学年苏科版数学七年级下册第七章《平面图形的认识二》常考题 练习三.docx

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学年苏科版数学七年级下册第七章《平面图形的认识二》常考题练习三

七年级下册第七章《平面图形的认识

（二）》

常考题培优练习（三）

1．在△ABC中，∠B＝∠C，

（1）如图1，点D、E分别在BC与AC上，∠ADE＝∠AED，求证：

∠BAD＝2∠CDE；

（2）如图2，将∠CAH沿AH翻折到∠QAH，AH⊥QF于H，QH交BC于F，BP平分∠ABC，QP平分∠AQF，BP与QP交于P，试探究∠P与∠BFQ的关系．

2．如图，在△ABC中，BC边上有一点D，过D作DE∥AC交AB于E点，过D作DF∥AB交AC于F点．

（1）已知∠EDF＝65°，求∠A的度数；

（2）若∠EDB＝50°，∠EDF＝65°，求∠B、∠C；

（3）结合

（1）、

（2）猜想：

∠A+∠B+∠C等于多少，并加以证明．

3．如图，AB∥CD，P为定点，E、F分别是AB、CD上的动点．

（1）求证：

∠P＝∠BEP+∠PFD；

（2）若M为CD上一点，MN交PF于N．证明：

∠PNM＝∠NMF+∠NFM；（说明：

不能运用三角形内角和定理）

（3）在

（2）的基础上，若∠FMN＝∠BEP，试说明∠EPF与∠PNM的关系，并证明你的结论．

4．

（1）如图1，车尾灯内两面镜子AB、BC互相垂直，当光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4．说明为什么进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行；

（2）小明受车尾灯设计启发，进行实验尝试．

①如图2，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90）时，进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系．

②两面镜子的夹角为α°（90＜α＜180）时，进入光线与离开光线所在直线的夹角为β°（0＜β＜90）．请直接写出α与β的数量关系．　　

5．如图，在△ABC中，分别延长△ABC的边AB，AC到D，E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：

a．若∠A＝50°，则∠P＝65°＝90°﹣

；

b．若∠A＝90°，则∠P＝45°＝90°﹣

；

c．若∠A＝100°，则∠P＝40°＝90°﹣

；

（1）根据上述规律，若∠A＝150°，则∠P＝　　；

（2）请你用数学表达式归纳出∠P与∠A的关系；

（3）请说明你的结论．

6．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．

（1）若点P在线段AB上，如图①所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　　°；

（2）若点P在边AB上运动，如图②所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为　　；

（3）如图③，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请写出∠α、∠1、∠2之间的关系式，并说明理由．

7．填写推理理由

如图，已知AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，AD平分∠BAC．说明∠E＝∠1的理由．

解：

∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）

∴∠ADC＝∠EFC＝90°（垂直的意义）

∴AD∥EF（　　）

∴∠1＝　　（　　）

∠E＝　　（　　）

又∵AD平分∠BAC（已知）

∴∠BAD＝　　

∴∠1＝∠E．

8．如图1，直线AB∥CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连结PE，PF．

（1）若∠PEB＝60°，∠PFD＝50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤说明理由）

（2）如图2，若点P、Q在直线AB与CD之间时，∠1＝30°，∠2＝40°，∠3＝70°，请求出∠4＝　　．（不需说明理由，请直接写出答案）

（3）如图3，在图1基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°．则∠P1＝　　（用x，y的代数式表示），若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2，P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝　　．

（4）在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个图5的“回旋镖”，经测量发现∠PAC＝38°，∠PBC＝22°，他很想知道∠APB与∠C的数量关系，你能告诉他吗？

请你直接写出答案：

　　．

9．将一副三角板如图所示位置摆放．

（1）直接写出∠AOC与∠BOD的大小关系，不需证明；

（2）图1中的三角板AOB不动，将三角板COD绕点O旋转至CO∥AB（如图2），判断DO与AB的位置关系，并证明．

（3）在

（2）的条件下，三角板COD绕点O旋转的过程中，能否使CD⊥AB？

若能，求出此时∠AOC的度数；若不能，请说明理由．

10．已知：

直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．

（1）如图1，∠BME，∠E，∠END的数量关系为　　；（直接写出答案）

（2）如图2，∠BME＝m°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，EQ∥NP，求∠FEQ的度数．（用含m的式子表示）

（3）如图3点G为CD上一点，∠BMN＝n•∠EMN，∠GEK＝n•∠GEM，EH∥MN交AB于点H，探究∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含n的式子表示）

