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八上讲义
三角形全等的条件一(SSS)
如果两个三角形满足上述六个条件中的一个或两个时有几种情形,能否保证两个三角形全等?
满足一个条件:
①只有一条边对应相等;②只有一个角对应相等;
结论:
满足两个条件:
①两角对应相等;②两边对应相等;一边一角对应相等
结论:
如果两个三角形满足上述六个条件中的三个时,有几种可能的情况?
①两边一角对应相等
②两角一边对应相等
③三边对应相等
④三个角对应相等
定义:
如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等.简写为“边边边”,或简记为(S.S.S.)。
例1.已知:
如图AB=CD,AD=BC,求证:
AD∥BC。
Sas例2.已知:
如图,△ABC和△ADC有公共边AC,E是AC上一点,AB=AD,BE=DE.求证:
∠ABC=∠ADC.
例3.已知:
如图,点A、C、B、D在同一条直线上,AC=BD,AM=CN,BM=DN,求证:
AM∥CN,BM∥DN。
例4.已知:
如图,AB=AE,AC=AD,BC=DE,C,D在BE边上.求证:
∠CAE=∠DAB.
课堂练习:
1.如图,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,则∠ACD的度数是()
A.120°B.125°C.127°D.104°
2.如图,线段AD与BC交于点O,且AC=BD,AD=BC,则下面的结论中不正确的是()
A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D
3.如图,AB=CD,BF=DE,E、F是AC上两点,且AE=CF.欲证∠B=∠D,可先运用等式的性质证明AF=________,再用“SSS”证明______≌_______得到结论.
4.如图,已知AB=DC,AD=BC,E、F是DB上两点且BF=DE,若∠AEB=120°,∠ADB=30°,则∠BCF=°
5.如图,AD⊥BC,垂足为D,BD=CD.求证:
△ABD≌△ACD.
6.已知:
如图,AB=DC,BD=AC,AC,BD交于O.求证:
△AOB≌△DOC.
8.已知:
如图,A、E、F、B在一条直线上,AC=BD,AE=BF,CF=DE。
求证:
AD=BC.
课后练习:
1.已知线段a、b、c,求作△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c,下面作法的合理顺序为______.
①分别以B、C为圆心,c、b为半径作弧,两弧交于点A;
②作直线BP,在BP上截取BC=a;
③连结AB、AC,△ABC为所求作三角形.
2.如图,已知AB=CD,AD=BC,E,F是BD上的两点,且BE=DF,若,,则____________;
3.如图,AC=BC,AD=BD,AE=BE,AF=BF,则图中共有对全等三角形,
4.已知:
如图,AB=DE,AC=DF,要证△ABC≌△DEF,所缺一个条件是________.
5.工人师傅常用角尺平分任意角,做法如下:
如图:
∠AOB是一个任意角,在OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合,过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线。
你知道这样做的理由吗?
6.已知:
如图:
BE=CF,AB=DE,AC=DF,求证:
△ABC≌△DEF。
7.如图,AB=AC,BD=CD,求证:
∠1=∠2.
8.已知AC=BD,AE=CF,BE=DF,问AE∥CF吗?
9.已知AB=CD,BE=DF,AE=CF,问AB∥CD吗?
10.如图,AC=BD,BC=AD,求证:
△ABC≌△BAD.
能力提高:
1.如图,AC=DF,BC=EF,AD=BE,∠BAC=72°,∠F=32°,则∠ABC=
2.已知:
如图,E是AD上的一点,AB=AC,AE=BD,CE=BD+DE.求证:
∠B=∠CAE.
3.如图:
AB=DC,BE=DF,AF=DE。
(1)求证:
△ABE≌△DCF;
(2)CF∥BE.
4.如图;AB=AC,BF=CF.求证:
∠B=∠C.
5.如图,AD=BC,AB=DC.求证:
∠A+∠D=180°.
三角形全等的条件二(SAS)
定义:
如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等.简写成“边角边”或简记为(S.A.S.)
