高中数学《函数的最大小值》 导学案.docx

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高中数学《函数的最大小值》导学案

第2课时　函数的最大（小）值

函数的最大值和最小值

1．最大值

（1）定义：

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

①

对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；

②

存在x0∈I，使得f（x0）＝M.

那么，称M是函数y＝f（x）的最大值．

（2）几何意义：

函数y＝f（x）的最大值是图象最高点的纵坐标．

2．最小值

（1）定义：

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

①

对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；

②

存在x0∈I，使得f（x0）＝M.

那么，称M是函数y＝f（x）的最小值．

（2）几何意义：

函数y＝f（x）的最小值是图象最低点的纵坐标．

1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）任何函数都有最大值或最小值．（　　）

（2）函数的最小值一定比最大值小．（　　）

（3）函数f（x）＝－x在[2,3）上的最大值为－2，无最小值．（　　）

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√

2．做一做

（1）（教材改编P32T5）如图为函数y＝f（x），x∈[－4,7]的图象，此函数最大值为________，最小值为________．

（2）函数f（x）＝

在区间[1,5]上的最大值为________，最小值为________．

（3）函数y＝

的最大值为________．

答案　

（1）3　－2　

（2）3　

　（3）5

『释疑解难』

函数的最值和值域的区别与联系

（1）联系：

函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域．

（2）区别

①函数的值域一定存在，而函数的最大（小）值不一定存在；

②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，例如，函数f（x）＝x2对任意的x∈R，都有f（x）≥－1，但是f（x）的最小值不是－1，因为－1不在f（x）的值域内；

③对单调函数，若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．

探究1　　利用图象求函数最值

例1　

（1）已知函数f（x）＝

求f（x）的最大值、最小值；

（2）画出函数f（x）＝

的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．

解　

（1）作出函数f（x）的图象（如图）．

由图象可知，当x＝±1时，f（x）取最大值为f（±1）＝1；当x＝0时，f（x）取最小值f（0）＝0，

故f（x）的最大值为1，最小值为0.

（2）f（x）的图象如图所示，f（x）的单调递增区间是（－∞，0）和[0，＋∞），函数的最小值为f（0）＝－1.

拓展提升

图象法求最值的一般步骤

【跟踪训练1】　求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．

解　y＝|x＋1|－|x－2|＝

作出函数的图象，由图可知，y∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3.

探究2　　利用单调性求函数最值

例2　求函数f（x）＝x＋

在x∈[1,3]上的最大值与最小值．

解　解法一：

图象法，可利用对勾函数图象求解．

解法二：

设1≤x1＜x2≤3，则f（x1）－f（x2）＝x1－x2＋

－

＝（x1－x2）

.

又因为x1

当1≤x1＜x2≤2时，1－

<0，

所以f（x1）－f（x2）>0，

所以f（x）在[1,2]上是减函数．

当2

>0，

所以f（x1）－f（x2）<0.

所以f（x）在（2,3]上是增函数．

所以f（x）的最小值为f

（2）＝2＋

＝4.

又因为f

（1）＝5，f（3）＝3＋

＝

（1），

所以f（x）的最大值为5.

拓展提升

利用单调性求函数最值

（1）运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法．

（2）注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析；注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍．

【跟踪训练2】　求函数y＝

在区间[1,2]上的最大值和最小值．

解　任取x1，x2，且1≤x1

则f（x1）－f（x2）＝

－

＝

＝

，

因为1≤x1＜x2≤2，

所以2

即6<3（x1＋x2）＜12，又10，

故f（x1）－f（x2）>0，即y1>y2，

所以函数y＝

在区间[1,2]上为减函数，

所以ymax＝f

（1）＝－

，ymin＝f

（2）＝－4.

探究3　　求二次函数的最值

例3　

（1）已知函数f（x）＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f（x）的最值；

（2）已知函数f（x）＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f（x）的最值；

（3）已知函数f（x）＝x－2

－3，求函数f（x）的最值．

解　

（1）∵函数f（x）＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，

∴f（x）在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f（0）＝f

（2）．

∴f（x）max＝f（0）＝f

（2）＝－3，

f（x）min＝f

（1）＝－4.

（2）∵对称轴x＝1，

①当1≥t＋2即t≤－1时，

f（x）max＝f（t）＝t2－2t－3，

f（x）min＝f（t＋2）＝t2＋2t－3.

