微积分学习总结.docx
- 文档编号:29364065
- 上传时间:2023-07-22
- 格式:DOCX
- 页数:155
- 大小:95.81KB
微积分学习总结.docx
《微积分学习总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《微积分学习总结.docx(155页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
微积分学习总结
第一章函数与极限
第一节函数
§1.1
函数内容网络图
定义域
函数
定义
区间不等式集合
对应法则
厂表格法
表达方法&图象法
函数的特性
重要的函数
『单调性
奇偶性
周期性
有界性
反函数
•复合函数
几个具体重要的函数
§1.2内容提要与释疑解难
一、函数的概念
非初等函数
定义
存在性定理
1,
x
0,
r符号函数:
sgnx0,
x
0,
1,
x
0.
取整函数:
fX[X],其中[x]表示不超过x
狄里克雷函数:
Dx1,
0,
x为有理数,X为无理数.
的最大整数.
定义:
设A、B是两个非空实数集,如果存在一个对应法则f,使得对A中任何一个实数X,在B
中都有唯一确定的实数y与x对应,则称对应法则f是A上的函数,记为
f:
xy或f:
AB.
y称为x对应的函数值,记为
其中x叫做自变量,
y又叫因变量,
A称为函数f的定义域,记为D(f),
f(A)f(x)xA,称为函数的值域,记为R(f),在平面坐标系Oxy下,集合
(x,y)yf(x),xD称为函数y=f(x)的图形。
函数是微积分中最重要最基本的一个概念,因为微积分是以函数为研究对象,运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。
1、由确定函数的因素是定义域、对应法则及值域,而值域被定义域和对应法则完全确定,故确定函数的两要素为定义域和对应法则。
从而在判断两个函数是否为同一函数时,只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同,至于自变量、因变量用什么字母,函数用什么记号都是无关紧要的。
2、函数与函数表达式的区别:
函数表达式指的是解析式子,是表示函数的主要形式,而函数除了用表达式来表示,还可以用表格法、图象法等形式来表示,不要把函数与函数表达式等同起来。
二、反函数
定义设y=f(x),xD,若对R⑴中每一个y,都有唯一确定且满足y=f(x)的xD与之对应,则按此对应法则就能得到一个定义在R(f)上的函数,称这个函数为f的反函数,记作
f1:
RfD或xf1y,yRf.
由于习惯上用x表示自变量,y表示因变量,所以常把上述函数改写成yf1x,xRf.
1、由函数、反函数的定义可知,反函数的定义域是原来函数的值域,值域是原来函数的定义域。
2、函数y=f(x)与x=f-1(y)的图象相同,这因为满足y=f(x)点(x,y)的集合与满足x=f-1(y)点(x,y)
的集合完全相同,而函数y=f(x)与y=f-1(x)图象关于直线y=x对称。
11
3、若y=f(x)的反函数是x=f-1(y),则yff(y),xffx.
4、定理1(反函数存在定理)严格增(减)的函数必有严格增(减)的反函数。
三、复合函数
定义设yfu,uE,ux,xD,若D(f)R,则y通过u构成x的函数,
称为由y=f(u)与ux复合而成的函数,简称为复合函数,记作yf((x))。
复合函数的定义域为
xxD且(x)E,其中x称为自变量,
y称为因变量,u称为中间变
量,x称为内函数,f(u)称为外函数。
1、在实际判断两个函数yf(u),ux能否构成复合函数,只要看yf(x)的定义域是否为非空集,若不为空集,则能构成复合函数,否则不能复合函数。
2、在求复合函数时,只要指出谁是内函数,谁是外函数,例如y=f(x),y=g(x),若y=f(x)作为外
函数,y=g(x)作为内函数。
则复合函数yf(gx),若ygx作为外函数,yfx作为内函
数,则复合函数为y=g(f(x))。
3、我们要学会分析复合函数的复合结构,既要会把几个函数复合成一个复合函数,又要会把一个复合函数分拆成几个函数的复合。
四初等函数
常值函数、幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。
大家一定要记住基本初等函数的定义域,值域,会画它们的图象,并且要知道这些函数在哪些
区间递增,在哪些区间递减,是否经过原点?