例1.如图,AE=DB,BC=EF,BC∥EF,求证:
△ABC≌△DEF.
例2.如图,AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC,求证:
△ABC≌△ADE.
例3.已知:
如图,AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
例4.如图,已知,等腰Rt△OAB中,∠AOB=90o,等腰Rt△EOF中,∠EOF=90o,连结AE、BF.
求证:
(1)AE=BF;
(2)AE⊥BF.
例5.如图,在△ABE中,AB=AE,AD=AC,∠BAD=∠EAC,BC、DE交于点O.
求证:
(1)△ABC≌△AED;
(2)OB=OE.
课堂练习:
1.在△ABC和△A'B'C'中,要使△ABC≌△A'B'C',需满足条件()
A.AB=A'B',AC=A'C',∠B=∠B'B.AB=A'B',BC=B'C',∠A=∠A'
C.AC=A'C',BC=B'C',∠C=∠C'D.AC=A'C',BC=B'C',∠C=∠B'
2.如图,在∠AOB的两边上截取AO=BO,在AO和BO上截取CO=DO,连结AD和BC交于点P,则△AOD≌△BOC理由是()
A.ASAB.SASC.AASD.SSS
3.如图,在和中,已知,,根据(SAS)判定,还需的条件是( )
A.B.C.D.以上三个均可以
4.如图,AD=AE,AB=AC,BE、CD交于F,则图中相等的角共有___对,(除去∠DFE=∠BFC)()
A.5B.4C.3D.2
5.在Rt△ACD和Rt△BCE中,若AD=BE,DC=EC,则不正确的结论是()
A.Rt△ACD≌Rt△BCEB.OA=OBC.E是AC的中点D.AE=BD
6.如果两个三角形全等,则不正确的是()
A.它们的最小角相等B.它们的对应外角相等C.它们是直角三角形D.它们的最长边相等
7.如图,已知:
△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,不正确的等式是()
A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE
8.下图中全等的三角形是()
A.Ⅰ和ⅡB.Ⅱ和ⅣC.Ⅱ和ⅢD.Ⅰ和Ⅲ
9.如图,已知∠1=∠2,要使△ABC≌△ADE,还需条件()
A.AB=AD,BC=DEB.BC=DE,AC=AEC.∠B=∠D,∠C=∠ED.AC=AE,AB=AD
10.已知:
AD∥BC,AD=CB,求证:
△ADC≌△CBA.
11.如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,试说明△ABD≌△ACD.
12.如图,AD=BC,∠ADC=∠BCD.求证:
∠BAC=∠ABD.
13.如图,已知:
AC=DF,AC∥FD,AE=DB,求证:
△ABC≌△DEF.
14.如图,在中,,分别以AB,AC为边作两个等腰直角△ABD和△ACE,
使.
(1)求的度数;
(2)求证:
.
15.如图:
AB=AC,AD=AE,AB⊥AC,AD⊥AE.求证:
(1)∠B=∠C,
(2)BD=CE
16.如图∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE,BD=CE。
求证:
AB=AC。
课后练习:
1.下面各条件中,能使△ABC≌△DEF的条件的是( )
A.AB=DE,∠A=∠D,BC=EF B.AB=BC,∠B=∠E,DE=EF
C.AB=EF,∠A=∠D,AC=DF D.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF
2.如图,AD,BC相交于点O,OA=OD,OB=OC.下列结论正确的是()
A.B.C.D.
3.如图,已知,,.下列结论不正确的有().
