届人教A版 集合与常用逻辑用语 检测卷.docx
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届人教A版集合与常用逻辑用语检测卷
重组一 集合与常用逻辑用语
测试时间:
120分钟
满分:
150分
第Ⅰ卷 (选择题,共60分)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项符合题意)
1.[2016·全国卷Ⅰ]设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由题意得,A={x|1 ,则A∩B= .选D. 2.[2017·河北百校联盟联考]已知全集U=Z,A={x|x2-5x<0,x∈Z},B={-1,0,1,2},则图中阴影部分所表示的集合等于( ) A.{-1,2}B.{-1,0} C.{0,1}D.{1,2} 答案 B 解析 x2-5x<0的解为0 3.[2017·湖北武汉联考]命题“∀n∈N*,∃x∈R,使得n2 A.∀n∈N*,∃x∈R,使得n2≥x B.∀n∈N*,∀x∈R,使得n2≥x C.∃n∈N*,∃x∈R,使得n2≥x D.∃n∈N*,∀x∈R,使得n2≥x 答案 D 解析 命题的否定是条件不变,结论否定,同时存在量词与全称量词要互换,因此命题“∀n∈N*,∃x∈R,使得n2 4.[2016·江西九校联考]已知A= ,B={-1,0,1},则card(A∩B)=( ) A.0B.1 C.2D.3 答案 C 解析 由A={x|-1≤x<1}可得A∩B={-1,0},所以A∩B的元素个数为2. 5.[2016·北京东城模拟]集合A={x|x≤a},B={x|x2-5x<0},若A∩B=B,则a的取值范围是( ) A.a≥5B.a≥4 C.a<5D.a<4 答案 A 解析 B={x|x2-5x<0}={x|0 6.[2016·安徽六校测试]设非空集合P,Q满足P∩Q=P,则( ) A.∀x∈Q,有x∈PB.∀x∉Q,有x∉P C.∃x0∉Q,使得x0∈PD.∃x0∈P,使得x0∉Q 答案 B 解析 因为P∩Q=P,所以P⊆Q,所以∀x∉Q,有x∉P,故选B. 7.[2016·贵阳一中月考]“a>-2”是“函数f(x)=|x-a|在(-∞,1]上单调递减”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 因为“函数f(x)=|x-a|在(-∞,1]上单调递减”⇒a≥1,所以“a>-2”是“函数f(x)=|x-a|在(-∞,1]上单调递减”的必要不充分条件,故选B. 8.[2016·济南调研]已知命题p: ∃x0∈R,使sinx0= ;命题q: ∀x∈ ,x>sinx,则下列判断正确的是( ) A.p为真B.綈p为真 C.p∧q为真D.p∨q为假 答案 B 解析 由三角函数y=sinx的有界性,-1≤sinx0≤1,所以p假;对于q,构造函数y=x-sinx,求导得y′=1-cosx,又x∈ ,所以y′>0,y为单调递增函数,有y>y|x=0=0恒成立,即∀x∈ ,x>sinx,所以q真.判断可知,B正确. 9.[2016·四川高考]设p: 实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q: 实数x,y满足 则p是q的( ) A.必要不充分条件B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 作出(x-1)2+(y-1)2≤2表示区域D,不等式组 表示的区域E,如图所示,因为E⊆D,所以p是q的必要不充分条件,选A. 10.[2016·河西五市二联]下列说法正确的是( ) A.命题“∀x∈R,ex>0”的否定是“∃x∈R,ex>0” B.命题“已知x,y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1”是真命题 C.“x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2+2x)min≥(ax)min在x∈[1,2]上恒成立” D.命题“若a=-1,则函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题为真命题 答案 B 解析 A项,应为“∃x∈R,ex≤0”,故A错误;B项,其逆否命题是“若x=2且y=1,则x+y=3”,为真命题,故原命题为真命题,故B正确;C项,应为“(x2+2x-ax)min≥0在[1,2]上恒成立”,故C错误;D项,函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点等价于a=0或 ⇒a=-1,故D错误,选B. 11.[2017·石家庄联考]已知命题p: “∃x∈R,使得ex≤2x+a”为假命题,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,2-2ln2)B.(-∞,2-2ln2] C.(2-2ln2,+∞)D.[2-2ln2,+∞) 答案 A 解析 命题p是一个特称命题,故綈p是一个全称命题.由题意,可知綈p: “∀x∈R,使得ex>2x+a”为真命题,即ex-2x-a>0恒成立.设f(x)=ex-2x-a,则f′(x)=ex-2.令f′(x)=0,即ex-2=0,解得x=ln2.所以当x∈(-∞,ln2)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(ln2,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.所以当x=ln2时,函数f(x)取得最小值f(ln2)=eln2-2ln2-a=2-2ln2-a.由不等式ex-2x-a>0恒成立可得2-2ln2-a>0,所以a<2-2ln2.所以a的取值范围是(-∞,2-2ln2).故选A. 12.[2017·北京模拟]某网店统计了连续三天售出商品的种类情况: 第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.设该网店第一天售出但第二天未售出的商品有m种,这三天售出的商品最少有n种,则m,n分别为( ) A.18,30B.16,28 C.17,29D.16,29 答案 D 解析 设第一天售出的商品为集合A,则A中有19个元素,第二天售出的商品为集合B,则B中有13个元素,第三天售出的商品为集合C,则C中有18个元素.