教案0203一元二次不等式4课时.docx
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教案0203一元二次不等式4课时
一元二次不等式
(1)
教学目标:
1.理解一元二次不等式的概念,掌握一元二次不等式的图像解法;
2.进一步体会一元二次不等式与一元二次方程和二次函数的关系;
3.进一步培养学生的计算技能,在学习一元二次不等式的图像解法的过程中感受数形结合的数学思想方法。
教学重点:
一元二次不等式的图像解法
教学难点:
指出二次函数图像在x轴上方或下方所对应的自变量的取值范围。
教学过程:
教学内容
学生学习活动
说明
复习引入
1、一元二次方程
的解是
2、二次函数
的图像是一条抛物线,当
时开口向上,当
时开口向下;对称轴是
,顶点坐标为
,与x轴的交点为
。
一元二次方程和二次函数的相关知识是解一元二次不等式的基础,教师引导学生回顾相关知识。
概念引入
在§2.1的不等式关系问题(3)中,我们得到不等式x2-x+6<0,不等式左边是一个关于x的二次式。
一般地,形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(期中a≠0),叫做一元二次不等式。
满足一元二次不等式的未知数的取值范围,叫做这个不等式的解集。
如何解一元二次不等式呢?
引出概念,并提出如何解一元二次不等式呢?
实例探究
探究:
观察二次函数y=x2-x+6的图像,并回答下列问题:
(1)当y=0时,x取什么值?
(2)二次函数y=x2-x+6的图像与x轴交点的坐标是什么?
(3)当y<0时,x的取值范围是什么?
引导学生根据图像回答问题,感受数形结合的数学思想方法。
概括归纳
一般地,二次函数
的图像与x轴交点的横坐标即为一元二次方程
的解。
函数
的图像在x轴上方(下方)的部分所对应的自变量x的取值范围,即为一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)的解集。
由特殊到一般,归纳出方法,学会根据二次函数图像在x轴上方或下方所对应的自变量的取值范围来确定不等式的的解集。
强调二次函数图像在x轴上方或下方所对应的自变量的取值范围即为不等式的解集。
典例分析
例:
解不等式x2-2x-3>0。
解:
方程x2-2x-3=0的解是x1=-1,x2=3.
如图,函数y=x2-2x-3的图像是开口向
上的抛物线,与x轴有两个交点(-1,0)
和(3,0)。
观察图像可得,原不等式的解集为
{x|x<-1或x>3},即(-∞,-1)∪(3,+∞)。
强调解题过程的规范性。
方法小结
当a>0时,解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式,一般步骤为:
确定对应方程
的解;
画出对应函数
的图像;
由图形得出不等式的解集。
练习:
P37练习1,2
(1)题
由例题归纳出一般方法和步骤。
然后仿照例题完成针对性练习。
思考交流
思考交流:
不等式x2-2x-3≤0的解集是什么?
练习:
P37练习2
(2)题
1、按例1的方法解
不等式,注意带等号与不带等号区别。
2、从集合的角度,x2-2x-3≤0的解集是x2-2x-3>0的补集。
让学生在教师的引导下通过合作交流解决问题。
小结
1、当a>0时,解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式,一般步骤。
2、你在解一元二次不等式的过程中,感到困难的地方在哪里?
你是如何克服的?
作业
P42习题第1题,第2题的第
(1)、(3)小题。
一元二次不等式
(2)
教学目标:
1.掌握一元二次不等式的图像解法,并归纳出一般地一元二次不等式的求解步骤;
2.进一步体会一元二次不等式与一元二次方程和二次函数的关系;
3.进一步培养学生的计算技能,在学习一元二次不等式的图像解法的过程中感受数形结合的数学思想方法。
教学重点:
一元二次不等式的图像解法及一元二次不等式解集情况的一般规律。
教学难点
指出二次函数图像在x轴上方或下方所对应的自变量的取值范围和△<0时的解集。
教学过程
教学内容
学生学习活动
说明
复习引入
当a>0时,解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式,一般步骤为:
确定对应方程ax2+bx+c=0的解;
画出对应函数y=ax2+bx+c的图像;
由图形得出不等式的解集。
典例分析
例:
解不等式9x2-6x+1>0。
解:
因为△=(-6)2-4×9×1=0,所以方程有两个相等的实数解:
函数y=9x2-6x+1的图像是开口向上的抛物线,与x轴只有一个交点(1/3,0)。
观察图像可得,原不等式的解集为
注意引导学生理解本题解集的区间表示,可借助数轴直观表示。
思考交流
思考:
不等式9x2-6x+1≤0的解集是什么?
9x2-6x+1≤0的解集是9x2-6x+1>0的解集的补集的角度思考。
引导学生类比前一节课的“思考交流”加以解决。
典例分析
例:
解不等式x2-2x+2>0.
解:
因为△=(-2)2-4×2×1=-4<0,所以方程x2-2x+2=0无实数解。
函数y=x2-2x+2的图像是开口向上的抛物线,与x轴没有交点,如右图。
观察图像可得,原不等式的解集为R。
进一步强调解题过程的规范性。
归纳总结
一般地,当a>0时,解形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的一元二次不等式,有如下结论:
判别式
△=b2-4ac
△>0
△=0
△<0
一元二次方程
ax2+bx+c的根
有两个相异的实数解
x1,x2(x1<x2)
有两个相等的实数解
x1=x2=-b/2a
无实数解
二次函数y=ax2+bx+c的图像
一元二次不等式ax2+bx+c>0
的解集
(-∞,x1)∪(x2,+∞)
(-∞,-b/2a)∪(-b/2a,+∞)
R
一元二次不等式ax2+bx+c<0
的解集
(x1,x2)
ф
ф
练习
P39练习1
独立完成
问题解决
1、自变量x分别取什么值时,下列函数值大于0、等于0、小于0?
