北京市中考数学专题复习讲义定义新函数问题专题学案教师版.docx
- 文档编号:29347519
- 上传时间:2023-07-22
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:483.20KB
北京市中考数学专题复习讲义定义新函数问题专题学案教师版.docx
《北京市中考数学专题复习讲义定义新函数问题专题学案教师版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北京市中考数学专题复习讲义定义新函数问题专题学案教师版.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
北京市中考数学专题复习讲义定义新函数问题专题学案教师版
定义新函数问题专题学案(教师版)
(1)学案设计背景
问题
来源
背景
函数
表示方法
性质及应用
2019年
第24题
给定数学情境(定弧上一动点),
研究三条线段长度之间的关系:
辨识函数(未给定自变量x和函数y1,y2)
列表法(已知)
图像法(求作)
构造新函数解决数学问题
(线段的数量关系)
2018年
第24题
给定数学情境(定弦上一动点),
给定三条线段长度分别为x,y1,y2
列表法
(已知部分)
图像法(求作)
构造新函数解决数学问题
(线段的数量关系)(需分类讨论)
2017年
第26题
给定数学情境(定弧上一动点),
给定两条线段长度分别为x,y
建立平面直角坐标系(包括单位长度等);构造新函数解决数学问题(线段数量关系)
2016年
第26题
给定x与y的对应关系(表格),
探究新函数
列表法(已知)
图像法(求作)
通过作图来估值;
函数性质(函数与x,y轴的交点、函数最大
值与最小值、函数的变化趋势等)
2015年
第26题
探究新函数:
解析法(已知)
图像法(求作)
函数性质(函数与x,y轴的交点、函数的最大值与最小值、观察函数的变化趋势等)
2015年26题是唯一一年给定新函数解析式(解析法)来探究新函数的图像和性质,2016年是通过列表给定新函数(列表法)来探究新函数的图像和性质,这两年都考查了由函数图象探究函数性质,答案是开放的、不唯一的.
2017-2019年的定义新函数题则在全新的数学情境下,展现了一个函数探究的全过程,特别是2019年从辨识函数(辨识并确定自变量和因变量)、认识函数(函数自变量取值范围、列表、描点、画图)、分析函数(探究函数性质)、应用函数(构造新函数解决新问题).
(二)常考知识点
1.函数定义:
在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,我们就把x称为自变量,y称为因变量,y是x的函数.
2.函数的表示法:
(1)用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的表达式,这种表示函数关系的方法称为解析法.
(2)用列表来表示函数关系的方法称为列表法.
(3)用画图象表示函数关系的方法称为图象法.
3.思想方法:
(1)在广泛联系生活实际或数学情境的事例中,理解变量、函数的概念,理解函数和函数自变量取值范围的意义;
(2)平面直角坐标系的建立和函数图象的画法是学习函数的基础,是数形结合思想的体现,要学会画图、读图、用图;
(3)会通过观察函数图象,发现函数性质,并用来解决新问题;
(4)根据新的问题情境,进行数学建模,构造新函数,解决新问题.
4.展望:
(1)问题情景的改变
将“纯数学情境”更新设计为“联系生活实际事例”,如课堂练习1和2.
(2)对应的元素有新的突破:
近三年都是“线段--对应关系---线段”,将线段更新设计为其他的元素,如课堂练习5中设计的“线段--对应关系---角度”.
(3)试题更开放
如:
19年三个研究对象中只有一个是单调的,所以只能选这个单调的为自变量,其他两个必为因变量;若设计为其中两个变量都是单调的,都可以作为自变量来研究后续问题,函数图象也就有不同的画法,试题开放性更强.
(4)表格中的数据、实际背景中的数据、函数定义域等相结合,关注图象的起始点、终止点、极值点等细节.
(三)例题探究
例1.(易,适合全体学生做)(北京2016年26题)
已知y是x的函数,自变量x的取值范围
下表是y与x的几组对应值
x
…
1
2
3
5
7
9
…
y
…
1.98
3.95
2.63
1.58
1.13
0.88
…
小腾根据学校函数的经验,利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究。
下面是小腾的探究过程,请补充完整:
(1)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中
各对对应值为坐标的点。
根据描的点,画出该函数图象;
(2)根据画出的函数图象,写出:
①x=4对应的函数值y约为;
②该函数的一条性质:
.
【分析】
本题引导学生画图时注意“自变量x的取值范围
”,结合已经描出的点,尽量用光滑的曲线将所描的点连起来,并根据自己所画的图象,找到横坐标为4的点,并根据x与y“对应”的关系,在直角坐标系中找到该点的纵坐标的值,最后根据所画的函数图象写出一条函数性质,引导学生可以从以下几方面来研究函数性质:
(1)函数图象在坐标系中的位置(即定义域、值域、零点):
函数图象是否过原点;
函数图象在第几象限;
函数图象与x轴,y轴的交点;
函数图象的最高点与最低点(y的最大值与最小值)
......
