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边界层理论

1•边界层理论概述1

1.1边界层理论的形成与发展1

1.1.1边界层理论的提出1

1.1边界层理论存在的问题2

1.2边界层理论的发展2

2边界层理论的引入3

3边界层基础理论4

3.1边界层理论的概念4

3.2边界层的主要特征6

3.3边界层分离7

3.4层流边界层和紊流边界层9

3.5边界层厚度10

3.5.1排挤厚度11

3.5.2动量损失厚度11

3.5.2能量损失厚度12

4边界层理论的应用14

4.1边界层理论在低比转速离心泵叶片设计中的应用14

4.2边界层理论在高超声速飞行器气动热工程算法中的应用14

4.3基于边界层理论的叶轮的仿真15

参考文献17

1.边界层理论概述

1.1边界层理论的形成与发展

1.1.1边界层理论的提出

经典的流体力学是在水利建设、造船、外弹道等技术的推动下发展起来的，它的中心问题是要阐明物体在流体中运动时所受的阻力。

虽然很早人们就知道，当粘性小的流体（像水、空气等）在运动，特别是速度较高时，粘性直接对阻力的贡献是不大的。

但是，以无粘性假设为基础的经典流体力学，在阐述这个问题时，却得出了与事实不符的“D'Alembert之谜”。

在19世纪末叶，从不连续的运动出发，Kirchhoff，Helmholtz，Rayleigh等人的尝试

也都失败了。

经典流体力学在阻力问题上失败的原因，在于忽视了流体的粘性这一重要因素。

诚然，在速度较高、粘性小的情况下，对一般物体来说，粘性阻力仅占一小部分；然而阻力存在的根源却是粘性。

一般，根据来源的不同，阻力可分为两类：

粘性阻力和压差阻力。

粘性阻力是由于作用在表面切向的应力而形成的，它的大小取决于粘性系数和表面积；压差阻力是由于物体前后的压差而引起的，它的大小则取决于物体的截面积和压力的损耗。

当理想流体流过物体时，它能沿物体表面滑过（物体是平滑的）；这样，压力从前缘驻

点的极大值，沿物体表面连续变化，到了尾部驻点便又恢复到原来的数值。

这时压力就没有损失，物体自然也就不受阻力。

如果流体是有粘性的，哪怕很小，在物体表面的一层内，流体的动能在流体运动过程中便不断地在消耗；因此，它就不能像理想流体一直沿表面流动，而是中途便与固体表面脱离。

由于流体在固体表面上的分离，在尾部便出现了大型涡旋；涡旋演变的结果，就形成了一种新的运动“尾流”。

这全部过程是一个动能损耗的过程，也是阻力产生的过程。

由于数学上的困难，粘性流体力学的全面发展受到了一定的限制。

但是，在粘性系数小的情况下，粘性对运动的影响主要是在固体表面附近的区域内。

从这个概念出发，普朗特（Prandtl）在1904年提出了简化粘性运动方程的理论一一边界层理论。

即当流体的粘度很小或雷诺数较大的流动中，流

经物体的流动可以分为两个性质不同的区。

贴近物体表面的流体薄层内是粘性流体，由于边界层很薄，使得求解粘性流体的运动微分方程N-S方程大为

简化，求解也成为可能；而边界层以外，粘性影响可以忽略不计，可作为理想流体来处理，称为主流区（势流区），从而使流体的绕流问题大为简化。

在这个理论的指导下，阻力的问题终于从理论上获得解决。

1.1边界层理论存在的问题

十八世纪末，理想流体动力学已发展到较完善的程度，可解决一些生产实际问题，但对流体与物体壁面间的摩擦阻力无法定量计算。

从数学上来说，边界后近似是N.S.方程及Reynold方程在大雷诺数的情况下的一种近似解。

通过引入边界层近似，上述方程中的一些项被忽略，方程得到简化，从而使许多实际的工程问题能得到比较满意的解答。

但是，边界层近似并末改变方程的非线性性质。

边界层方程的求解在数学上仍然存在很大的困难。

由于这一原因，边界层的数值计算就日益受到人们的重视。

1.2边界层理论的发展

普朗特（Prandtl）学派从1904年到1921年逐步将N-S方程（Navier—Stoleseequation）作了简化，从推理、数学论证和实验测量等各个角度，建立了边界层理论（boundarylayertheory），能实际计算简单情形下，边界层

