+h)内, 它都以概率h+o(h)分别转移到其它两点之一。 试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微 分方程,转移概率pij(t)及平稳分布。 1有随机过程{^t),N 其中A,B,4为实常数,©均匀分布于[0,2r],试求R埶s,t)2(15分)随机过程0t)=Acos@t+①),-K EA=2,DA=4,C是在[-5,5]上均匀分布的随机变量,①是在卜兀,兀]上均匀分布的随机变量。 试分析qt)的平稳性和各态历经性。 3某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程,已知商店9: 00开门,试求: (1)在开门半小时中,无顾客到来的概率; (2)若已知开门半小时中无顾客到来,那么在未来半小时中,仍无顾客到来的概率。 1表示)、正常(用2 4设某厂的商品的销售状态(按一个月计)可分为三个状态: 滞销(用 表示)、畅销(用3表示)。 若经过对历史资料的整理分析,其销售状态的变化(从这月到下 5 9 1 —I 6」 状态j的概率),一步转移开率矩阵为: 「丄 2 1 3 1 1_6 试对经过长时间后的销售状况进行分析。 5设{X(t),tS0}是独立增量过程,且X(0)=0, 证明{X(t),t^}是一个马尔科夫过程。 6设{N(t),t二。 }是强度为k的泊松过程, {Yk,k=1,2,IH}是一列独立同分布随机变量,且 N(t)J 与{N(t),t>0}独立,令X(t)=Z: Yk,t>0,证明: 若E(Y;。 ),则EX(t)匸XtEW, k=1 7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关。 又设今天下雨而明天也下雨 的概率为a,而今天无雨明天有雨的概率为P;规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态 1。 设a=0.7,P=0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。 8设{©(t)-处CtV}是平稳过程,令n(t)=t(t)co4肌t+0)-比Ct€+邈,其中©0 是常数,G为均匀分布在[0,271]上的随机变量,且{©(t1-比CtV址}与0相互独立,R") 和S3)分别是fc(t)-处CtV}的相关函数与功率谱密度,试证: (1){叫t)-比Ct吒十^}是平稳过程,且相关函数: 1 Rg")=-RgW)co^0T (2)仙(t)-比<t€址}的功率谱密度为: )=! Se佃一©0)+Se(⑷+c;)094“ 9已知随机过程Qt)的相关函数为: 2 R^}=^,问该随机过程qt)是否均方连续? 是否均方可微? 1、设随机过程X(t)=Rt+C,"(0严),C为常数,R服从[0,1]区间上的均匀分布。 (1)求X(t)的一维概率密度和一维分布函数; (2)求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 x (1)F(x)=ff(t)dt,则f(t)为密度函数;——tr (2)X(t)为(a,b)上的均匀分布,概率密度函数 I1b f(x)才b-a,avxvb,分布函数 t0,其他 F(x)h 0,xva x—aa+b 严,a b—a2 1,xAb (b-a)2 12 (3)参数为几的指数分布,概率密度函数f(x)= "化x",分布函数 0,xcO [1-eY,x>011 F(x)=]0,x<0,E(x)s,D(x)p 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 (1)因R为[0,1]上的均匀分布,C为常数,故X(t)亦为均匀分布。 由R的取值范围可知, X(t)为[C,C+t]上的均匀分布,因此其一维概率密度f(x)=«,C'x'C,一维分布[0,其他 0,x 1,xaC+t (2)根据相关定义,均值函数mx(t)=EX(t)冷+C 1C2 相关函数Rx(s,t)=E[X(s)X(t)]=st+(s+t)+C2; 32 st 协方差函数Bx(s,t)=E{[X(s)-mx(s)][X(t)-mx(t)]}=12(当s=t时为方差函数) 【注】D(X)=E(X2)-E2(X);Bx(s,t)=Rx(s,t)-mx(s)mx(t) 求概率密度的通解公式ft(x)=f(y)ly'(x)匸f(y)/|x'(y)| 2、设W(t),-涎}是参数为b2的维纳过程,R~N(1,4)是正态分布随机变量;且对 任意的-处 令X(t)=W(t)+R,求随机过程 {x(t),-处 【解答】此题解法同1题。 2 依题意,W(t)~N(0,b|t|),R~N(1,4),因此X(t)=W(t)+R服从于正态分布。 