②当

≤1

f（x）max＝f（t）＝t2－2t－3，

f（x）min＝f

（1）＝－4.

③当t≤1<

，即0

f（x）max＝f（t＋2）＝t2＋2t－3，

f（x）min＝f

（1）＝－4.

④当11时，

f（x）max＝f（t＋2）＝t2＋2t－3，

f（x）min＝f（t）＝t2－2t－3.

设函数最大值为g（t），最小值为φ（t），则有

g（t）＝

φ（t）＝

（3）设

＝t（t≥0），则x－2

－3＝t2－2t－3.

由

（1）知y＝t2－2t－3（t≥0）在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增，

∴当t＝1即x＝1时，f（x）min＝－4，无最大值．

拓展提升

二次函数最值的求法

（1）探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f（x）的草图，然后根据图象判断函数的单调性．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大（小）值不一定在顶点处取得．

（2）二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：

①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内．

【跟踪训练3】　

（1）已知函数f（x）＝x4－2x2－3，求函数f（x）的最值；

（2）求二次函数f（x）＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．

解　

（1）设x2＝t（t≥0），则x4－2x2－3＝t2－2t－3.

y＝t2－2t－3（t≥0）在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增．

∴当t＝1即x＝±1时，f（x）min＝－4，无最大值．

（2）∵函数图象的对称轴是x＝a，

∴当a<2时，f（x）在[2,4]上是增函数，

∴f（x）min＝f

（2）＝6－4a.

当a>4时，f（x）在[2,4]上是减函数，

∴f（x）min＝f（4）＝18－8a.

当2≤a≤4时，f（x）min＝f（a）＝2－a2.

∴f（x）min＝

探究4　　应用题中的最值问题

例4　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：

R（x）＝

其中x是仪器的月产量．

（1）将利润表示为关于月产量的函数f（x）；

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？

最大利润为多少元？

（总收益＝总成本＋利润）

解　

（1）月产量为x台，则总成本为（20000＋100x）元，

从而f（x）＝

（2）当0≤x≤400时，f（x）＝－

（x－300）2＋25000，

当x＝300时，f（x）max＝25000；

当x>400时，f（x）＝60000－100x是减函数，f（x）<60000－100×400＝20000<25000.

∴当x＝300时，f（x）max＝25000.

即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元．

拓展提升

解实际应用题的四个步骤

（1）审题：

解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系．

（2）建模：

建立数学模型，列出函数关系式．

（3）求解：

分析函数性质，利用数学知识探究问题解法（一定注意自变量的取值范围）．

（4）回归：

数学问题回归实际问题，写出答案．

【跟踪训练4】　某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为80

吨，现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？

解　设t小时后，池中水量为y吨，

则y＝450＋80t－80

＝4（

－10）2＋50，

当

＝10，即t＝5时，ymin＝50，

所以，5小时后蓄水池中水量最少，只有50吨．

1.求函数最大（小）值的常用方法

（1）值域．求出函数f（x）的值域，即可求其最值（注意必须确保存在函数值里的最值）；

（2）单调性法．通过研究函数的单调性来求函数的最值；

（3）特殊函数法．利用特殊函数[如一次函数、二次函数、反比例函数、函数y＝x＋

（a>0）]的单调性来求其最值.

2.函数的值域与最大（小）值的区别

（1）函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，即定义域中一定存在一个x0，使f（x0）＝M（最值）.

（2）函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大（小）值，如y＝x在x∈（－1,1）时无最值.

1．函数f（x）在[－2，＋∞）上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为（　　）

A．3,0

B．3,1

C．3，无最小值

D．3，－2

答案　C

解析　观察图象可以知道，图象的最高点坐标是（0,3），从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.

2．已知函数f（x）＝x2－2，其中x∈[0,2]，这个函数的最大值和最小值分别为（　　）

A．－2和1B．2和－2

C．2和－1D．－1和2

答案　B

解析　∵f（x）＝x2－2，x∈[0,2]是单调递增函数，

∴ymax＝f

（2）＝2，ymin＝f（0）＝－2.