内流动状态和流体同固体间的粘性力（cohesiveforce）。

同时，普朗特又提

出了许多新概念，并被广泛地应用到飞机和汽轮机的设计中去。

这一理论既明确了理想流体的适用范围，又能计算物体运动时遇到的摩擦阻力（friction

（non

drag），使上述两种情况得到了统一。

20世纪初，飞机的出现极大地促进了空气动力学的发展。

航空事业的发展，期望能够揭示飞行器周围的压力分布、飞行器的受力状况和阻力等问题，这就促进了流体力学在实验和理论分析方面的发展。

20世纪初，以儒柯夫斯基、恰普雷金、普朗特等为代表的科学家，开创了以无粘不可压缩流体位势流理论为基础的机具理论，阐明了机翼怎样会受到举力，从而空气能把很重的飞机托上天空。

机具理论的正确性，使人们重新认识无粘流体的理论，肯定了它指导工程设计的重大意义。

机翼理论和边界层理论的建立和发展是流体力学的一次重大进展，它使无粘流体

—viscousfluid）理论同粘性流体（viscousfluid）的边界层理论很好地

结合起来。

随着汽轮机的完善和飞机飞行速度提高到50m/s以上，又迅速扩

展了从19世纪就开始的、对空气密度变化效应的实验和理论研究，为高速飞行提供了理论指导。

20世纪40年代以后，由于喷气推进和火箭技术的应用，飞行器速度超过声速，进而实现了航天飞行，使气体高速流动的研究进展迅速，形成了气体动力学、物理。

化学流体动力学等分支学科。

这些巨大进展是和采用各种数学分析方法和建立大型、精密的实验设备和仪器等研究手段分不开的。

从20世纪50年代起，电子计算机不断完善，使原来用分析方法难以进行研究的课题，可以用数值计算方法来进行，出现了计算流体力学这一新的分支学科。

与此同时，由于民用和军用生产的需要，液体动力学

（liquiddynamics）等学科也有很大进展。

20世纪60年代，根据结构力学（structuredmechanics）和固体力学（s01idmechanics）的需要，出现了计算

弹性力学问题的有限元法。

经过十多年的发展，有限元分析（finiteelement

analysis）这项新的计算方法开始在流体力学中应用。

如果说流体力学领域的第一一篇论文，即阿基米德关于流体浮力的《论浮体》标志着流体力学这门学科开始萌芽的话，那么当今的流体力学已成长为一棵枝繁叶茂的大树。

诸如：

关于流体力学自身领域问题的研究和认识日益深化；新的数学工具和方法，如人工神经网络（ANN）方法、小波（Wavelets）

分析方法和格子B01tgnMn方法（LBM）等被广泛应用于分析和解决各种流体力学问题；流体力学辐射和渗透的工程领域亦愈来愈广泛，在很大程度上促进和加深了对诸多工程问题实质的了解与技术的完善。

2边界层理论的引入

1904年，普朗特对此进行了研究，结合实验，开始提出一了边界层理论，为利用理论分析和数学方法解决粘性流体绕流问题提供了有效的方法和手段，对解决大雷诺数实际流体的问题提供了分析可能，促使厂流体力学的发展。