与坐标轴的交点是什么?
以后我们常常要用到。
由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所得到的函数统称为初等函数。
不是初等函数称为非初等函数。
一般来说,分段函数不是初等函数,但有些分段函数可能是初等函数,例如
fxx,x°x,x2,是由yu,ux2复合而成。
x,x01
五具有某些特性的函数
1.奇(偶)函数
定义设D是关于原点对称的数集,y=f(x)为定义在D上的函数,若对每一个xD这时也有xD,都有fxfxfxfx,则称y=f(x)为D上的奇(偶)函数。
(1)定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必要条件。
(2)若f(x)为奇函数,则f(0)=0,事实上,由定义知f(-0)=-f(0),有f(0)=-f(0),得f(0)=0.
2•周期函数
定义设y=f(x)为定义在D上的函数,若存在某个非零常数T,使得对一切xD,都有
f(x+T)=f(x),则称y=f(x)为周期函数,T称为y=f(x)的一个周期。
显然,若T是f(x)的周期,贝UkTkZ也是f(x)的周期,若周期函数f(x)的所有正周期中存在最小正周期,则称这个最小正周期为f(x)的基本周期,一般地,函数的周期是指的是基本周期。
必须指出的是不是所有的周期函数都有最小正周期,例如f(x)=c(c为常数),因为对任意的实
常数T,都有f(x+T)=f(x)=c。
所以f(x)=c是周期函数,但在实数里没有最小正常数,所以,周期函数f(x)=c没有最小正周期。
如果f(x)为周期函数,且周期为T,任给xD,有f(x)=f(x+kT),知xkTDkZ。
所
以D是无穷区间,即无穷区间是周期函数的必要条件。
3•单调函数
定义设y=f(x)为定义在D上的函数,若对D中任意两个数xi,x2且xi fx1fx2fx1fx2, 则称y=f(x)为D上的递增(递减)函数,特别地,若总成立严格不等式 fx1fx2fx1fx2, 则称y=f(x)为D上严格递增(递减)函数。 递增和递减函数统称为单调函数,严格递增和严格递减函数统称为严格单调函数。 4•分段函数 如果一个函数在其定义域内,对应于不同的x范围有着不同的表达形式,则称该函数为分段函 数。 注意分段函数不是由几个函数组成的,而是一个函数,我们经常构造分段函数来举反例,常见的分段函数有符号函数、狄里克雷函数、取整函数。 5•有界函数与无界函数 定义设y=f(x)为定义在D上的函数,若存在常数N NfxM 则称f(x)为D上的有界函数,此时,称N为f(x)在D上的一个下界,称M为f(x)在D上的一个上界。 由定义可知上、下界有无数个,我们也可写成如下的等价定义,使用更加方便。 定义设y=f(x)为定义在D上的函数,若存在常数M>0,使得对每一个xD,都有 fxM 则f(x)为D上的有界函数。 几何意义,若f(x)为D上的有界函数,则f(x)的图象完全落在直线y=-M与y=M之间。 注意: 直线y=-M,y=M不一定与曲线相切。 有界函数定义的反面是 定义设y=f(x)为定义在D上的函数,若对每一个正常数M(无论M多么大),都存在x0D, 使fX°M,则称f(x)为D上的无界函数。 6.函数的延拓与分解 已知产生新的函数的方法。 设yfx,x0,a …,fx, 则应有Fx fx 称F(x)是f(x)的偶延拓 有时我们需要由已知函数产生新的函数来解决实际问题,这里我们从函数的特性出发,开拓由 ,我考虑区间[-a,a]上的函数F(x),它是偶函数,且在[0,a]上,使F(x)=f(x), x0,a, xa,0. 同样可给出f(x)的奇延拓,即函数F(x)在[-a,a]上的奇函数,且在(0,a)上,F(x)=f(x),则 fx,x0,a 应有Fx0,x0这样,研究f(x)只要,研究F(x)就可以了。 