数学一轮课件理科浙江专用第五章平面向量54.docx
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数学一轮课件理科浙江专用第五章平面向量54
•第4讲数列求和
■最新考纲1.熟练掌握等差、等比数列的前霭蟲册差数列'非等比数
知识梳理
1.求数列的前〃项和的方法
(1)公式法
1等差数列的前〃项和公式
Sn==■
2等比数列的前“项和公式
(匚)当§=1时,S”="5;(ii)当qHl时,Sn=
•
(2)分组转化法
•把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解.、
•(3)裂项相消法
*把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.、
•⑷倒序相加法
•把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.
•(5)错位相减法
•主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广.
•(6)并项求和法
•一个数列的前〃项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如^=(-1)«类型,可采用两项合并求解.
•例如,Sn—1002—992+982—972+•••+22—12=(100+99)+(98+97)+-+(2+1)=5050.
2.常见的裂项公式
⑴t=1—丄;
n(n+1)nh+T
1if1
⑵(2〃一1)(2〃+1)=茲—1
⑶&+川+1=冋"
1
2〃+1丿
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“丁”或“X”)
⑴如果数列{冷}为等比数列,且公比不等于1,则其前〃项
⑶求S”=d+2a2+3a‘na"之和时只要把上式等号两边同
时乘以d即可根据错位相减法求得.
(X)⑷若数列。
1,如一。
1,…,d“一a”-i是首项为1’公比为3的等3"—1
比数列,贝『数列{禺}的通项公式是禺=一—・(°)
A.2+2—1
C・T^+n-2
2•若数列{冷}的通项公式为an=2n+2n-\9则数列{给}的前n
项和为
()
B.2n+1+«2-l
D・2n+n—2
6HI+…+I+I+IH0+9;)+(匕+寸:
)+:
・+(卜+9—)+(」+寸—)+(E+z—)+K+9I—「I+・:
+9—「+寸—E+Z—IH匚S91・GU・08・a6・v
()•
"^亘£•I—XI——)+•:
+寸——E+z——ILg*m・E
4.己知等差数列{给}的前农项和为血=5,S5=15,则数列
101
D-Too
让訓前1。
。
项和为
100D99_22_
A-ToiB・ioiJ100
。
1=1,d=\,
解析设等差数列{给}的首项为印,公差为〃.ci1+4d==5,
•血=5,S§=155X(5—1)
5d]+歼d—-15,
••cin—-(ji—l)i/—n.
1111
djqClf^-{-1n(n-\-1)n〃+l‘
1100
loiior
•5・(人教A必修5P61A4⑶改编)1+2兀+3兀2
Fnxnt=(兀HO且兀H1).
•解析设S“=1+2x+3x2+…+nxn_,
•①
贝!
JxS和=x+2x2+3塔+…+nxn,
①一②得:
(1—x)5,?
=1+x+x1Hx~x—nx
1r"n=—nx,
\—X
考点一分组转化求和
【例1】(201牛山东卷)在等差数列{禺}中,已知公差d=2,a2是⑷与他的等比中项.
⑴求数列{如的通项公式;
(2)令b”=,记Tn=—bi~\-b2~b3-\~b4(—
1Ybn,求7;.
解
(1)[11题意知(di+iZ)?
=Q](Q]+3d),
即+2)2=d](Qi+6),
解得di=2,所以数列{a“}的通项公式为an=2n.
(2)由题意知九=心心产=斤(〃+1).
所以几=—IX2+2X3—3X4+•••+(-1)SX(〃+1).因为bn+i-bn=2(n-\~1),可得当n为偶数时,
n(n~\~2)
2
当〃为奇数时,
(卅+1)2
Tn=(—bi+b2)+(—b3+b4)(—久-i+久)
n{
2(4+2n)
=4+8+122n=
所以Tn=<
•规律方法常见可以使用公式求和的数列
:
(1)等差数列、等比数列以及由等差数列
、等比数列通过加、减构成的数列,它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解;
(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的,可以分项数为奇数和偶数时,分别使用等差数列或等比数列的求和公式.
【训练1】在等比数列{%}中,a.a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且%,心,偽中的任何两个数不在下表
(1)求数列{%}的通项公式;
⑵若数列也}满足:
$=%+(—1)呱an,求数列{仇}的前加项和S2”
解
(1)当%=3时,不合题意;
合题意;
当%=10时,不合题意.
因此°]=2,。
2=6,。
3=18,所以公比g=3
故陽=2・3"T.
(2fi^F"an+(—l)、~lnP3
"2.3、丄+(—ly」n(2Q丄)
"2.3二丄+(—13n2+s—l)ln3」
"2.3=一+(—lr(ln2—In3)+(—lysln3"
当龙s2i01+b2+:
・+02=
H2(l+3+・:
+32i)-H—l+l—l+.:
+(—l)2、5n2—ln3)+
〔—1+2—3+…+(—l)Jn」ln3
1—32=
H2X-J+S33
1丨5
H32n+sln3—1.