故: 均值函数mx(t)=EX(t)=1; 相关函数Rx(s,t)=E[X(s)X(t)]=5; 180人,即几=180;且每个 协方差函数Bx(s,t)=E{[X(s)—mx(s)][X(t)-mx(t)]}=4(当s=t时为方差函数) 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程,平均每小时有 顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。 求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。 【解答】此题可参见课本习题3.10题。 由题意可知,每个顾客的消费额丫是服从参数为s的指数分布,由指数分布的性质可知: 112 E(Y)d(Y),故E(Y2),则由复合泊松过程的性质可得: 一天内商场营 sss 业额的数学期望mx(8)=8>d80xE(Y); 天内商场营业额的方差环(8)=8x180xE(Y2)。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为: 0.3丿 (1)求两步转移概率矩阵P⑵及当初始分布为 P{X0=1}=1,P{X0=2}=P{X0=3}=0 时,经两步转移后处于状态2的概率。 (2)求马尔可夫链的平稳分布。 【解答】可参考教材例4.3题及4.16题 (1)两步转移概率矩阵 "0.3 0.7 0\ "0.3 0.7 0' '0.09 0.35 0.56" p (2)=PP= 0 0.2 0.8 0 0.2 0.8 = 0.56 0.04 0.4 .0.7 0 0.3」 .0.7 0 0.3丿 阳2 0.49 0.09丿 当初始分布为P{X0=1}=1,P{X0=2}=P{X0=3}=0时, (2)因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态,所以平稳分布存在。 得如下方程组 兀勺=0.3714+0JI2+0.7兀3 =0.7兀1+0.2;l2+0江3 兀3=0兀r+0.87! 2中0.3血3 兀1+312+兀3=1 解上述方程组得平稳分布为 878 兀1"方‘沢2"习,沢3"23 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 【解答】此题比较综合,可参加例4.13题和4.16题 画出状态转移图如下: (1)由上图可知,状态分类为G={1,2,3};G2={4,5} (2)由上图及常返闭集定义可知,常返闭集有两个,下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。 A、对Gi常返闭集而言,解方程组 GrhOSjir+0.6712+0花3 兀2=O.47I1+0.4jI2+1兀3 兀3=O.37I1+O3I2+O7I3 解上述方程组得平稳分布为 则各状态的平均返回时间分别为 B、对G2常返闭集而言,解方程组 解上述方程组得平稳分布为 10 17月 则各状态的平均返回时间分别为 t1 兀1 【解答】 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。 以Ni记在i第层进入电梯的人数。 假定Ni相互独立, 且Ni是均值为Zi的泊松变量。 在第i层进入的各个人相互独立地以概率Pij在第j层离开电 梯,5: Pij=1。 令Oj=在第j层离开电梯的人数。 j> (1)计算E(Oj) (2)Oj的分布是什么 (3)Oj与Ok的联合分布是什么 【解答】此题与本书联系不大,据有关方面信息,此次考试此题不考。 以Nij记在第i层乘上电梯,在第j层离去的人数,则Nij是均值为Zipij的泊松变量,且全部 Nij(H>0,j>i)相互独立。 因此: (1) E[Oj]=E[2: Nij]=2>HPij ii 由泊松变量的性质知,OjNjj是均值为S人Pij的泊松变量 ii 因Oi与Ok独立,则P(OiOk)=P(Oi)P(Ok)=“e“e—“人,几为期望。 i! k! Hk! &一质点在1,2,3点上作随机游动。 若在时刻t质点位于这三个点之一,则在[t,t+h)内, 它都以概率h+0(h)分别转移到其它两点之一。 试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微 分方程,转移概率pij(t)及平稳分布。 