它不仅使实际流体运动中不少表面上看来似是而非的问题得以澄清，而且为解决边界复杂的实际流体运动的问题开辟了途径。

边界层概念的提出，开创

了应用粘性流体解决实际工程问题的新时代，并且进一步证明了研究理想流体的重要意义。

利用边界层理论使绕流物体尾流及漩涡的形成等复杂流体现

象得到解释，是分析物体绕流阻力和流体能量损失的理论基础。

边界层理论对流体力学的发展有深远影响，它在流体力学发展史上具有划时代意义。

3边界层基础理论

3.1边界层理论的概念

物体在雷诺数很大的流体中以较高的速度相对运动时，沿物体表面的法线方向，得到如图

（1）所示的速度分布曲线。

B点把速度分布曲线分成截然不同的AB和BC两部分，在AB段上，流体运动速度从物体表面上的零迅速增加到U

「速度的增加在很小的距离内完成，具有较大的速度梯度。

在BC段上，速度

U（x）接近UU，近似为一常数。

沿物体长度，把各断面所有的B点连结起来，得到S一S曲线，S一S曲线将整个流场划分为性质完全不同的两个流区。

从物体边壁到S〜S的流区存在

着相当大的流速梯度，粘滞性的作用不能忽略。

边壁附近的这个流区就叫边界层。

在边界层内，即使粘性很小的流体，也将有较大的切应力值，使粘性力与

图

（1）边界层速度分布曲线

惯性力具有同样的数量级•因此，流体在边界层内作剧烈的有旋运动。

S-S以

外的流区，流体近乎以相同的速度运动，即边界层外部的流动不受固体边壁的粘滞影响，即使对于粘度较大的流体，粘性也较小，可以忽略不计，这时流体的惯性力起主导作用。

因此，可将流区中的流体运动看作为理想流体的无旋运

动，用流势理论和理想流体的伯努利方程确定该流区中的流速和压强分布。

通常称S-S为边界层的外边界，S-S到固体边壁的垂直距离S称为边界层厚度。

流体与固体边壁最先接触的点称为前驻点，在前驻点处S=00沿着流动

方向，边界层逐渐加厚，即S是流程x的函数，可写为S（x）o实际上边界层没有明显的外边界，一般规定边界层外边界处的速度为外部势流速度的99%。

边界层内存在层流和紊流两种状态，如图

（2）所示，在边界层的前部，由于厚度S较小，因此流动梯度dux/dy很大，粘滞应力t=卩dux/dy的作用也很大，这时边界层中的流动属于层流，这种边界层称为层流边界层。

边界层中流动的雷诺数可以表示为

Rex=空

V

或

Re宀

V

由于边界厚度S是x

的函数，所以这两种雷诺数之间存在一定的关系，x越大,

S越大，Re、Rq均变大。

当雷诺数达到一定数值时，经过一个过渡区后，流态转变为紊流，从而成为紊流边界层。

在紊流边界层里，最靠近平板的地方，dux/dy仍很大，粘滞切应力仍然起只要作用，使得流动形态仍为层流。

所以在紊流边界层内有一个粘性底层。

边界层内雷诺数达到临界数值，流动形态转变为紊流的点（X）称为转捩点。

相应的临界雷诺数为

Reu

过渡区

层流边界层'J.紊流劝界屏

IU

图

（2）

临界雷诺数并非常量，它与来流的脉动程度有关。

如果来流也受到干

扰，脉动强，流动状态的改变发生在较底的雷诺数；反之则发生在较高的雷诺数。

对于平板绕流，边界层临界雷诺数的范围是

31。

5：

：

Rq:

：

3106

3.2边界层的主要特征

边界层内的流动同时受粘性力和惯性力的作用，且由于存在流速梯度，流

动是有涡流。

边界层厚度较一般物体的特征长度要小得多，即/L「：

：

1.0o

边界层内既然是粘性流动，必然也存在层流和紊流两种流态，与其相应的

边界层分别称为层流边界层和紊流边界层。

如图

（1）所示的平板绕流，边界层从板端开始，在前部由于边界层厚度很薄，流速梯度很大，流动受粘性力作用控制，边界层内为层流，即层流边界层。

随流动距离x增大，边界层厚度增加,流速梯度逐渐减小，黏性作用逐渐减弱，惯性作用逐渐增强，直到某一断面（S=Sc）处，由层流转变成紊流边界层，该转变处称为转换点（X=Xc），与转据点

相对应的是临界雷诺数R。

应该注意，影响边界层从层流逐渐发展为紊流的影响因素很多，且很复杂，所以层流与紊流的转换不是在某个断面突然发生并完

成的，而是在一个过渡区内逐渐完成的，转捩点处只是流态转变的开始。

转据点的位置依靠实验确定。

对于平板边界层内的雷诺数，其特征长度可用边界层厚度S，也可用平板的距离长度x表示，即

对于光滑平板，临界雷诺数的范围Rex=3105~3106，一般取c

Rec=510影响临界雷诺数的主要因素是：

来流的紊动强度，壁面的粗糙情

况以及边界层外流动的压强分布。

如绕流平版长度为

L，若Rex-:

:

Rexc，

v

则该平板上全部为层流边界层；若Rex=庇aRex，则该平板在x以前是层流

v

边界层•，在x以后（L—Xc）为紊流边界层。

在紊流边界层内，最靠近壁面之处，流速梯度坐很大，黏滞切应力起主

dy

要作用，使其流态仍为层流。

即在紊流边界层中，紧贴边壁表面也有一层极薄的黏性底层。

3.3边界层分离

图

（2）是均匀流与平板平行的边界层流动，但当液体流过非平行平板或非

流线型物体时，情况就大不相同。

现以绕圆柱的流动为例来说明，如图（3）所

示。

当理想液体流经圆柱体时，由D点至E点速度渐增，压强渐减，直到E点速度最大，压强最小；而由E点往F点流动时，速度渐减，压强渐增，且在F点恢复至D点的流速与压强。

其压强分布如图（3）所示。

图（3）

在实际液体中，绕流一开始就在圆柱表面形成了很薄的边界层。

DE段边界层以外的液体是加速减压；EF段边界层以外的液体是减速增压。

因此，造成曲面边界层的特点即压力梯度:

p/*0。

这是与二元边界层的重要差别。

曲面边界层内沖/次=0，对边界层内流动产生严重的影响。

在曲面DE段,

液体处于顺压梯度情况下（：

：

p/fx：

：

：

0），即上游面的压力比下游面的压力大。

压强差的作用同摩擦阻力作用相反，促使液体质点向前加速，层外加速液体又带动层内液体质点克服摩擦，向前运动。

然而，E点以后的流动处于逆压梯度（:

p/：

x0）情况下，压强是沿着流动方向增加的。

边界层内的质点到达此区域后，开始在反向压强差和粘性摩擦力的双重作用下逐渐减速，从边界层内的质点到达此区域后，开始在反向压强差和粘性摩擦力的双重作用下逐渐减速，从而增加了边界层厚度的增长率。

应当注意到，粘性切应力在边界层外绿趋近于零，在边界层内，越靠近固体壁面，切应力越大，因而离壁面越近，速度减低越激烈，以至沿流动方向速度分布越来越内收（见图4）。

若逆亚梯度足够大，质点就有可能在物体表面首先发生流动方向的改变，从而引起近壁回流。

在边界层内，质点自上游源源不断而来的情况下，此回流的产生就回使边界层内的质点离开壁面而产生分离，这种现象称为边界层分离（SeparationofBoundaryLayer）。

图（4）清楚表明了边界层分离的发展过程。

图（4）

边界层开始与固体边界分离的点叫分离点，如图⑷中的s点。

在分离点前、接近固体壁面的微团沿边界外法线方向速度梯度为正，即

因而靠近壁面流动的质点其动能越来越小，以至动能消耗殆尽，质点速度变为零。

超过s点后，逆压强梯就会引起液体发生近壁回流。

在分离点后，因为倒流,

在分离点s处,

'字〕=0是分离点的特征，分离点处的切应力5=4舉也等于零。

边界

1约.2卫\、一创）y=Q

层分离后，回流立即产生漩涡，并被主流带走，同时边界层显著增厚。

边界层分离后，绕流物体尾部流动图形就大为改变。

在圆柱表面上下游的压强分布不再是如图（30的对称分布，而是圆柱下游面的压强显著降低并在分离点后形成负压区。

这样，圆柱上、下游面压强沿水流方向的合力指向下游，形成了“压差阻力”（Dragduetopressurediferenee），又称为形状阻力（FormDrag）。