(2)函数图象是否对称(即对称性);
(3)函数图象的变化趋势(即单调性).
【温馨提示】
对于此类问题一定不能空着,结合题目所给的表格和描出的点,画图象即为连线。
而性质的书写可以写自己最有把握的一条性质即可.
下面给出多种这个题目中的函数图象,这些图象没有好坏之分,只要满足函数定义即为正确答案.当然,不同函数图象也就直接影响后两问的答案了.
例2.(中等偏难,适合中等及以上学生做)(北京2019年24题)
如图,P是
与弦AB所围成的图形的外部的一定点,
C是
上一动点,连接PC交弦AB于点D.小腾根据学习
函数的经验,对线段PC,PD,AD的长度之间的关系进行了
探究.下面是小腾的探究过程,请补充完整:
(1)对于点C在
上不同位置,画图、测量得到线段PC,PD,AD长度的几组值,如下表:
在PC,PD,AD的长度这三个量中,确定:
的长度是自变量,
的长度
和的长度都是这个自变量的函数;
(2)在同一平面直角坐标系
中,画出
(1)中所确定的函数的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
当PC=2PD时,AD的长度约为
.
【分析】在引导学生分析问题时,可从以下几步进行:
步骤1:
辨识函数:
关键是确定自变量,并检验是否符合函数的定义“对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,我们就把x称为自变量,y称为因变量”.即自变量x的值是单调的,不能出现两个或多个相同的x的值对应着不同y值.
由表格(位置1~位置8)整体来看,AD的长度是单调递增,而PC和PD的长度都是先减后增,PC在位置5和6均为2.25(若PC=x,则x=2.25时对应着两个不同的y值),PD在位置3和7均为2.00(与PC同理),故确定AD=x.
但是若题目中的表格(见右)只给出位置1~位置5,单纯的从表格来看,这三个变量都是单调,难道都可以充当自变量吗?
所以函数还是要三个变量自身最本源的动态几何状态下去观察PC、PD、AD三条线段的变化趋势.在C从A运动到B的动态过程中,AD从0一直增加到线段AB的长度、PC和PD则从PA的长度大小先变小(最小位置是PC与AB垂直)后变大(最终变大为PB的长度).在这个动态几何研究过程中,从本质上严谨地对每个变量的变化趋势一目了然.
小结:
如何辨识自变量和因变量?
第
(1)层面,在题目所提供的数学情境(或生活实例)中研究动态几何下每个变量的变化趋势;第
(2)层面,在题目所提供的多个变量数据形成的表格中研究每个变量的变化趋势.由以上的分析,更建议我们学生从第
(1)层面来研究.
步骤2:
认识函数:
列表(已给)---描点---连线(用光滑曲线将描出的点连接,作出函数图象)
以AD为自变量以PC为自变量以PD为自变量
再次确认,若以PC、PD为自变量,描点连线后更形象直观的看出不符合“对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应”.
步骤3:
分析、应用函数:
将所提出的新问题“当PC=2PD时,求AD的长度”转化为自变量x、和函数值y1、y2之间的关系:
当y1=2y2时求x的值.引导学生有两种做法.
方法1:
直接看表格中的数据估计在哪些位置(附近)恰好满足y1=2y2即PC=2PD;
方法2:
新函数y=
PC,即将函数y=PC图象上的横坐标不变,纵坐标缩小为原来的
,重新进行描点连线,进而观察新函数y=
PC图象与y=PD图象的所有交点的横坐标.
备注:
17年--18年最后一问时提出等腰三角形的条件,需要在自变量x与函数值y之间建立新的函数y=x,涉及到三个函数y=x,y=y1,y=y2的图象的交点问题;
19年最后一问是在两个函数值(PC,PD)之间建立联系,对学生的建模能力提出了更高的挑战。
学生可以选择通过描点画图的方式,画出关于y=2PD或y=
PC的图象,根据测量函数交点的横坐标来解决问题,这种考法对学生“描点画图”能力的考察发挥到了极致。
(2)课堂练习
类型一:
实际生活背景
课堂练习1(中,适合全体学生做)(人大附3月月考)
某种型号的电热水器工作过程如下:
在接通电源以后,从初始温度20℃下加热水箱中的水,当水温达到设定温度60℃时,加热停止;此后水箱中的水温开始逐渐下降,当下降到保温温度30℃时,再次自动加热水箱中的水至60℃,加热停止;当水箱中的水温下降到30℃时,再次自动加热,……,按照以上方式不断循环.
小宇根据学习函数的经验,对该型号电热水器水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究,发现水温y是时间x的函数,其中y(单位:
℃)表示水箱中水的
温度,x(单位:
min)表示接通电源后的时间.