【解答】参见教材习题5.2题 Pii(At) 依题意,由lim———=qij(iHj)得,qij=1(iHj),柯尔莫哥洛夫向前方程为 Pij=—2Pij⑴+Pi,j4(t)+Pi,j^(t), 由于状态空间I={1,2,3},故 Pij(t)+Pi,j4(t)+Pi,j4t(t)=1, 所以 Pij=-2Pij(t)+1-Pij(t)=-3Pij(t)+1, 解上述一阶线性微分方程得: 由初始条件 确定常数C,得 故其平稳分布 Pij(t)=ceJ1 3 Pij(o)I"j lO,lHj 1 "tmPj(t23,j72,3 1、有随机过程{Qt),-gt 其中A,B,©, <6<2兀 其它 t)=E 2兀1 t(s)n(t)]=;Asin(©s+9)BsinWt^匸—d^ 02兀 12兀 —ABJ[cos(®(t-s)+W)—cos(®(t+s)+凶)ld日 0 1 =—ABcos(©(t—s)+W),—处 EA=2, 试分 2、随机过程qt)=Acos俾t+①),-处 析qt)的平稳性和各态历经性。 2、解: m©(t)=E9=EAcosgt+①9=EAEcos®t+①)J 15兀 =2-[d⑷fcos®td® 20J匚兀 def =0=Ct<咼 RUt,t+t)=E々t$(t+t)J=eAco^^<: >Aco^(t+T片①9 2 =EAEbos⑷t+①as时(t+t)+0y 所以具有平稳性。 =lim——t^^2T IA2 -ycos眈主R©(t) 故相关函数不具有各态历经性。 3、某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程,已知商店9: 00开门,试求: (1)在开门半小时中,无顾客到来的概率; (2)若已知开门半小时中无顾客到来,那么在未来半小时中,仍无顾客到来的概率。 N(t)是参数为/的Poisson过程。 3、解: 设顾客到来过程为{N(t),t>=0},依题意 (1)在开门半小时中,无顾客到来的概率为: =e=e f6、 PINI-f I12丿 示为\n (1)—N卩】: 」 L12丿J 4、设某厂的商品的销售状态(按一个月计)可分为三个状态: 滞销(用1表示)、正常(用 2表示)、畅销(用3表示)。 若经过对历史资料的整理分析,其销售状态的变化(从这月到下月)与初始时刻无关,且其状态转移概率为pj(pj表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率),一步转移开率矩阵为: 「1 2 1 3 1 L6 试对经过长时间后的销售状况进行分析。 4、解答: 由一步转移概率矩阵可知状态互通,且Pii>0,从而所有状态都是遍历状态,于是 极限分布就是平稳分布。 设平稳分布为71={斗,吃,兀^,求解方程组: 兀二兀P,兀什応2+西=1 即: 5、试对以下列矩阵为一步转移概率矩阵的齐次马尔可夫链的状态空间进行分解。 f 0.7 0 0.3 0 0 0.1 0.8 0.1 0 0 P= 0.4 0 0.6 0 0 (1) 0 0 0 0.5 0.5 n 4 1 0 2 3 0 2 0 L1 5、 A■的Poisson过程到达,系统内只有一个服务员,并且服务 6、一个服务系统,顾客按强度为 时间服从参数为4的负指数分布,如果服务系统内没有顾客,则顾客到达就开始服务,否则 他就排队。 但是,如果系统内有两个顾客在排队,他就离开而不返回。 令匕⑴表示服务系统 中的顾客数目。 (1)写出状态空间; (2)求Q矩阵7、设{©(t),—处vt<XC}是平稳过程,令n(t戶£(t)coSG)0t+0)—处<tV+处,其中国。 是常数,0为均匀分布在[0,211]上的随机变量,且橙(t),-处<t<邑}与©相互独立,R屮)和Sg)分别是虑(t),-必CtVP}的相关函数与功率谱密度,试证: (1)^(t、一乂CtV址}是平稳过程,且相关函数: 1 RnW)=一RMbosF 2. (2)&(t、-逐Ct吒十^h勺功率谱密度为: S冲(时)=—(时一蛍0\+Se(时+co0)1 4“ 7、7: (1) mn(t)=Eh(t9=Efe(tpos(©ot+©)J=Et(t茫Cos⑹ot+Oj 2兀1 =cos(©ot+0)——d0=0 z2兀 Rn(t,t+t)=Eh(tp(t+tEfc(tCos(©0t+0f(t)cos(©0(t+t)+09 =Et(tf(t+t)IeCos®ot+0)co^^t+t)+09 2兀1 =R©(t)Jcos®0t+0)cos(©0(t+T)+6卜 0 1 =2R©(t)cos®0T 故为平稳过程 1 Re(t)cos©oidi 2 -be-be Sq©)=Je」喘RMidi=Je」醯 1ejOJiT+e-i仙T [e」佩丄Re(t)e——e—dT N2“2 =纠? R由)dT+JR^)dT 4[w =1Sg©—«0)+S护+«0)」 8、已知随机过程qt)的相关函数为: 亠2 R^}=e^,问该随机过程斑)是否均方连续? 是否均方可微? 8、解答: 1=0时,相关函数是连续的,故随机过程在任意时刻均方连续。 Ry(T)=-2口化£疋 pr 逆(0)=-2a 由于二阶导数在匸0存在,故过程是均方可微的。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 随机 过程 考试