A.B.C.AB=BCD.BD=CE
4.如图所示,△ABC与△BDE都是等边三角形,AB A.AE=CDB.AE>CDC.AE 5.已知: 如图,CEAB,DFAB,垂足分别为E,F,AF=BE,且AC=BD,则不正确的结论是() A.Rt△AEC≌Rt△BFDB.∠C+∠B=90°C.∠A=∠DD.AC∥BD. 6.如果△ABC和△DEF全等,△DEF和△GHI全等,则△ABC和△GHI______全等,如果△ABC和△DEF不全等,△DEF和△GHI全等,则△ABC和△GHI______全等.(填“一定”或“不一定”或“一定不”) 7.如图,已知AB⊥BD于B,ED⊥BD于D,AB=CD,BC=DE,则∠ACE=____. 8.已知如图,F在正方形ABCD的边BC边上,E在AB的延长线上,FB=EB,AF交CE于G,则∠AGC的度数是______. 9.如图,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出_____个. 10.如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是。 11.已知: 如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证: ∠3=∠4。 12.已知: 如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证: ∠DBE=∠DCE. 13.如图,已知: AD∥BC,AD=BC.求证: AB∥CD. 14.已知: 如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证: AC∥DF. 15.已知: 如图,AD是BC上的中线,且DF=DE.求证: BE∥CF. 16.如图,在中,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,AE=CE,AB与CF有什么位置关系? 说明你判断的理由。 17.如右图,已知DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别是E、F,AE=CF,DC∥AB, (1)试证明: DE=BF; (2)连接DF、BE,猜想DF与BE的关系? 并证明你的猜想的正确性. 18.已知如图,B是CE的中点,AD=BC,AB=DC.DE交AB于F点。 求证: (1)AD∥BC (2)AF=BF. 19.已知: 如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证: ∠3=∠4。 能力提高: 1.观察下列图形,则第个图形中三角形的个数是() A.B.C.D. 2.如图,AD⊥AB,CB⊥AB,DM=CM=a,AD=h,CB=k,∠AMD=75°,∠BMC=45°,则AB的长为() A.aB.kC.D.h 3.已知: 如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证: BD=CE。 4.如图已知: ΔABC和ΔBDE是等边三角形,D在AE延长线上。 求证: BD+DC=AD。 5.已知: 如图,BE、CF是△ABC的高,分别在射线BE与CF上取点P与Q,使BP=AC,CQ=AB。 求证: (1)AQ=AP; (2)AP⊥AQ 6.如图,△ABC为等边三角形,点M,N分别在BC,AC上,且BM=CN,AM与BN交于Q点。 求∠AQN的度数。 7.已知C为AB上一点,△ACN和△BCM是正三角形. (1)求证: AM=BN; (2)求∠AFN的度数. 8.如图,已知△ABC的边长为1的正三角形,△BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形,以D为顶点作一个600角,角的两边分别交AB于M,交AC于N,连MN形成△AMN,求证: △AMN的周长等于2。 9.已知在中,,AD平分交BC于D点,求证: AC=AB+BD。 10.如图,△ABC是等腰直角三角形,其中CA=CB,四边形CDEF是正方形,连接AF、BD. (1)观察图形,猜想AF与BD之间有怎样的关系,并证明你的猜想; (2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转,使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部,请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,题 (1)中猜想的结论是否仍然成立? 若成立,直接写出结论,不必证明;若不成立,请说明理由. 11.五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,求证: AD平分∠CDE. 三角形全等的条件三、四(ASA,AAS) 定义: 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等.简记为“角边角”或简记为(A.S.A.)。 如果两个三角形的两个角及其其中一角的对边分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为“角角边”或简记为(A.A.S) 问题: 一块三角形玻璃碎成如图形状4块,配一块与原来一样的三角形玻璃 (1)要不要4块都带去? (2)带哪一块呢? (3)带D块,带去了三角形的几个元素? 另外几快呢? 例1.如图,∠BDA=∠CEA,AE=AD.求证: AB=AC. 例2.如图,∠ACB=900,AC=BC,D为AB上一点,AE⊥CD,BF⊥CD,交CD延长线于F点.