绕流阻力就是瘴擦阻力和压差阻力的合力。

3.4层流边界层和紊流边界层

当实际液体在雷诺数很大的情况下以均匀流速#。

平行流过静止平板，经

过平板表面前缘时，紧靠物体表面的一层液体由于粘性作用被贴附在固体壁面上，速度降为零。

稍靠外的一层液体受到这一层液体的阻滞，流速也大大降低，这种粘性作用逐层向外影响，使沿着平板法线方向（y方向）上流速分布不均匀,

以至在乎板附近具有较大的速度梯度，如图

（2）所示（为了清晰起见，图中加大

了纵向比例）。

这样，即使液体的粘性较小（如水、空气），由于速度梯度较大也会产生较大的切应力。

固壁上切应力沿水流方向的合力，即为摩擦阻力。

普朗特把贴近平板边界存在较大切应力、粘性影响不能忽略的这一薄层液体称为边界层（Boundary—Layer）。

这样，绕物体的流动可分为两个区域：

在固壁附近边界层内的流动是粘性

液体的有旋流动；边界层以外的流动可以看做理想液体的有势流动。

边界层的厚度在前缘点0处等于零，然后沿流动方向，逐渐增大其厚度。

层内沿壁面法线方向速度分布也很不均匀，理论上要到无限远处才不受粘性影响，流速才能真正达到",边界层内部速度梯度也不相等，自边界沿法线方向

向外迅速减小，因而离壁面稍远处，粘性影响就很微小了。

因此人为规定，当

层内流速沿y方向达到0.99Ua时，就算到了边界层的外边界，即从平板沿外法线到流速u=0.99U"处的距离是边界层的厚度，以S表示。

边界层的厚

度沿程增大，即S是“的函数，可写为S（x）。

边界层内流动也可分为层流与紊流，边界层开始于层流流态。

当层流边界层厚度沿程增加时，流速梯度逐渐减小，粘性切应力也随之减小，边界层的流

态经过一个过渡段便转变为紊流边界层，见图

（2）。

因过渡段与被绕流物体的

特征长度相比通常很短，所以可把它缩小当成一点，叫转捩点，如转捩点离平板前缘距离用x*表示，在x=x*处，边界层由层流转变成紊流相应的雷诺数为：

称为临界雷诺数。

临界雷诺数并非常量，而是与来流的紊动程度有关。

如果来流已受到干扰，脉动强，流动状态的改变发生在较低的雷诺数；反之，则发生在较高值。

光滑平板边界层的临界雷诺数的范围是：

3105:

:

Re*：

：

3106

因此，如果平板长度为L,那么当

1.）ReL=•土丄？

:

:

:

Re*时，整个平板为层流边界层;

2.）Re「丄虫？

＞Re*时，x=0~x=x*段为层流边界层；x*处为转捩点，x*处以后

V

为紊流边界层。

在紊流边界层内最靠近平板的地方，流速梯度依然很大，特性切应力仍起主要作用，紊流附加切应力可以忽略，使得流动型态仍为层流，所以，在紊流边界层内存在一个粘性底层（或层流底层），见图