fx,xa,0 同样,对于函数y=f(x),xa,b,可以构造一个以(b-a)为周期的周期函数F(x),在(a,b) 上,F(x)=f(x),则有Fx fx,xa,b fxnba,xnbn1a,n1bna,nz 这就是函数f(x)的周期延招,研究f(x)只要研究F(x)就可以了。 此外,定义在区间(-a,a)上的任何一个函数 rfxfxfxfx 上fx 22 f(x)都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和事实 设flx 由奇偶函数的定义知, fl(x)是奇函数。 f2(x)是偶函数,且 xf1xf2x. 我们还可以证明fl(x),f2(x)是唯一存在,如果 fxgix g2x, 其中gi(x)是奇 函数,g2(x)是偶函数,于是 fxgix g2x,fxgix g2 xgixg2 fv 解得gix—2 x fix,g2 §1.3解题基本方法与技巧 一、求函数定义域的方法 1.若函数是一个抽象的数学表达式子,则其定义域应是使这式子有意义的一切实数组成的集合,且在 (1)分式的分母不能为零; (2)偶次根号下应大于或等于零; (3)对数式的真数应大于零且底数大于零不为1;(4)arcsinx或arccosx,其x1; (5)tanx,其kxk,kz;cotx,其kxk,kz. 22 (6)若函数的表达式由几项组成,则它的定义域是各项定义域的交集; (7)分段函数的定义域是各段定义域的并集。 2.若函数涉及到实际问题,定义域是除了使数学式子有意义还应当确保实际有意义自变量取值全体组成的集合。 3.对于抽象函数的定义域问题,要依据函数定义及题设条件。 例1求下列函数的定义域: .2xarcsin 1x x30。 ■3 (1)y3xx; (2)y 解 (1)要使函数式子有意义,就必须满足3x 化简有xx3x30, 即x.3xx30. 解之,得定义域为x ..30,•.3。 2x (2)要使函数式子有意义,就必须满足 化简有12 2 1, 3 21, 1x 1 x 不等式各边除以 (-2) 有, 31 1 —? 21x 2 各边取倒数得, 21 x 2。 解之, 得函数的定义域为 1 3 3 耳1,即1 例2不清设 ,求f(x)的定义域。 解要使函数式子有意义,必须满足 22) 故所给函数的定义域为 x: xR且x1,x2。 注意: 如果把 化简为 ,那么函数的定义域为 x1的一切实数,因此,求函 数的定义变形式时需特别小心,避免出错。 例3已知fx x2 e,f x1x且x 0,求x并写出它的定义域。 x2 解由e1 x,得 x,ln1x, 由In1x0,得1 x1, 即xw0,所以x ln1x,x0。 例4设f(x)的定义域为[0,1],试求f(x+a)+f(x-a)的定义域(a>0)。 解要使f(x+a)+f(x-a)有意义,必须满足 1^1aaXXoo X Xa a 11 当0a时,由a1a,知函数的定义域为ax1a。 当a时,由a>l—a,知定义 22 域不存在。 、求函数值域的方法 1.由定义域x的范围,利用不等式求出f(x)的范围; 2.若y=f(x)有反函数x=f--1(y),求出反函数的定义域就是函数的值域; 3.利用一元二次方程的判别式求函数的值域。 例5求下列函数值域: 1 x2x1 (1)yx 1x; (2)y —; (3)y 2 x 3 xx1 解 (1)令J xt,则x1t,于是 yx 1x1 t2tt 2 1 5 5 2 4 4 1355 22 y24y10,即0y4y 当且仅当t-,即x4时,y4。 故函数yx1x的值域是,4 三、判断两函数是否为同一函数的方法 例6判断下列各组函数是否为同一函数: (1)(i)ysinx0x; x1 (2)(i)y— x1 解 (1)由y=sinx的定义域是[0,n],s (ii)s.1cos2tOt, 1 (ii)y x1 .1cos2t的定义域是[0,n]。 