3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：

万元）分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x（其中销售量单位：

辆）．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（　　）

A．90万元B．60万元

C．120万元D．120.25万元

答案　C

解析　设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售（15－x）辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2（15－x）＝－x2＋19x＋30＝－

2＋30＋

，

∴当x＝9或10时，L最大为120万元．

4．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b]（a

答案　－2　0

解析　y＝－（x－3）2＋18，∵a

∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，

得b＝0（b＝6不合题意，舍去），由－a2＋6a＋9＝－7，

得a＝－2（a＝8不合题意，舍去）．

5．已知二次函数y＝x2－4x＋5，分别求下列条件下函数的最小值：

（1）x∈[－1,0]；

（2）x∈[a，a＋1]．

解　

（1）∵二次函数y＝x2－4x＋5的对称轴为x＝2且开口向上，

∴二次函数在x∈[－1,0]上是单调递减的．

∴ymin＝02－4×0＋5＝5.

（2）当a≥2时，函数在x∈[a，a＋1]上是单调递增的，

ymin＝a2－4a＋5；

当a＋1≤2即a≤1时，函数在[a，a＋1]上是单调递减的，ymin＝（a＋1）2－4（a＋1）＋5＝a2－2a＋2；

当a<2

故函数的最小值为

A级：

基础巩固练

一、选择题

1．已知函数f（x）＝

（x∈[2,6]），则函数的最大值为（　　）

A．0.4B．1C．2D．2.5

答案　C

解析　∵函数f（x）＝

在[2,6]上是单调递减函数，∴f（x）max＝f

（2）＝

＝2.

2．已知函数f（x）＝|x|，x∈[－1,3]，则f（x）的最大值为（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　D

解析　根据函数图象可知，f（x）的最大值为3.

3．函数f（x）＝

则f（x）的最大值、最小值分别为（　　）

A．10,6B．10,8

C．8,6D．以上都不对

答案　A

解析　当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7＜8.∴f（x）min＝f（－1）＝6，f（x）max＝f

（2）＝10.故选A.

4．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．[0,2]

C．（－∞，2]D．[1,2]

答案　D

解析　由y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2知，当x＝1时，y的最小值为2，当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.

5．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（　　）

A．2B．－2C．2或－2D．0

答案　C

解析　当a＝0时，不满足题意；当a>0时，y＝ax＋1在[1,2]上为增函数，所以2a＋1－（a＋1）＝2，解得a＝2；当a<0时，y＝ax＋1在[1,2]上为减函数，所以a＋1－（2a＋1）＝2，解得a＝－2，故a＝±2.

二、填空题

6．设函数y＝f（x）的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2,6]上递增，且f（－4）

答案　f（－2）　f（6）

解析　函数y＝f（x）在[－4,6]上的图象的变化趋势如图所示，观察可知f（x）min＝f（－2）．

又由题意可知f（－4）

故f（x）max＝f（6）．

7．函数f（x）＝

在[1，b]（b>1）上的最小值是

，则b＝________.

答案　4

解析　因为f（x）＝

在[1，b]上是减函数，所以f（x）在[1，b]上的最小值为f（b）＝

＝

，所以b＝4.

8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为______（m）．

答案　20

解析　设矩形花园的宽为ym，

则

＝

，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x（40－x）＝－x2＋40x＝－（x－20）2＋400，当x＝20时，面积最大．

三、解答题

9．求函数f（x）＝x－

的最值．

解　令

＝t（t≥0），则x＝t2－1，

所以y＝t2－t－1（t≥0）．

又y＝t2－t－1（t≥0）的图象是对称轴为直线t＝

，开口向上的抛物线的一部分，

所以ymin＝

2－

－1＝－

，无最大值．

故函数f（x）的最小值为－

，无最大值．

B级：

能力提升练

10．设函数f（x）＝

其中a为常数．

（1）对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，

>0，求实数a的取值范围；

（2）在

（1）的条件下，求g（x）＝x2－4ax＋3在区间[1,3]上的最小值h（a）．

解　

（1）由题意，函数在定义域上为增函数，则实数a应满足

解得1≤a≤4.

（2）g（x）＝x2－4ax＋3＝（x－2a）2＋3－4a2，其图象的对称轴为x＝2a，

由

（1）得2≤2a≤8.

①当2≤2a≤3，即1≤a≤

时，h（a）＝g（2a）＝3－4a2；

②当3<2a≤8，即

综上，h（a）＝