求证: BF=CE. 例3.如图在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC的中线,过点C作CF⊥AE于F,过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D。 (1)求证: AE=CD, (2)若BD=5㎝,求AC的长。 例4.如图: 在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB上一点,AE⊥GD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F。 求证: AE=EF+BF。 例5.如图,已知在中,AD是角平分线,CF⊥AD交AB于F,垂足为M,CE∥AD交BA的延长线于E,求证: AC=AE=AF。 例6.如图,△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证: BD=2CE. 课堂练习 1.已知: 如图,AC=CD,∠B=∠E=90°,AC⊥CD,则不正确的结论是() A.∠A与∠D互为余角B.∠A=∠2C.△ABC≌△CEDD.∠1=∠2 2.在△ABC中,AC=5,中线AD=4,则边AB的取值范围是() A.1 3.如图,点D,E,F,B在同一条直线上,AB∥CD,AE∥CF,且BF=DE,若BD=10,BF=2,则EF=_______ 4.已知: 如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.求证: △ABD≌△CDB. 5.如图,,,试说明△ABC≌△DCB. 6.如图,∠1=∠2,∠B=∠C.求证: AB=AC. 7.如图: 在△ABC中,AB=AC,AD和BE都是高,它们相交于点H,且AH=2BD.求证: AE=BE. 8.已知: 如图,四边形ABCD中,AD∥BC,F是AB的中点,DF交CB延长线于E,CE=CD.求证: ∠ADE=∠EDC. 9.如图,ΔABC中,D是AC上一点,BE∥AC,BE=AD,AE分别交BD、BC于点F、G. ⑴图中有全等三角形吗? 请找出来,并证明你的结论. ⑵若连结DE,则DE与AB有什么关系? 并说明理由. 10.如图,在△ABC中,∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分线,∠1=∠B,求证AB=AC+AD. 课后练习: 1.如图,∠A=∠D,OA=OD,∠DOC=50°,求∠DBC的度数为() A.50°B.30°C.45°D.25° 2.如图,AB∥CD,AD∥BC,AC、BD相交于点O。 (1)由AD∥BC,可得=,由AB∥CD,可得=,又由,于是△ABD≌△CDB; (2)由,可得AD=CB,由,可得△AOD≌△COB; (3)图中全等三角形共有对。 3.如图在ΔABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD交BE于F,若BF=AC,那么∠ABC的大小是 4.已知: 如图,∠1=∠2,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为B、D.求证: AB=AD. 5.如图,∠1=∠2,∠B=∠D,求证: △ABC≌△ADC. 6.如图,∠C=∠D,CE=DE.求证: ∠BAD=∠ABC. 7.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,∠1=∠2,∠3=∠4. 求证: (1); (2)BO=DO. 8.如图,已知点B、C、E在一条直线上,AB=CD,AC=BD,DE∥AC,试说明∠E=∠DBC。 9.如图,,,AC、BD交于点,图中共有几对长度相等的线段,你是通过什么办法找到的? 10.已知: 如图,AB∥CD,∠1=∠2,O是AD的中点,EF、AD交于O.求证: O也是EF的中点. 11.如图,AD=BE,AC∥DF,BC∥EF,求证: △ABC≌△DEF. 8.已知: 如图,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,F、C在直线BE上.求证: AB=DE,AC=DF. 9.已知: 在△ABC中,AD为BC边上的中线,CE⊥AD,BF⊥AD。 求证: CE=BF。 10.已知: 如图AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,M是AB的中点,连结CM并延长交BD于点F. 求证: AC=BF. 11.已知: 如图,E、D、B、F在同一条直线上,AD∥CB,∠BAD=∠BCD,DE=BF.求证: AE∥CF. 12.已知: 如图,AE=BF,AD∥BC,AD=BC.AB、CD交于O点.求证: OE=OF. 能力提高: 1.已知: 如图,AD=DC,∠ADC=∠DEB=∠B=90°,四边形ABCD的面积为16,则DE的长为() A.5B.4C.3D.2 2.三角形ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,在AC的延长线上取一点E,使CE=BD,连结DE交BC于G,求证: DG=GE. 3.已知: 如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,E、F分别是AB、AC上的点, 且∠EDF+∠EAF=180°。 求证: DE=DF。 4.在等边三角形ABC中,AE=CD,AD,BE交于P点,BQ⊥AD于Q.求证: BP=2PQ. 5.