知两函数定义域相 同,又S1 cos21sin2t sint sint0t 知两函数对应法则相同,故(i)(ii) x1 1 3y口 x1,,,,一 (2) 由y,得(x+3)y=x+1,解之, x 是y 的反函数,而 x3 y 1 x3 x13y的定义域是y1 ,故函数值域是 1 1,。 y 1 (3) 由原函数式变形,得 2 yxx 1x2 2x1, 即 y1x2 y2xy1 0。 当y-仁0, 即y=1时,x=0;当 当y10,即y 1时, 1。 故函数的值域为[0,4]。 为同一函数。 ⑵由y x1 厂的定义域是 x1的全体实数, —的定义域是x1的全体实数, x1 知两函数定义域不同,尽管当x ,知两函数对应法则相同,但(i)(ii) 不是同一个函数。 四、求反函数方法 步骤: 1.从y=f(x)中解出x=f-1(y);2.改写成y=f-1(x),则y=f-1(x)是x=f-1(y)的反函数. (2)y3x.1x2 例7求下列函数的反函数: (1)y.1x21x0; x,x1, (3)yx2,1x4, 2x,x4. 解 (1)由x.1y2,y0,1,知反函数为y•.1x? ,x0,1。 (2)由y3x.1x23x,1x2 两边立方得 y3xV1x23^xv1x2x<1x23y(xv'1x2)x\1__x22x\1x2, 即 y32x33. x1 x23vx 1 x22x 3y, 解之 x—y 2 3 y。 所以反函数为y 13xx3,x R. 2 y,y1, x,x1, (3)由 xy,1y 16, 则反函数为 y 、x,1x 16, iog2y,y 16, log2x,x 16. 五、求复合函数的方法。 1•代入法 某一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代,这种构成复合函数的方法,称之为代入法,该法适用于初等函数的复合,关健搞清谁是内函数,谁是外函数。 2.分析法 根据外函数定义的各区间段,结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析,从而得出复合函数的方法,该方法用于初等函数与分段函数或分段函数与分段函数的复合。 x 例8设fx,求fnxfffx V,1x2n次 猜想 1nx2 n=1时,结论已成立,假设 n=k+1 时结论成立, 1,x 0,x f(f(x))=1。 1时,f 1时,f 例10设fx (1)当 或x0, n=k时,f 1, 1, 1,f 0,f x e,xx,x 1, 1nx2 1kx2 2 x kx2 1。 1, 1. 0, 1, 1, 1. .1x2 x2 1—2 1x 12x2 成立,当n=k+1 -o 一1k1x2 1。 时, In (3)由fx 1丄11 ax12X12 x a ax1a,1 1— 1ax21ax2 或x 0, x x211, 即x、2x 2,有0x .2. (2) 当 x 1时 或x 0, x x2 1, 即x0,1有 1x0。 或x 0, x x21 1, 即: 0辰 x,2,有x ■-2•得 x2 e,x1, x? 2,1x0, ex2l,0x、、2,x21,x2 六、判断奇偶函数的方法 偶函数f(x)的图象关于y轴对称;奇函数f(x)的图象关于原点对称。 奇偶函数的运算性质 1.奇函数的代数和仍为奇函数,偶函数的代数和仍为偶函数。 2.偶数个奇(偶)函数之积为偶函数;奇数个奇函数的积为奇函数。 3.一奇一偶的乘积为奇函数 4.两个奇函数复合仍为奇函数,一奇一偶复合为偶函数,两个偶函数复合仍为偶函数。 判断方法 1•用定义 2.•若f(x)+f(-x)=0,则f(x)为奇函数,这种方法适合用定义比较困难的题目。 例11判断下列函数的奇偶性: 22-1x (1)fx.1x1x; (2)fxln 1x 11 (3)fx—(a>0,a丰1常数) a12 解 (1)由fx31x231x231x231x2fx,知f(x)为偶函数 (2)由fX In In10,知f(x)为奇函数。 