等腰三角形的判定与反证法 省优 一等奖教案.docx
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等腰三角形的判定与反证法省优一等奖教案
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
1.掌握等腰三角形的判定定理并学会运用;(重点)
2.理解并掌握反证法的思想,能够运用反证法进行证明.
一、情境导入
某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度,选择河流北岸上一棵树(A点)为目标,然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志,沿南偏东60度方向走一段距离到C处时,测得∠ACB为30度,这时,地质专家测得BC的长度是50米,就可知河流宽度是50米.
同学们,你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗?
他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢?
今天我们就要学习等腰三角形的判定.
二、合作探究
探究点一:
等腰三角形的判定(等角对等边)
【类型一】确定等腰三角形的个数
如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有( )
A.5个B.4个
C.3个D.2个
解析:
共有5个.
(1)∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;
(2)∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线,∴∠EBC=
∠ABC,∠ECB=
∠BCD.∵△ABC是等腰三角形,∴∠EBC=∠ECB,∴△BCE是等腰三角形;(3)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=
(180°-36°)=72°.又∵BD是∠ABC的角平分线,∴∠ABD=
∠ABC=36°=∠A,∴△ABD是等腰三角形;同理可证△CDE和△BCD也是等腰三角形.故选A.
方法总结:
确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角,然后确定等腰三角形,再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数.
【类型二】判定一个三角形是等腰三角形
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AE是∠BAC的角平分线,AE与CD交于点F,求证:
△CEF是等腰三角形.
解析:
根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE=∠ACD,然后根据三角形外角的性质求得∠CEF=∠CFE,根据等角对等边求得CE=CF,从而求得△CEF是等腰三角形.
解:
∵在△ABC中,∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°.∵CD是AB边上的高,∴∠ACD+∠BAC=90°,∴∠B=∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线,∴∠BAE=∠EAC,∴∠B+∠BAE=∠AEC,∠ACD+∠EAC=∠CFE,即∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,∴△CEF是等腰三角形.
方法总结:
“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据,是先有角相等再有边相等,只限于在同一个三角形中,若在两个不同的三角形中,此结论不一定成立.
【类型三】等腰三角形性质和判定的综合运用
如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:
△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=50°时,求∠DEF的度数.
解析:
(1)根据等边对等角可得∠B=∠C,利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=EF,再根据等腰三角形的定义证明即可;
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE=∠CEF,然后求出∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE,再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B=∠DEF.
(1)证明:
∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△BDE和△CEF中,∵
∴△BDE≌△CEF(SAS),∴DE=EF,∴△DEF是等腰三角形;
(2)解:
∵△BDE≌△CEF,∴∠BDE=∠CEF,∴∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE.∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠CEF,∴∠B=∠DEF.∵∠A=50°,AB=AC,∴∠B=
×(180°-50°)=65°,∴∠DEF=65°.
方法总结:
等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.
探究点二:
反证法
【类型一】假设
用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中( )
A.有一个内角大于60°
B.有一个内角小于60°
C.每一个内角都大于60°
D.每一个内角都小于60°
解析:
用反证法证明命题时,应先假设结论不成立,所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°,即都大于60°.故选C.
方法总结:
在假设结论不成立时,要注意考虑结论的反面所有可能的情况,必须把它全部否定.
【类型二】用反证法证明一个命题
求证:
△ABC中不能有两个钝角.
解析:
用反证法证明,假设△ABC中能有两个钝角,得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾,所以原命题正确.
证明:
假设△ABC中能有两个钝角,即∠A<90°,∠B>90°,∠C>90°,
所以∠A+∠B+∠C>180°,与三角形的内角和为180°矛盾,所以假设不成立,因此原命题正确,即△ABC中不能有两个钝角.
方法总结:
本题结合三角形内角和定理考查反证法,解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:
(1)假设结论不成立;
(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况.如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.
三、板书设计
1.等腰三角形的判定定理:
有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边).
2.反证法
(1)假设结论不成立;
(2)从假设出发推出矛盾;
(3)假设不成立,则结论成立.
解决几何证明题时,应结合图形,联想我们已学过的定义、公理、定理等知识,寻找结论成立所需要的条件.要特别注意的是,不要遗漏题目中的已知条件.解题时学会分析,可以采用执果索因(从结论出发,探寻结论成立所需的条件)的方法.
3.1 图形的平移
第1课时 平移的认识
1.理解并掌握平移的定义及性质;(重点)
2.能够根据平移的性质进行简单的平移作图.
一、情境导入
观察下列图片,你能发现图中描绘的运动的共同点吗?
二、合作探究
探究点一:
平移的定义
下列各组图形可以通过平移互相得到的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:
根据平移不改变图形的形状和大小,将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C,故选C.
方法总结:
本题考查了图形的平移,图形的平移只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小.
探究点二:
平移的性质
【类型一】利用平移的性质进行计算
如图,将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1,若BC=3
,△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2,则BB1等于( )
A.1B.