如图,点M为正△ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外),作,射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系? 三角形全等的条件五 定义: 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等.简记为H.L定理.(或斜边直角边). 例1.如图,有一个直角△ABC,∠C=90°,AC=10,BC=5,一条线段PQ=AB,P.Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,当AP=时,才能使ΔABC与ΔPQA全等. 例2.已知: 如图,AB=CD,AE=DF,且AEBC于E,DFBC于F.求证: ∠B=∠C。 例3.已知: 如图,E,B,F,C四点在同一直线上,∠A=∠D=90°,BE=FC,AB=DF.求证: ∠E=∠C 例4.如图,ABBC于B,ADDC于D,且CB=CD.求证: ∠ABD=∠ADB. 例5.证明: 在直角三角形中,300所对的直角边等于斜边的一半。 例6.已知: 如图,AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,求证: BE⊥AC。 例7.已知: Rt△ABC中,∠ACB是直角,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于E, 求证: CD⊥BE. 课堂练习: 1.能使两个直角三角形全等的条件是() A.两直角边对应相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.斜边相等 2.两个三角形有以下三对元素相等,则不能判定全等的是() A.一边和两个角B.两边和它们的夹角C.三边D.两边和一对角 3.下列说法中,错误的是() A.三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用 B.已知两个锐角不能确定一个直角三角形 C.已知一个锐角和一条边不能确定一个直角三角形 D.已知一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形 3.已知: 如图,AD=BC,AE,CF分别垂直BD于E、F,AE=CF,则图中有____对相等的角(除直角外).()A.3B.4C.5D.6 4.已知: 如图,AC是∠BAD和∠BCD的角平分线,则△ABC≌△ADC用____判定.() A.AAAB.ASA或AASC.SSSD.SAS 5.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=60°,延长BC到D,使CD=AC则AC: BD=() A.1: 1B.3: 1C.4: 1D.2: 3 6.如图,在下列给出的四组条件下,不一定能推导出△ABD≌△EBC的条件是() A.BE=BA,BD=BC,∠1=∠2B.∠3=∠4,∠1=∠2,AB=EB C.AB=EB,∠1=∠2,AD=ECD.AB=EB,∠1=∠2,∠C=∠D 7.如图,已知AB⊥AC,AC⊥CD,垂足分别是A,C,AD=BC。 由此可判定全等的两个三角形是△和△ 8.已知: 如图,AE,FC都垂直于BD,垂足为E、F,AD=BC,BE=DF.求证: OA=OC. 9.已知: 如图,DN=EM,且DNAB于D,EMAC于E,BM=CN.求证: ∠B=∠C. 10.已知: 如图,BC是△ABC和△DCB的公共边,AB=DC,AC=DB,AE、DF分别垂直BC于E,F. 求证: AE=DF. 11.已知: 如图,AB=CD,D、B到AC的距离DE=BF.求证: AB∥CD. 12.已知: 如图,OC=OD,ADOB于D,BCOA于C.求证: EA=EB. 13.如图,已知: ∠ACB和∠ADB都是直角,BC=BD,E是AB上任一点,求证: CE=DE. 14.已知: 如图,∠A=∠D=90°,AC,BD交于O,AC=BD.求证: OB=OC. 15.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90O,直线l经过点C,AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D、E. 求证: AD=CE。 课后练习: 1.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是() A.一条直角边和一个锐角分别相等B.两条直角边对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等D.斜边和一个锐角对应相等 2.在下列定理中假命题是() A.一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形 B.一个直角三角形必能分成两个等腰三角形 C.两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形 D.两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形 3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD、CE,分别是斜边AB上的高与中线,CF是∠ACB的平分线。 则∠1与∠2的关系是() A.∠1<∠2B.∠1=∠2C.∠1>∠2D.不能确定 4.在直角三角形ABC中,若∠C=900,D是BC边上的一点,且AD=2CD,则∠ADB的度数是() A
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