小升初数学典型例题.docx
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小升初数学典型例题
典型应用题
【平均数问题】
例1小强骑自行车从甲地到乙地,去时以每小时15千米的速度前进,回时以每小时30千米的速度返回。
小强往返过程中的平均速度是每小时多少千米
(江西省第二届“八一杯”小学数学竞赛试题)
讲析:
我们不能用(15+30)÷2来计算平均速度,因为往返的时间不相等。
只能用“总路程除以往返总时间”的方法求平均速度。
所以,往返的平均速度是每小时
例2动物园的饲养员给三群猴子分花生。
如果只分给第一群,则每只猴子可得12粒;如果只分给第二群,则每只猴子可得15粒;如只分给第三群,则每只猴子可得20粒。
那么平均分给三群猴子,每只猴子可得____粒。
(北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题)
讲析:
设花生总粒数为单位“1”,由题意可知,第一、二、三群猴子
于是可知,把所有花生分给这三群猴子,平均每只可得花生
例3某班在一次数学考试中,平均成绩是78分,男、女生各自的平均成绩是分和81分。
问:
这个班男、女生人数的比是多少
(全国第三届“华杯赛”决赛第二试试题)
讲析:
因男生平均比全班平均少分,而女生平均比全班平均的多3分,故可知
×男生数=3×女生数。
∶3=女生数:
男生数
即男生数:
女生数=6:
5。
例4某次数学竞赛原定一等奖10人,二等奖20人,现在将一等奖中最后4人调整为二等奖,这样,得二等奖的学生平均分提高了1分,得一等奖的学生的平均分提高了3分。
那么,原来一等奖平均分比二等奖平均分多____分。
(1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:
设原来一等奖每人平均是a分。
二等奖每人平均是b分。
则有:
10a+20b=6×(a+3)+24×(b+1)
即:
a-b=10.5。
也就是一等奖平均分比二等奖平均分多分。
【行程问题】
例1甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙两人从A地,丙一人从B地同时相向出发,丙遇到乙后2分钟又遇到甲,A、B两地相柜______米。
(1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)
讲析:
如图,当乙丙在D点相遇时,甲已行至C点。
可先求出乙、两相遇的时间,也就是乙行距离AD的时间。
乙每分钟比甲多走10米,多少分钟就多走了CD呢而CD的距离,就是甲、丙2分钟共行的距离:
(70+50)×2=240(米)。
于是可知,乙行AD的时间是240÷10=24(分钟)。
所以,AB两地相距米数是(70+60)×24=3120(米)
例2在一条公路上,甲、乙两个地点相距600米,张明每小时行走4千米,李强每小时行走5千米。
8点整,他们两人从甲、乙两地同时出发相向而行,1分钟后他们都调头反向而行,再过3分钟,他们又调头相向而行,依次按照1、3、5、7……(连续奇数)分钟数调头行走。
那么,张、李两个人相遇时是8点_____分。
(1992年全国小学数学奥林匹克竞赛初赛试题)
(千米)=150(米)
他俩相向走(1+5)分钟,反向走(3+7)分钟后两人相距:
600+150×〔(3+7)-(1+5)〕=1200(米)
所以,只要再相向行走1200÷150=8(分钟),就可以相遇了。
从而可知,相遇所需要的时间共是
1+3+5+7+7+8=24(分钟)
也就是相遇时是8点24分。
例3快、中、慢三辆车同时从同一地点出发,沿同一公路追赶前面的一个骑车人。
这三辆车分别用6分钟,10分钟、12分钟追上骑车人。
现在知道快车每小时走24千米,中车每小时走20千米,那么,慢车每小时走多少千米
(全国第一届“华杯赛”决赛第二试试题)
讲析:
如图所示,A点是三车的出发点,三车出发时骑车人在B点,A1、A2、A3分别为三车追上骑车人的地点。
快车走完2.4千米追上了他。
由此可见三辆车出发时,骑车人已走的路程是