参考答案

1．

（1）证明：

∵∠ABC＝∠ACB，

∴在△ABC中，∠BAD＝180°﹣2∠C﹣∠DAC，

∵∠ADE＝∠AED，

∴∠BAD＝180°﹣2∠C﹣∠DAC＝180°﹣2∠C﹣（180°﹣2∠AED）＝180°﹣2∠C﹣180°+2∠AED＝﹣2∠C+2（∠CDE+∠C）＝2∠CDE．

（2）由

（1）知，∠BAD＝2∠QFD，

设∠QFD＝x，则∠BAD＝2x，

∵∠BDA＝∠QDF，

∴∠ABD＝∠AQF﹣x，

∵BP平分∠ABC，QP平分∠AQF，

∴∠PBM＝

∠ABD＝

∠AQF﹣

x，∠MQF＝

∠AQF，

又∵∠BMP＝∠QMC，

∴∠PBM+∠P＝∠MQF+∠BFQ，

即

∠AQF﹣

x+∠P＝

∠AQF+x，

∴∠P＝

x，

即∠P＝

∠BFQ．

2．解：

（1）∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴∠A＝∠EDF＝65°；

（2）∵DE∥AC，DF∥AB，

∴∠B＝∠FDC＝180°﹣∠EDB﹣∠EDF＝65°，∠C＝∠EDB＝50°；

（3）∠A+∠B+∠C＝180°，

∵DE∥AC，DF∥AB，

∴∠BED＝∠A，∠BED＝∠EDF，∠EDB＝∠C，∠FDC＝∠B，

∴∠EDF＝∠A，

∵∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，

∴∠A+∠B+∠C＝180°．

3．解：

（1）如图，

过P作PQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠BEP＝∠1，∠2＝∠PFD，

∵∠EPF＝∠1+∠2，

∴∠EPF＝∠BEP+∠PFD；

（2）∵作NH∥DC，

∴∠PNH＝∠NFM，∠MNH＝∠NMF，

∴∠PNM＝∠PNH+∠MNH＝∠NMF+∠NFM．

（3）由

（1）的结论∠EPF＝∠BEP+∠PFD

，

∵∠FMN＝∠BEP，

∴∠EPF＝∠FMN+∠PFD，

∵∠PNM＝∠NMF+∠NFM，

∴∠PMN＝∠FMN+∠PFD，

则∠EPF＝∠PMN．

4．解：

（1）∵∠1＝∠2，

又∵∠5＝180°﹣∠1﹣∠2，

∴∠5＝180°﹣2∠2，

同理∠6＝180°﹣2∠3，

∵∠+∠3＝90°，

∴∠5+∠6＝180°，

∴进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行；

（2）①如图由

（1）所证，有∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3，

∵∠2+∠3＝180°﹣∠α，

∴∠β＝180°﹣∠5﹣∠6＝2（∠2+∠3）﹣180°＝2（180°﹣∠α）﹣180°＝180°﹣2∠α，

∴α与β的数量关系为：

2α+β＝180°，

②2α﹣β＝180°．

故答案为：

2α﹣β＝180°．

5．解：

（1）若∠A＝150°，则∠P＝90°﹣

＝15°；

故答案为15°；

（2）∠P与∠A的关系为∠P＝90°﹣

∠A；

（3）理由如下：

如图，

∵∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，

∴∠1＝

∠DBC，∠2＝

∠BCE，

∵∠P＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣

（∠DBC+∠BCE），

而∠DBC＝180°﹣∠ABC，∠BCE＝180°﹣∠ACB，

∴∠P＝180°﹣

（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）

＝

（∠ABC+∠ACB），

而∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，

∴∠P＝

（180°﹣∠A）＝90°﹣

∠A．

6．解：

（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP＝360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP＝360°，

∴∠1+∠2＝∠C+∠α，

∵∠C＝90°，∠α＝50°，

∴∠1+∠2＝140°；

（2）由

（1）得出：

∠α+∠C＝∠1+∠2，

∴∠1+∠2＝90°+α．

（3）如图，

分三种情况：

连接ED交BA的延长线于P点

如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C+∠1+∠α，

∴∠2﹣∠1＝90°+∠α；

如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°；

如图3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C，

∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°．

7．解：

∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），

∴∠ADC＝∠EFC＝90°（垂直的意义），

∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行），

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），

∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等），

又∵AD平分∠BAC（已知）

∴∠BAD＝∠CAD，

∴∠1＝∠E，

故答案为：

同位角相等，两直线平行，∠2，两直线平行，内错角相等，∠CAD，两直线平行，同位角相等，∠CAD．

8．解：

（1）如图1，

过点P作PH∥AB∥CD

∴∠1＝∠EPH，∠2＝∠FPH

而∠EPF＝∠EPH+∠FPH

∴∠EPF＝∠1+∠2＝110°；

（2）∠4＝80°，（3）∠P1＝

（x+y）°（用x，y的代数式表示）

∠Pn＝（

）n（x+y）°．

（4）∠APB＝∠C+60°．理由如下：

过A、B分别作直线AE、BF，使AE∥BF．如图，

由

（1）规律可知∠C＝∠1+∠2．

∠APB＝∠PAE+∠PBF

＝（∠PAC+∠1）+（∠PBC+∠2）

＝∠PAC+∠PBC+（∠1+∠2）

＝∠C+60°．

9．

（1）解：

如图1，∠AOC＝∠BOD，

理由是：

∵∠DOC＝∠AOB＝90°，

∴∠DOC﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠AOD，

∴∠AOC＝∠BOD；

（2）如图2，DO⊥AB，

证明：

∵CO∥AB，∠COD＝90°，

∴∠NMD＝∠COD＝90°，

∴DO⊥AB；

（3）如图3，

解：

能使CD⊥AB，

理由是：

∵CD⊥AB，

∴∠ANQ＝90°，

∵∠A＝30°，

∴∠AQN＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

∴∠CQO＝∠AQN＝60°，

∵∠C＝45°，

∴∠AOC＝180°﹣∠CQO﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．

10．解：

（1）如图1，过点E作l∥AB，

∵AB∥CD，

∴l∥AB∥CD，

∴∠1＝∠BME，∠2＝∠DNE，

∵∠MEN＝∠1+∠2，

∴∠E＝∠BME+∠END，

故答案为：

∠E＝∠BME+∠END；

（2）如图2，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，

∴

，

∵EQ∥NP，

∴

，

∵∠MEN＝∠BME+∠END，

∴∠MEN﹣∠END＝∠BME＝m°，

∴∠FEQ＝∠NEF﹣∠NEQ

＝

，

＝

＝

m°；

（3）n∠GEH＝∠GEK﹣∠BMN．

如图3，∵∠BMN＝n•∠EMN，∠GEK＝n•∠GEM，

∴

，

，

∵EH∥MN，

∴

，

∵∠GEH＝∠GEM﹣∠HEM，

＝

，

∴n∠GEH＝∠GEK﹣∠BMN．