C.
D.2
解析:
设B1C=2x,根据等腰直角三角形和平移的性质可知,重叠部分为等腰直角三角形,则B1C边上的高为x,∴
×x×2x=2,解得x=2(舍去负值),∴B1C=2
,∴BB1=BC-B1C=
.故选B.
方法总结:
本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质.关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程,求重叠部分的长.
【类型二】平移性质的综合应用
如图,原来是重叠的两个直角三角形,将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离,就得到此图形,下列结论正确的有( )
①AC∥DF;②HE=5;③CF=5;④阴影部分面积为
.
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:
根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等,对应角相等,对应线段平行且相等,阴影部分和三角形面积之间的关系,结合图形与所给的结论即可得出答案.①对应线段平行可得AC∥DF,正确;②对应线段相等可得AB=DE=8,则HE=DE-DH=8-3=5,正确;③平移的距离CF=BE=5,正确;④S四边形HDFC=S梯形ABEH=
(AB+EH)·BE=
×(8+5)×5=
,错误.故选C.
方法总结:
本题考查平移的基本性质:
①平移不改变图形的形状和大小;②对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.本题关键要找到平移的对应点.
探究点三:
简单的平移作图
将如图方格中的图形向右平移4格,再向上平移2格,在方格中画出平移后的图形.
解析:
按照题目要求:
向右平移4格,再向上平移2格,先作各个关键点的对应点,再连接即可.
解:
方法总结:
作平移图形时,找关键点的对应点是关键的一步.平移作图的一般步骤为:
①确定平移的方向和距离,先确定一组对应点;②确定图形中的关键点;③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点;④按原图形顺序依次连接对应点,所得到的图形即为平移后的图形.
三、板书设计
1.平移的定义
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.
2.平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等,对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
3.简单的平移作图
教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,学生经历将实际问题抽象成图形问题,培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力,使得学生能将所学知识灵活运用到生活中.
第2课时 一元一次不等式的应用
1.会在实际问题中寻找数量关系列一元一次不等式并求解;
2.能够列一元一次不等式解决实际问题.(重点,难点)
一、情境导入
如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品,应该去哪家商店更优惠?
二、合作探究
探究点:
一元一次不等式的应用
【类型一】商品销售问题
某商品的进价是120元,标价为180元,但销量较小.为了促销,商场决定打折销售,为了保证利润率不低于20%,那么最多可以打几折出售此商品?
解析:
由题意可知,利润率为20%时,获得的利润为120×20%=24元;若打x折该商品获得的利润=该商品的标价×
-进价,即该商品获得的利润=180×
-120,列出不等式,解得x的值即可.
解:
设可以打x折出售此商品,由题意得:
180×
-120≥120×20%,
解得x≥8.
答:
最多可以打8折出售此商品.
方法总结:
商品销售问题的基本关系是:
售价-进价=利润.读懂题意列出不等式求解是解题关键.
【类型二】竞赛积分问题
某次知识竞赛共有25道题,答对一道得4分,答错或不答都扣2分.小明得分要超过80分,他至少要答对多少道题?
解析:
设小明答对x道题,则答错或不答的题目为(25-x)道,根据得分要超过80分,列出不等关系求解即可.
解:
设小明答对x道题,则他答错或不答的题目为(25-x)道.根据他的得分要超过80分,得:
4x-2(25-x)>80,
解得x>21
.
因为x应是整数而且不能超过25,所以小明至少要答对22道题.
答:
小明至少要答对22道题.
方法总结:
竞赛积分问题的基本关系是:
得分-扣分=最后得分.本题涉及到不等式的整数解,取整数解时要注意关键词如“至多”“至少”等.
【类型三】安全问题
采石场爆破时,点燃导火线后工人要在爆破前转移到400米外的安全区域.导火线燃烧速度是每秒1厘米,工人转移的速度是每秒5米,导火线至少要多少米?
解析:
根据时间列不等式,导火线燃烧时间>工人要在爆破前转移到400米外的安全区域时间.
解:
设导火线的长度需要x米,1厘米/秒=0.01米/秒,由题意得
>
,解得x>0.8.
答:
导火线至少要0.8米.
【类型四】分段计费问题
小明家每月水费都不少于15元,自来水公司的收费标准如下:
若每户每月用水不超过5立方米,则每立方米收费1.8元;若每户每月用水超过5立方米,则超出部分每立方米收费2元,小明家每月用水量至少是多少?
解析:
当每月用水5立方米时,花费5×1.8=9元,则可知小明家每月用水超过5立方米.设每月用水x立方米,则超出(x-5)立方米,根据题意超出部分每立方米收费2元,列一元一次不等式求解即可.
解:
设小明家每月用水x立方米.
∵5×1.8=9<15,
∴小明家每月用水超过5立方米.