下面是小宇的探究过程,请补充完整:
(1)小宇记录了从初始温度20℃第一次加热至设定温度60℃,之后水温冷却至保温温度30℃的过程中,y随x的变化情况,如下表所示:
①请写出一个符合加热阶段y与x关系的函数解析式______________;
②根据该电热水器的工作特点,当第二次加热至设定温度60℃时,距离接通
电源的时间x为________min.
(2)根据上述的表格,小宇画出了当0x20时的函数图象,请根据该电热水器的工作特点,帮他画出当20x40时的函数图象.
(3)已知适宜人体沐浴的水温约为35℃-50℃,小宇在上午8点整接通电源,水箱中水温为20℃,热水器开始按上述模式工作,若不考虑其他因素的影响,
请问在上午9点30分时,热水器的水温______(填“是”或“否”)适合
他沐浴,理由是_________________
课堂练习2(中难,适合全体学生做)(2020丰台二模25)
小腾的爸爸计划将一笔资金用于不超过10天的短期投资,针对这笔资金,他的银行专属客户经理提供了三种投资方案,这三种方案的回报如下:
方案一:
每一天回报30元;
方案二:
第一天回报8元,以后每一天比前一天多回报8元;
方案三:
第一天回报0.5元,以后每一天的回报是前一天的2倍.
下面是小腾帮助爸爸选择方案的探究过程,请补充完整:
(1)确定不同天数所得回报金额(不足一天按一天计算),如下表:
天数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
方案一
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
方案二
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
方案三
0.5
1
2
4
8
16
32
64
128
m
其中m=;
(2)计算累计回报金额,设投资天数为x(单位:
天),所得累计回报金额是y(单位:
元),
于是得到三种方案的累计回报金额y1,y2,y3与投资天数x的几组对应值:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y1
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
y2
8
24
48
80
120
168
224
288
360
440
y3
0.5
1.5
3.5
7.5
15.5
31.5
63.5
127.5
255.5
n
其中n=;
(3)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),
(x,y2),(x,y3),并画出y1,y2,y3的图象;
注:
为了便于分析,用虚线连接离散的点.
(4)结合图象,小腾给出了依据不同的天数而选择对应方案的建议:
类型二:
数学情境
课堂练习3(中难,适合全体学生做)
(2020西城二模25)(例2复练)
如图,在△ABC中,AE平分∠BAC交BC于点E,D是AB边上一动点,连接CD交AE于点P,连接BP.已知AB=6cm,设B,D两点间的距离为xcm,B,P两点间的距离为y1cm,A,P两点间的距离为y2cm.
小明根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,
分别得到了y1,
与x的几组对应值:
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
2.49
2.64
2.88
3.25
3.80
4.65
6.00
y2/cm
4.59
4.24
3.80
3.25
2.51
0.00
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),
(x,
),并画出函数y1,
的图象;
(3)结合函数图象,回答下列问题:
①当AP=2BD时,AP的长度约为cm;
②当BP平分∠ABC时,BD的长度约为cm.
备注:
表格中x=3,y1=3.25,y2=3.25这组数据隐藏着△ABC是以C为顶点的等腰三角形.
课堂练习4(中难,适合全体学生做)
(2020东城二模)(例2复练)
如图,在△ABC中,AB=6cm,P是AB上的动点,
D是BC延长线上的定点,连接DP交AC于点Q.
小明根据学习函数的经验,对线段AP,DQ,DQ的长度之间的关系进行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)对于点P在AB上的不同位置,画图、测量,得到了线段AP,DQ,DQ的长度(单位:
cm)的几组值,如下表:
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
AP
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
DP
4.99
4.56
4.33
4.32
4.53
4.95
5.51
DQ
4.99
3.95
3.31
2.95
2.80
2.79
2.86
在AP,DQ,DQ的长度这三个量中,确定______的长度是自变量,_____的长度和______
的长度都是这个自变量的函数;
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出
(1)中所确定的函数的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
当AP=1/2(DP+DQ)时,AP的长度约为________cm.
课堂练习5(中难,适合全体学生做)(2020年通州一模)(与角度相关)
【分析】
1.参考答案:
(1)50°
(2)x1,x2,图象见右图
(3)-1.87
2.本题涉及到了三个函数:
,
,
教师要引导学生辨识函数、认识函数、分析函数和应用函数,
教师也应注意到,
、
这两个函数是在实数的集合和角的集合之间建立起的一一对应关系,而这里涉及到的角度制是60进制,与和10进制在进位制上是不统一的,不便于数与数之间的对比,所以在高中开始研究三角函数时需要先将进位制统一,引入10进制的弧度制,既可以保持进位制统一,也可以与角度制进行对应换算(与原有数学系统相容)。
教师也可以引导学生,看学生能否发现或者提出我们上面提到的进位制的问题,或许学生还能提出其他我们为关注到的其他问题.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 北京市 中考 数学 专题 复习 讲义 定义 函数 问题 教师版