第1章14导数在实际生活中的应用.docx
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第1章14导数在实际生活中的应用
1.4 导数在实际生活中的应用
1.能应用导数解决实际问题.(重点)
2.审清题意,正确建立函数关系式.(难点)
3.忽视变量的实际意义,忽略函数定义域.(易错点)
[基础·初探]
教材整理 导数在生活中的应用
阅读教材P35~P38“练习”以上部分,完成下列问题.
1.导数的实际应用
导数在实际生活中有着广泛的应用,如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题,从而可用导数来解决.
2.用导数解决实际生活问题的基本思路
1.做一个容积为256m3的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为____m.
【解析】 设底面边长为xm,高为hm,则有x2h=256,所以h=.所用材料的面积设为Sm2,则有S=4x·h+x2=4x·+x2=+x2.S′=2x-,令S′=0,得x=8,
因此h==4(m).
【答案】 4
2.某一件商品的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,当每件商品的定价为______元时,利润最大.
【解析】 利润为S(x)=(x-30)(200-x)
=-x2+230x-6000,S′(x)=-2x+230,
由S′(x)=0,得x=115,这时利润达到最大.
【答案】 115
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
_______________________________________________
解惑:
_______________________________________________
疑问2:
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解惑:
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疑问3:
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解惑:
_______________________________________________
[小组合作型]
面积、体积的最值问题
请你设计一个包装盒,如图141,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).
图141
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?
并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
【精彩点拨】 弄清题意,根据“侧面积=4×底面边长×高”和“体积=底面边长的平方×高”这两个等量关系,用x将等量关系中的相关量表示出来,建立函数关系式,然后求最值.
【自主解答】 设包装盒的高为hcm,底面边长为acm.
由已知得a=x,h==(30-x),0<x<30.
(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,
所以当x=15时,S取得最大值.
(2)V=a2h=2(-x3+30x2),V′=6x(20-x).
由V′=0,得x=0(舍去)或x=20.
当x∈(0,20)时,V′>0;当x∈(20,30)时,V′<0.
所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值.
此时=,即包装盒的高与底面边长的比值为.
1.解决面积、体积最值问题的思路
要正确引入变量,将面积或体积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.
2.解决导数在实际应用时应注意的问题
(1)列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域;
(2)一般地,通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)=0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较.
[再练一题]
1.将一张2×6m的矩形钢板按如图142所示划线,要求①至⑦全为矩形,且其中①与③,②与④分别是全等的矩形,且⑤+⑥=⑦,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接成一个以⑦为底,⑤⑥为盖的水箱,设水箱的高为xm,容积为ym3.
图142
(1)写出y关于x的函数关系式;
(2)x取何值时,水箱的容积最大.
【解】
(1)由水箱的高为xm,
得水箱底面的宽为(2-2x)m,长为=(3-x)m.
故水箱的容积为y=2x3-8x2+6x(0 (2)由y′=6x2-16x+6=0, 解得x=(舍去)或x=. 因为y=2x3-8x2+6x(0 所以当x的值为时,水箱的容积最大. 用料最省、成本(费用)最低问题 位于A,B两点处的甲、乙两村合用一个变压器,如图143所示,若两村用同型号线架设输电线路,问变压器设在输电干线何处时,所需电线总长最短. 图143 【精彩点拨】 可设CD=x,则CE=3-x,利用勾股定理得出AC,BC的长,从而构造出所需电线总长度的函数. 【自主解答】 设CD=xkm,则CE=(3-x)km. 则所需电线总长 l=AC+BC=+(0≤x≤3), 从而l′=-. 令l′=0,即-=0, 解得x=1.2或x=-6(舍去). 因为在[0,3]上使l′=0的点只有x=1.2, 所以根据实际意义,知x=1.2就是我们所求的最小值点,即变压器设在DE之间离点D的距离为1.2km处时,所需电线总长最短. 1.用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答. 2.利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f′(x)=0时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值. [再练一题] 2.甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P=v4-v3+15v, (1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式; (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶? 并求此时运输成本的最小值. 【导学号: 01580020】 【解】 (1)Q=P· =· =·400 =-v2+6000(0 (2)Q′=-5v, 令Q′=0,则v=0(舍去)或v=80, 当0 当80 ∴v=80千米/时时,全程运输成本取得极小值,即最小值,且Q最小值=Q(80)=(元). [探究共研型] 利润最大、效率最高问题 探究 在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最值吗? 【提示】 根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值. 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位: 千克)与销售价格x(单位: 元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【精彩点拨】 (1)根据x=5时,y=11求a的值. (2)把每日的利润表示为销售价格x的函数,用导数求最大值. 【自主解答】 (1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2. (2)由 (1)知,该商品每日的销售量 y=+10(x-6)2, 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3)=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6, 从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)·(x-6), 于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) f′(x) + 0 - f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点, 所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 1.经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢,以产量或单价为自变量很容易建立函数关系,从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动. 2.关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润=收入-成本. (2)利润=每件产品的利润×销售件数. [再练一题] 3.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为: p=24200-x2,且生产x吨的成本为R=50000+200x(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大? 最大利润是多少? 【解】 每月生产x吨时的利润为 f(x)=x-(50000+200x) =-x3+24000x-50000(x≥0), 由f′(x)=-x2+24000=0,解得x=200或x=-200(舍去). 因为f(x)在[0,+∞)内只有一个点x=200使f′(x)=0,故它就是最大值点,且最大值为f(200)=-×2003+24000×200-50000=3150000(元),故每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元. [构建·体系] 1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位: ℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是________. 【解析】 原油温度的瞬时变化率为f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5), 所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值为-1. 【答案】 -1 2.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为________cm3. 【导学号: 01580021】 【解析】 设盒子容积为ycm3,盒子的高为xcm. 则y=(10-2x)(16-2x)x(0 =4x3-52x2+160x, ∴y′=12x2-104x+160. 令y′=0,得x=2或x=(舍去), ∴ymax=6×12×2=144(cm3). 【答案】 144 3.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则其速度应定为________. 【解析】 由题设知y′=x2-39x-40, 令y′>0,解得x>40,或x<-1, 故函数y=x3-x2-40x(x>0)在[40,+∞)上递增,在(0,40]上递减.∴当x=40时,y取得最小值. 由此得为使耗电量最小,则其速度应定为40. 【答案】 40 4.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数: y1=17x2(x>0),生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数: y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产________千台. 【解析】 设利润为y,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0), ∴y′=-6x2+36x=-6x(x-6). 令y′=0,解得x=0或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点. 【答案】 6 5.某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位: 元,0≤x≤30)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 【解】 (1)若商品降价x元,则多卖的商品数为kx2件, 由题意知24=k·22,得k=6. 若记商品在一个星期的获利为f(x),则依题意有 f(x)=(30-x-9)·(432+6x2)=(21-x)(432+6x2), 所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30]. (2)根据 (1)有f′(x)=-18x2+252x-432 =-18(x-2)(x-12). 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (0,2) 2 (2,12) 12 (12,30) f′(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 故x=12时,f(x)取得极大值,因为f(0)=9072,f(12)=11664,f(0)<f(12),所以定价为30-12=18(元)能使一个星期的商品销售利润最大. 我还有这些不足: (1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________ 我的课下提升方案: (1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________
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