AB=(千米)。
所以,慢车的速度是:
例4一辆车从甲地开往乙地。
如果把车速提高20%,可以比原定时间提前一小时到达;如果以原速行驶120千米后,再将速度提高25%。
则可提前40分钟到达。
那么,甲、乙两地相距______千米。
(1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:
首先必须考虑车速与时间的关系。
因为车速与时间成反比,当车速提高20%时,所用时间缩短为原来的
例5游船顺流而下每小时行8千米,逆流而上每小时行7千米,两船同时从同地出发,甲船顺流而下,然后返回。
乙船逆流而上,然后返回,经过2小时同时回到出发点,在这2小时中,有______小时甲、乙两船的航行方向相同。
(上海市第五届小学数学竞赛初赛试题)
讲析:
关键是要理解上行与下行时间各占全部上下行总时间的百分之几。
因为两船2小时同时返回,则两船航程相等。
又上行船速是每小时行7
例6甲、乙两车分别从A、B两城同时相向而行,第一次在离A城30千米处相遇。
相遇后两车又继续前行,分别到达对方城市后,又立即返回,在离A城42千米处第二次相遇。
求A、B两城的距离。
(《小学生科普报》小学数学竞赛预选赛试题)
讲析:
如图所示。
两车第一次在C地相遇,第二次在D地相遇。
甲、乙两车从开始到第一次C点相遇时,合起来行了一个全程。
此时甲行了30千米,从第一次相遇到第二次D点相遇时,两车合起来行了两个全程。
在这两个全程中,乙共行(30+42)千米,所以在合行一个全程中,乙行(30+42)÷2=36(千米),即A、B两城的距离是30+36=66(千米)。
例8甲、乙两车分别从A、B两地出发,在A、B之间不断往返行驶,已知甲车的速度是每小时15千米,乙车的速度是每小时35千米,并且甲、乙两车第三次相遇(两车同时到达同一地点叫相遇)的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米。
那么A、B两地的距离等于____千米。
(1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:
根据甲、乙两车的速度比为3∶7,我们可将A、B两地平均分成10份(如图)。
因为甲、乙两车速度之比为3∶7,所以甲每走3份,乙就走了7份。
于是它们第一次在a3处相遇。
甲再走份,乙走份,在a7与a8之中点处甲被乙追上,这是第二次相遇;甲再又走份,乙走份,在a9点第三次两车相遇;甲走6份,乙走14份在a5点第四次两车相遇。
(千米)。
例9在400米环形跑道上,A、B两点相距100米(如图)。
甲、乙两人分别从A、B两点同时按逆时针方向跑步。
甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,每人每跑100米,都要停10秒钟,那么,甲追上乙需要____秒钟。
(1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:
各跑100米,甲比乙少用的时间是100÷4-100÷5=5(秒钟),现在甲要比乙多跑100米,需20秒钟。
由20÷5=4(个百米),可知,乙跑400米以后,甲就比乙多跑100米。
这样便刚好追上乙。
甲跑完(400+100)米时,中途停了4次,共停40秒钟。
故20×5+40=140(秒)。
当乙跑完400米以后,停了10秒,甲刚好到达同一地点。
所以,甲追上乙需要140秒钟。
例10甲、乙二人在同一条环形跑道上作特殊训练:
他们同时从同一地点出发,沿相反方向跑,每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二
第一次相遇点190米,问这条环形跑道长多少米
(全国第四届“华杯赛”复赛试题)
讲析:
图为甲、乙两人每跑到原出发点时,就返回头跑。
于是,从出发点切开,然后将环形跑道拉直,这样,他俩就可以看作在AB线段上的往返跑步(如图)。
跑第一圈时,乙的速度与甲的速度的比是3∶2。
当甲从
原速跑到A点。
(个)全程,即刚好到达D点。
所以,在AD段中,甲、乙两人都是按各自的加速度相向而行。