由于前两天都售出的商品有3种,则A∩B中有3个元素,后两天都售出的商品有4种,则B∩C中有4个元素,所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16种.这三天售出的商品种数最少时,第一天和第三天售出的种类重合最多,由于前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,故第一天和第三天都售出的商品可以有17种,即A∩C中有17个元素,如图,即这三天售出的商品最少有2+14+3+1+9=29种. 第Ⅱ卷 (非选择题,共90分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.[2016·湖南郴州三模]命题“实数的平方都是正数”的否定是________________________. 答案 至少有一个实数的平方不是正数 解析 全称命题的否定一定是特称命题.“实数的平方都是正数”是全称命题,只是省略了“所有”两字. 14.[2017·山西四校联考]已知命题p: x2-5x+4≤0;命题q: <1,若(綈q)∧p是真命题,则x取值范围是________. 答案 [2,3] 解析 若p真,则1≤x≤4;若q真,则x<2或x>3. ∵(綈q)∧p为真,∴ ∴2≤x≤3. 15.[2016·沧州质检]设集合Sn={1,2,3,…,n},n∈N*,若X⊆Sn把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集.若n=4,则Sn的所有奇子集的容量之和为________. 答案 7 解析 若n=4,则Sn的所有奇子集为{1},{3},{1,3},故所有奇子集的容量之和为7. 16.[2016·山西质检]已知集合M={(x,y)|y= },N={(x,y)|y=x+b},且M∩N=∅,则b的取值范围是________. 答案 (-∞,-3)∪(3 ,+∞) 解析 如图,y= 的图象是半圆,当直线y=x+b与半圆无公共点时,截距b>3 或b<-3,故b的取值范围是(-∞,-3)∪(3 ,+∞). 三、解答题(共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.[2016·江西宜春月考](本小题满分10分)已知集合A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5}. (1)若A∩B=∅,求a的取值范围; (2)若A∪B=B,求a的取值范围. 解 (1)要使A∩B=∅, 则需满足下列不等式组 (3分) 解此不等式组得-1≤a≤2, 即a的取值范围是[-1,2].(5分) (2)要使A∪B=B,即A是B的子集,(6分) 则需满足a+3<-1或a>5,(8分) 解得a>5或a<-4, 即a的取值范围是{a|a>5或a<-4}.(10分) 18.[2016·山东烟台月考](本小题满分12分)已知p: 2≤4,q: x2-2x+1-m2≤0(m>0).若綈p是綈q的必要非充分条件,求实数m的取值范围. 解 綈p: 2>4,x<-2或x>10,设A={x|x<-2或x>10},(3分) 綈q: x2-2x+1-m2>0,x<1-m或x>1+m,设B={x|x<1-m或x>1+m}.(6分) 因为綈p是綈q的必要非充分条件,所以B⊆A且B≠A, (8分) 即 (等号不同时成立),(11分) ∴m≥9.(12分) 19.[2016·龙岩月考](本小题满分12分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-9≤0},m∈R. (1)若m=3,求A∩B; (2)已知命题p: x∈A,命题q: x∈B,若q是p的必要条件,求实数m的取值范围. 解 (1)由题意知,A={x|-1≤x≤3},B={x|m-3≤x≤m+3}.(4分) 当m=3时,B={x|0≤x≤6},∴A∩B=[0,3].(5分) (2)由q是p的必要条件知,A⊆B,(7分) 结合 (1)知 解得0≤m≤2,(10分) 故实数m的取值范围是[0,2].(12分) 20.[2016·广东佛山一中模拟](本小题满分12分)已知集合A={x|ax2+x+1=0,x∈R},且A∩{x|x≥0}=∅,求实数a的取值范围. 解 当a=0时, A={x|x+1=0,x∈R}={-1}, 此时A∩{x|x≥0}=∅;(3分) 当a≠0时, ∵A∩{x|x≥0}=∅, ∴A=∅或关于x的方程ax2+x+1=0的根均为负数.(4分) ①当A=∅时,关于x的方程ax2+x+1=0无实数根, ∴Δ=1-4a<0,解得a> .(7分) ②当关于x的方程ax2+x+1=0的根x1,x2均为负数时, 有 解得 即0<a≤ .(10分) 综上所述,实数a的取值范围为{a|a≥0}.(12分) 21.[2016·山西太原期中](本小题满分12分)已知集合A={x|(x-1)(x-2a-3)<0,a∈R},函数y=lg (a∈R)的定义域为集合B. (1)若a=1,求A∩(∁RB); (2)若a>-1且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 解 (1)若a=1,则集合A={x|(x-1)(x-5)<0}=(1,5),集合B= = =(2,3),(3分) 所以∁RB=(-∞,2]∪[3,+∞),(4分) 故A∩(∁RB)=(1,2]∪[3,5).(5分) (2)因为a>-1,所以2a+3>1,a2+2-2a=(a-1)2+1>0⇒a2+2>2a,(7分) 则集合A={x|(x-1)(x-2a-3)<0}=(1,2a+3), 集合B= = =(2a,a2+2).(9分) 又“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,所以BA, 则 (等号不能同时取得),解得 ≤a≤1+ .(11分) 故实数a的取值范围为 .(12分) 22.[2016·河南洛阳月考](本小题满分12分)已知c>0,设命题p: 函数y=cx为减函数;命题q: 当x∈ 时,f(x)=x+ > 恒成立.如果p∨q为真,p∧q为假,求c的取值范围. 解 由p得0<c<1.(2分) 由q得 < min=2,又c>0, ∴c> ,(4分) 因为p∨q为真,p∧q为假, 所以p和q一真一假.(6分) 即 或 (10分) 解得0<c≤ 或c≥1. ∴c的取值范围是 ∪[1,+∞).(12分)
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