【训练2】(2014•湖州质检)在等比数列{给}中,已知印=3,公
比qHl,等差数列&}满足加=如,b4=a2,bn=a3.
(1)求数列{给}与{仇}的通项公式;
(2)记°=(一1炖+禺,求数列{"}的前n项和S”.
c
8*E+…+ZE+E+〔(I+$)h—)+(I—ez)I—u(I——)」+・:
+(6+L—)+(5+E——)H
6+…+£+<7ls
M+(I+$)h—)L0+Yh—)H£^・*®«e)
网+1
_~~2~所以Sn=<3X+1
考点二错位相减法求和
【例2](2014-江西卷)已知首项都是1的两个数列{©},
{◎?
}(久HO,卅WN)满足©仇+]—。
卄1乞+2仇+i仇=0.
⑴令5=瓷,求数列{"}的通项公式;
(2)若bf=3n~\求数列{如的前〃项和S&
角军
(1)因为e0”+i—。
”+[仇+2久+1仇=0,®HO(“WN*),
所以才:
—才=厶即Cn+\~Cn=2.
所以数歹Ij{c“}是以首项C1=1,公差d=2的等差数列,故c“=
2n—1.
(2)由b”=3"1知cin—cnbn=(2n—1)3"1,
于是数列{a”}前n项和1-3°+3-31+5-32+•••+(2n—1)・3"1,
3Sn=l-3l+332——(2n-3)-3n_1+(2n-l)-3\
相减得一2S”=l+2・(3i+323"7)—(2〃一1).3"=—2—(2〃
—2)3",所以Sn=(n~1)3"+1.
•规律方法
(1)—般地,如果数列{%}是等差数列,&}是等比数列,求数列{%乞啲前〃项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列傀啲公比,然后作差求解;⑵在写出吕“gS/的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn・gS/的表达式・
【训练31(2014-安徽卷)数列{给}满足如=1,nan+l=(n+l)an
*
+n(n+1),・
(1)证明:
数列{計是等差数列;
⑵设九=3"•仏求数列{久}的前"项和臨
⑴证明由已知可得黑十=牛+1,
0卄1
71+1
=1.
所以{呼是以¥=1为首项,1为公差的等差数列.
(2)解111
(1)得匚=1+(〃一1)-1=n9所以an=n2.从而bn=n-3n・
S“=lS+2・32+3・33——⑦3",①
35/?
=l-32+2.33H——(〃一1)・3"+⑦3"+i.②
①一②得一2Sn=31+32+-+3,?
-n-3n+1
3・(1一3")卩+|(1_2〃)3冲_3
所以s?
=
(2斤一1)・3小+3
考点三裂项相消法求和
【例3](201牛广东卷)设各项均为正数的数列{禺}的前n项和
为S”,且S”满足S:
—(h2+m—3)S”一3(rz2+n)—0,“WN*.
⑴求如的值;
(2)求数列{禺}的通项公式;
⑶证明:
对-切正整数“,有而治+為5+"
]1
给仏+1)<3
+n)=0,
(1)解TS:
—(n2+n—3)Sn—3(n•••令n=l,得加+°1—6=0,解得°]=2或ci\=—3.
乂禺〉0,••。
]=2・
•(zusmzh^m^
■WIT如&NHS■眾(I)田K
£ZHH——M+JI—s」—c+、HILS—b==€・起dA\u汕
•ONE+SM也・oa£i><
"on(e+巧)?
+s——E2驱6g+电Els(E—H+s—2s-ffiss
⑶证明由
(2)知,禺(给+1)—2心+1)'所以卬(/+1)+。
2(/+1)+…+冷(/+1)
2心+戈+…+2〃(2:
+1)
<是+土+氏+…+(2〃_1;(2〃+1)
1
=1lfl__石十2^3_2n+l
V+扌4耳
•规律方法利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.
【训练4】(2015-嘉兴模拟)设S,7为等差数列{©}的前〃项和,已知Si,~~ClqjQg2。
3=3・
⑴求如
131
⑵设仇=和数列{仇}的前n项和为0求证:
几>]—»
(朋N)
⑴解设数列仏}的公差为d,
由题意得
3。
]+3〃=di+6〃,a+7d)—2@i+2t/)=3,
解得。
1=3,d=2,
•\an—a\-\-(n—l)t/=2n+1.
n(n—1)
⑵证明由
(1)得Sn=nci\+2d=n(ji~\~2),
1
‘11]
_2
nn+2/
+2)
A7^=Z?
i+Z?
2bn-i+bn
if,111)1(」
•Spi+厂;TT_卫〉才匕―
31一31
盯吊•故几>厂齐7
•微型专题构造型数列新试题
•构造型数列新试题是指在新的情境下
构造一个新的数列,然后推断这个数列的性质,并解决与其相关的数列通项、数列求和、函数与方程、不等式等综合性问题・此类问题形式新颖,有一定难度,已经成为近年来高考命题的新动向.对于这类问题,我们只要弄清其本质,根据所构造数列的特征将其转化为基本的数列知识,
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