fx,知f(x)为奇函数 七、周期函数的判断与周期的求法 1•周期函数周期的求法 (1)若T为f(x)的周期,贝Uf(ax+b)的周期为Ta0a (2)若f(x)的周期为T1,g(x)的周期为T2,则C1f(x)+C2g(x)的周期为T1,T2的最小公倍数。 2•周期函数的判断方法。 (1)用定义。 (2)用周期函数的运算性质。 常见函数的周期: sinx,cosx,其周期T=2n;tanx,cotx,sinx,cosx,其周期T=n。 例12求下列函数周期 xfx2tan— 2 (1) x 3tan; 3 (2) 4 fxsinx 4 cosx; (3)fxxx。 解 (1)由 x tan—的周期T1 2 x tan—的周期T2 3 13。 故f(x)的周期性期为6no 3 2 sin 2 cos 2 2sin 2 xcosx 1dn22x 2 cos4x cos4x,知f(x)的周期T Z,T为任意整数,由 知任意整数均为其周期, 则最小周期 T=1。 例13若函数f 的图形关于两条直线 x=a禾口x=b对称 (b>a), 则f(x)为周期 函数。 证由条件函数的对称性知 (1) (2) 故函数在 ba a,b中点(a+b)/2处的值等于点a/和b 2 处的函数值 2 从而猜想如果 f(x)为周期函数,则周期应为b 事实上fx2ba fbxb2a fbxb2af2ax 所以f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数。 八、单调函数的判断方法 1.用定义。 2•利用单调函数的性质。 (1)两个递减(增)函数的复合是递增函数,一个递增、一个递减函数的复合是递减函数。 例14设X,X及f(x)为递增函数证明: 若 (1) (2) 证设xo为三个函数公共域内的任一点,则 Xo fxo Xo 由 (1)以及函数f(x)的递增性知f Xo Xo Xo Xo 从而 XoffXo 同理可证 ffXo xo。 Xo的任意性知,于是 (2)式成立。 九、函数有界性的判断判断函数是否有界,经常用定义。 例15判断下列函数是否有界: 上X (1)fX2; 1X 解 (1)由f(x)的定义域是 (2)f 1 2,X X o,i。 X X X 1X2 1 2 X 2|x Ro 1,当 0时,fO0,有f 1 ,所以 2 f(x)为有界函数。 (2)Mo,取Xo fXo 1|| 1 M11 M1M1 M. 由无界函数的定义知f(x)在 (o,1)上无界。 第二节函数极限与连续 §2.1函数极限内容网络图 limf(x)A x limf(x)A 函数极限定义xx limf(x) Xx limf(x) x 性质唯一性,有界性,不等式,保号性,四则运算 I夹逼定理 判断函数极限存在准则“ r单调有界定理 单侧极限与双侧极限 <函数极限与数列极限一一归结原则。 关系定理函数极限与无穷小 I无穷大与无穷小 无穷小的阶高阶、同阶、等价。 函数连续定义一一limf(x)f(x。 )或limy0 xxox0 严 可去间断点 第一类间断点•跳跃间断点 间断点分类 ■第二类间断点.闭区间上连续函数的性质初等函数在其定义域内的闭区间上连续 最大(小)值定理 <零值点定理(根的存在定理) 介值定理 §2.2内容提要与释疑解难 、函数极限的概念 1.Jimf(x)A: 若存在一个常数A, 0,X0,当xX时,都有f(x)A 2.Jimf(x)A: 把1中"xX”换成"xX 3.limf(x)A: 把1中“xX”换成“xX”。 定理limf(x)Alimf(x)A且limf(x)A. XXX 0 4.limf(x)A: 设f(x)在xo的某空心邻域内UX。 有定义,若存在一个常数A,xxo 0,0,当0xx0时,都有f(x)A。 0 5.lim
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 微积分 学习 总结