（2）。

3.5边界层厚度

前面曾提到根据边界层的概念可把液流分成两个区域，边界层内为粘滞液流，边界层外为理想液体势流。

但该两区域是无法截然划分的，因为流速分布曲线是连续的，并以与y轴平行的直线为渐近线，所以从理论上讲，固体边界对水流影响范围应扩展至无穷远处。

但事实上在离开固体表面不远处流速即迅速自零增至接近IJ。

，因此将固体表面沿法线方向分布的流速达到99%U。

之处

即视作边界层的外边界并无多大误差，因为在此范围以外，流速已接近U,,流

速梯度极小，可以近似地把液流看作是无内摩擦力发生的理想液体。

以后我们所称边界层厚度即指这一范围内的厚度而言。

3.5.1排挤厚度

实际液体流经固体壁面时，由于固体边界对水流的阻滞作用，使边界层内通过的流量比理想液体情况下在同一范围内所通过的流量要小。

我们可以设想，若液体是理想液体，其流速分布将是均匀的，其值均等于Uo,此时若将固体边

界以上一个厚度为Si的水层排除，则在S—Si厚度内所通过流量将与实际液体在边界层内所通过的流量qb相等（见图5）。

这就是说，由于实际液体受团体边界的影响将使在S范围的流量与理想液体时相比减小了U0S1。

Si叫做流量

损失厚度，也常叫排挤厚度。

若用方程式来表示，边界层内单宽流量为

b

.Uxdy=u。

、=Uody-Uoi

00

由此可得

3.5.2动量损失厚度

同样，因固体边界的阻滞作用，将使实际液体边界层内通过的液体动量比理想液体情况下通过的液体动量为小。

若设想以理想液体宋代替实际液体，则可将固体边界上排除一个厚度为S**的水层，这样S—S**厚度内所通过的

图（6）

66

实际液体边界层内通过的单宽流量为Uxdy，动量为.「Ujdy；若以理想

00

液体来代替，则通过厚度为*的液体动量为厲02-J,以上两者应相

等，并令液体密度

P=常数，则

=.0d2dy「诚一*=.「U2dy」U；*

由此可得

由（4）及（5）式可知

3.5.2能量损失厚度

同样，固体边界的阻滞作用，将使实际液体边界层内通过的液体能量比理

想液体情况下通过的液体能量为小。

若设想以理想液体代替实际液体，则可将固体边界以上排除一个厚度为S**的水层，这样在S—S**厚度内通过的液

体能量将与实际液体在边界层者S内所通过的液体能量相等（见图7）。

6

实际液体边界层内通过的单宽流量为.0udyx,它的动能为

**

5—5

；u以dyx_=必dy；若以理想液体来代替，则通过厚度为

02g02

的液体动能为-U±■_■**。

以上两者应相等，即

由此可得:

图（7）

实际上常称二人-为能量损失厚度。

由（4）和（7）式可知

4边界层理论的应用

边界层的概念是普朗特于1904年首先提出的，它的提出为近代流体力学开创了一个新的研究领域。

边界层理论在航空、造船、航天、航海、叶轮机械、化学工程以及气象学、环境科学及能源科学等工程方面有着广泛的应用。

在造船界，最初它被用来计算船舶的粘性阻力，近十多年来，随着计算技术的进步及三维边界层理论的发展，它还被用来计算船尾的粘性流场。

4.1边界层理论在低比转速离心泵叶片设计中的应用

边界层理论可以用于低比转速离心泵叶片设计中，在该设计中提出了一种将湍流边界层理论应用于圆柱形叶片型线的设计方法•该方法以N-S方程为基础,

给出了雷诺方程，在边界层内对其进行量级比较，得到边界层动量微分方程；对其积分,得到边界层动量积分方程；通过变换的动量积分方程，求得了损失厚度近似解的表达式•分析了叶片边界层内的速度分布规律，运用尾流律推导出各种边界层厚度的表达式，作为求解边界层厚度的辅助关系式；运用了结合湍流边界层厚度系数kv和动量损失厚度S<,2>由无离心流动计算逐渐逼近离心流动来求解动量损失厚度的计算方法，它是进一步判定边界层分离的基础•依据对主流区速度场的分析，给出了含有速度系数的离心泵叶片型线参数方程；并分析了速度系

数边界层分离和理论扬程的关系•最后,分析了上述理论在叶片设计中应用的计算过程.通过对上述方法的研究，取得以下结论：

在进行叶片设计时，既要考虑叶轮参数的情况，又考虑叶片表面中间的流动状态；叶片型线的设计，其整体水平是特别重要的，尤其是结合叶片的沿程变化规律来探索出入口参数的方法更显得有意义。

4.2边界层理论在高超声速飞行器气动热工程算法中的应用

边界层可用于高超声速飞行器气动热工程算法的研究.基于Prandtl的边界层理论，将流场分为边界层外的无粘流场和边界层内粘性主导的区域，将边界层

外无粘流场的数值求解和边界层内粘性主导区域的工程算法相结合，发展了一套

高超声速气动热的计算方法.首先,对国内外发展的各种高超声速气动热计算方法进行了系统的分析、归类和比较，综合了各种经典的热流预测方法.在此基础

上,对于无粘流区，采用牛顿法、切楔/切锥法等工程方法确定物体表面压力分布利用等熵条件确定边界层外缘参数；在边界层内部，则采用上述经典热流公式确定物体表面的气动加热•采用此方法对一些二维及简单三维外形进行了气动热计算,结果证明本方法具有较高的精度.基于已有的高超声速无粘Euler解算程序,对上述气动热计算方法中的无粘流区采用基于非结构网格的数值模拟，利用无粘

数值结果来确定边界层外缘参数，从而发展出一套快速、