则超出(x-5)立方米,按每立方米2元收费,
列出不等式为5×1.8+(x-5)×2≥15,
解不等式得x≥8.
答:
小明家每月用水量至少是8立方米.
方法总结:
分段计费问题中的费用一般包括两个部分:
基本部分的费用和超出部分的费用.根据费用之间的关系建立不等式求解即可.
【类型五】调配问题
有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,要使总收入不低于15.6万元,则最多只能安排多少人种甲种蔬菜?
解析:
设安排x人种甲种蔬菜,则种乙种蔬菜为(10-x)人.甲种蔬菜有3x亩,乙种蔬菜有2(10-x)亩.再列出不等式求解即可.
解:
设安排x人种甲种蔬菜,则种乙种蔬菜为(10-x)人.
根据题意得0.5×3x+0.8×2(10-x)≥15.6,
解得x≤4.
答:
最多只能安排4人种甲种蔬菜.
方法总结:
调配问题中,各项工作的人数之和等于总人数.
【类型六】方案决策问题
为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备.现有A、B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表.经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.
A型
B型
价格(万元/台)
12
10
处理污水量(吨/月)
240
200
年消耗费(万元/台)
1
1
(1)请你设计该企业有几种购买方案;
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案.
解析:
(1)设购买污水处理设备A型x台,则B型为(10-x)台,列出不等式求解即可,x的值取整数;
(2)如图表列出不等式求解,再根据x的值选出最佳方案.
解:
(1)设购买污水处理设备A型x台,则B型为(10-x)台.
12x+10(10-x)≤105,解得x≤2.5,∵x取非负整数,∴x可取0,1,2,
有三种购买方案:
购A型0台,B型10台;A型1台,B型9台;A型2台,B型8台;
(2)240x+200(10-x)≥2040,解得x≥1,
∴x为1或2.
当x=1时,购买资金为12×1+10×9=102(万元);
当x=2时,购买资金为12×2+10×8=104(万元).
答:
为了节约资金,应选购A型1台,B型9台.
方法总结:
此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来,属于最优化问题,在确定最优方案时,应把几种情况进行比较.
三、板书设计
应用一元一次不等式解决实际问题的步骤:
―→
―→
本节课通过实例引入,激发学生的学习兴趣,让学生积极参与,讲练结合,引导学生找不等关系列不等式.在教学过程中,可通过类比列一元一次方程解决实际问题的方法来学习,让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系.
3.1 图形的平移
第1课时 平移的认识
1.理解并掌握平移的定义及性质;(重点)
2.能够根据平移的性质进行简单的平移作图.
一、情境导入
观察下列图片,你能发现图中描绘的运动的共同点吗?
二、合作探究
探究点一:
平移的定义
下列各组图形可以通过平移互相得到的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:
根据平移不改变图形的形状和大小,将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C,故选C.
方法总结:
本题考查了图形的平移,图形的平移只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小.
探究点二:
平移的性质
【类型一】利用平移的性质进行计算
如图,将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1,若BC=3
,△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2,则BB1等于( )
A.1B.
C.
D.2
解析:
设B1C=2x,根据等腰直角三角形和平移的性质可知,重叠部分为等腰直角三角形,则B1C边上的高为x,∴
×x×2x=2,解得x=2(舍去负值),∴B1C=2
,∴BB1=BC-B1C=
.故选B.
方法总结:
本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质.关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程,求重叠部分的长.
【类型二】平移性质的综合应用
如图,原来是重叠的两个直角三角形,将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离,就得到此图形,下列结论正确的有( )
①AC∥DF;②HE=5;③CF=5;④阴影部分面积为
.
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:
根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等,对应角相等,对应线段平行且相等,阴影部分和三角形面积之间的关系,结合图形与所给的结论即可得出答案.①对应线段平行可得AC∥DF,正确;②对应线段相等可得AB=DE=8,则HE=DE-DH=8-3=5,正确;③平移的距离CF=BE=5,正确;④S四边形HDFC=S梯形ABEH=
(AB+EH)·BE=
×(8+5)×5=
,错误.故选C.
方法总结:
本题考查平移的基本性质:
①平移不改变图形的形状和大小;②对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.本题关键要找到平移的对应点.
探究点三:
简单的平移作图
将如图方格中的图形向右平移4格,再向上平移2格,在方格中画出平移后的图形.
解析:
按照题目要求:
向右平移4格,再向上平移2格,先作各个关键点的对应点,再连接即可.
解:
方法总结:
作平移图形时,找关键点的对应点是关键的一步.平移作图的一般步骤为:
①确定平移的方向和距离,先确定一组对应点;②确定图形中的关键点;③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点;④按原图形顺序依次连接对应点,所得到的图形即为平移后的图形.
三、板书设计
1.平移的定义
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.
2.平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等,对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
3.简单的平移作图
教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,学生经历将实际问题抽象成图形问题,培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力,使得学生能将所学知识灵活运用到生活中.
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