(1)y=x2+6x+10
(2)y=25-x2
用一根长10m的绳子,能围成面积大于6m2的矩形吗?
能围成面积大于7m2的矩形吗?
在教师的引导下运用一元二次不等式知识解决实际问题,感受数学的实用性,增强学习的主动性。
学以致用,增强学生学习的主动性。
小结
1、当a>0时,解形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的一元二次不等式,解集的情况如何?
2、谈谈你对一元二次不等式与一元二次方程和二次函数的关系的理解。
作业
一元二次不等式(3)
教学目标:
1.掌握一元二次不等式的图像解法,能将二次项系数为负数的不等式转化为二次项为正数的一元二次不等式加以解决;
2.进一步培养学生的计算技能;
3.在解一元二次不等式的图像解法的过程中进一步感受数形结合的数学思想方法。
教学重点:
能将二次项系数为负数的不等式转化为二次项为正数的一元二次不等式加以解决。
教学难点
解带参数的一元二次不等式。
教学过程
教学内容
学生学习活动
说明
复习引入
当a>0时,解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式,一般步骤为:
确定对应方程ax2+bx+c=0的解;
画出对应函数y=ax2+bx+c的图像;
由图形得出不等式的解集。
探究学习
思考:
如何解二次项系数为负数的一元二次不等式?
例:
解不等式-x2-2x+3>0。
解:
在不等号两边同时乘以-1,得x2+2x-3<0,
方程x2+2x-3=0的解为x1=1,x2=-3
如图,函数y=x2+2x-3的图像是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点(1,0)和(-3,0)。
观察图像可得,原不等式的解集为(-3,1)。
回顾基本方法,交流、合作解答本题。
强调不等式两边同乘-1时,不等号要改变方向。
典例分析
例:
解不等式19x-6≥3x2。
解:
将不等式变形得:
3x2-19x+6≤0.
方程3x2-19x+6=0的解为
.
所以原不等式的解集为
。
练习:
P40练习1、2
解题步骤:
1、将不等式变形为二次项系数为正数的一般形式。
2、解一元二次方程。
3、得出不等式解集。
进一步强调解题过程的规范性。
能力提升
例:
解关于x的不等式x2-(2m+1)x+m2+m>0.
解:
方程x2-(2m+1)x+m2+m=0的解为:
x1=m,x2=m+1
因为m<m+1,所以原不等式的解集为:
(-∞,m)∪(m+1,+∞)
独立计算
学生板演
重在提高学生的运算能力。
问题解决
1、x2+2x-3<0
(x-3)(x+1)<0,根据实数
乘法的符号法则说明该不等式的解集。
2、设集合M={x|x²+2x-15<0},集合
N={x|(1+x)(6-x)<0},求M∪N,M∩N。
小结
1、解形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的一元二次不等式的一般方法和步骤。
2、形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的一元二次不等式,解集的情况如何?
作业
一元二次不等式(4)
教学目标:
1.能熟练的解一元二次不等式,进一步培养学生的计算技能;
2.能根据实际问题列出一元二次不等式解决实际问题。
3.激发学生热情,体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重点:
根据实际问题列出一元二次不等式解决实际问题。
教学难点:
根据实际问题列出一元二次不等式解决实际问题。
教学过程:
教学内容
学生学习活动
说明
情境引入
解下列不等式:
1、x2+2x-8>0
2、x2+4x+4≤0
3、-3x2-2x+8≥0
4、x2+2x+3<0
回顾解题方法,开展解题竞赛,看谁解的既准确有快速。
旨在培养学生的计算技能。
典例分析
例:
实数m在什么范围内取值,一元二次不等式x2+(m-3)x+m=0有实数解?
解:
一元二次方程有实数解必须△≥0,
即(m-3)2-4m≥0,整理,得:
m2-10m+9≥0
解得:
m≤1或m≥9,
所以当m≤1或m≥9时,方程x2+(m-3)x+m=0有实数解。
练习:
P41练习1
学以致用
例:
某商场一天内销售某型号电视机的数量x(台)与利润y(元)之间满足y=-10x2+500x。
如果这家商家计划在一天内通过销售该型号电视机产生60000元以上的利润,那么一天内大约应销售多少台该型号的电视机?
解:
根据题意得:
-10x2+500x>6000
移项、整理,得:
x2-50x+600<0
解得:
20<x<30
因为x只能取正整数,所以当这家商场在一天内销售该型号电视机的数量在21台到29台之间时,能获得6000元以上的利润。
问题解决
问题:
用10m长的篱笆围一块矩形菜地,当菜地的一边长xm满足什么条件时,矩形菜地面积最大?
小结
谈谈你认为根据实际问题列出一元二次不等式解决实际问题关键是什么?
作业
P42习题第4、5题
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- 教案 0203 一元 二次 不等式 课时