不难求得
例11图,大圈是400米跑道,由A到B的跑道长是200米,直线距离是50米。
父子俩同时从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼,儿子跑大圈,父亲每跑到B点便沿直线跑,父亲每100米用20秒,儿子每100米用19秒。
如果他们按这样的速度跑,儿子在跑第几圈时,第一次与父亲再相遇
(全国第二届“华杯赛”复赛试题)
讲析:
容易计算出,父亲经过150秒刚好跑完3小圈到达A点,儿子经过152秒刚好跑完2圈到达A点,儿子比父亲慢2秒钟,所以儿子将沿跑道追赶父亲。
因为A到B弯道长200米,儿子每跑100米比父亲快一秒,可知恰好在B点追上父亲。
即,儿子在跑第三圈时,会第一次与父亲相遇。
例12甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园。
甲班步行的速度是每小时4千米,乙班步行的速度是每小时3千米。
学校有一辆大客车,它的速度是每小时48千米。
这辆车恰好能坐一个班的学生。
为了使两班学生在最短时间内到达,那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是____。
(1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:
要使两个班在最短时间内到达,只有让两个班都同时运行且同时到达。
设甲班先步行后乘车。
甲班、乙班和客车的行进路线如图所示。
AB、CD分别表示甲班和乙班步行距离。
当甲班从A地行至B地时,汽车共行了:
AB+2·BC。
又汽车速度是甲班的12倍,所以
同理,当乙班从C地行至D地时,汽车共行了CD+2·BC。
又,汽车速度是乙班的16倍,所以
AB∶CD=15∶11。
即甲班与乙班需要步行的距离之比为15∶11。
例13王经理总是上午8点钟乘公司的汽车去上班。
有一天,他6点40分就步行上班,而汽车仍按以前的时间从公司出发,去接经理,结果在路途中接到了他。
因此,王经理这天比平时提前16分钟到达公司。
那么汽车的速度是王经理步行速度的____倍。
(《小学生科普报》小学数学奥林匹克通讯赛试题)
讲析:
如图,A点表示王经理家,B点表示公司,C点表示汽车接王经理之处。
王经理比平时提前16分钟到达公司,而这16分钟实际上是汽车少走了2·AC而剩下的时间,则汽车行AC路程需要8分钟,所以汽车到达C点接到王经理的时间是7点52分钟。
王经理步行时间是从6点40分到7点52分,共行72分钟。
因此,汽车速度是王经理步行速度的72÷8=9(倍)。
【倍数问题】
例1仓库里有两个货位,第一货位上有78箱货物,第二货位上有42箱货物,两个货位上各运走了相同的箱数之后,第一货位上的箱数还比第二货位上的箱数多2倍。
两个货位上各运走了多少箱货物
(1994年天津市小学数学竞赛试题)
讲析:
因为两堆货物各运走相同数量的货物之后,第一堆比第二堆货物多2倍。
即此时第一堆货物是第二堆货物的3倍。
所以,42的3倍的积与78的差,就是两堆中各运走货物的箱数的2倍。
故两个货位各运走的货物箱数是(42×3-78)÷2=24(箱)。
例2一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖。
每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍,每个二等奖奖金是每个三等奖奖金的2倍。
如果评一、二、三等奖各两人,那么每个一等奖的奖金是308元;如果评一个一等奖,两个二等奖,三个三等奖,那么一等奖的奖金是多少元
(全国第二届“华杯赛”复赛试题)
讲析:
我们可将二等奖和三等奖都换成一等奖。
如果评1个一等奖,2个二等奖,3个三等奖时,每个一等奖的奖金为:
0
例3甲、乙两个小朋友各有一袋糖,每袋糖都不到20粒。
如果甲给乙一定数量的糖后,甲的糖就是乙的糖粒数的2倍。
如果乙给甲同样数量的糖后,甲的糖就是乙
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